广西南宁市广西大学附属中学2024-2025学年八年级上学期数学期中考试试题（解析版）-A4

这是一份广西南宁市广西大学附属中学2024-2025学年八年级上学期数学期中考试试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；
C中的图形是轴对称图形，故C符合题意．
故选：C．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 在平面直角坐标系中，点与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换．根据“关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求解．
【详解】解：∵点与点Q关于x轴对称，
∴点Q的坐标是．
故选：D．
4. 如图，的边上的高是（ ）
A. 线段B. 线段C. 线段D. 线段
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的高，从一个顶点到其对边的垂线叫作三角形的高，据此即可求解；
【详解】解：由三角形的高的定义可知：线段是的边上的高，
故选：A ．
5. 如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等求解．
【详解】解：因为试卷上的三角形的两个角和这两个角所夹的边没有被墨迹污染，
所以利用“”画出一个与试卷原图完全一样的三角形．
故选：A．
6. 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为米，则（ ）
A. 45米B. 48米C. 50米D. 52米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的分类，等边三角形的定义，根据，可得是等边三角形，由米，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴米，
故选：B．
7. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）．
A. 6米;B. 9米;C. 12米;D. 15米.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【详解】解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故选B
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
8. 甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选出正确的作图是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到和两边的距离相等，可得点在的角平分线上，据此判断即可．
【详解】解：∵点到和两边的距离相等，
∴点在的角平分线上，
甲图所作为和的角平分线的交点，点不在边上，不符合题意；
乙图与没有相交，不符合题意；
丙图所作为的角平分线与交于点，符合题意；
丁图所作为线段的垂直平分线，不能使到和两边的距离相等，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了尺规作图，作角平分线以及垂直平分线，熟练掌握尺规作图作角平分线以及垂直平分线是解本题的关键．
9. 如图，已知是的中线，，且的周长为11，则的周长是（ ）
A. 9B. 14C. 16D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】据三角形的中线得出，根据三角形的周长求解即可．
【详解】解：∵是△的中线，
∴，
∵的周长为，，
∴，
∵，
∴,
∴的周长，
故选：A．
【点睛】本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．
10. 已知xa=2，xb=5，则xa+b等于 （ ）
A. 7B. 10C. 20D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】先逆用同底数幂乘法法则，然后代入运算即可．
【详解】解：xa+b=xaxb=2×5=10．
故选：B
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂乘法法则的逆用是解答本题的关键．
11. 如图，（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查多边形内角和定理，根据边形的内角和公式：，即可求得结果．
根据边形的内角和公式：，由题意得，则．
【详解】解：由题可得，图中多边形为四边形，
∵为四边形的内角和，
又∵根据边形的内角和公式：，
∴．
故选：B．
12. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A. 16B. 32C. 64D. 128
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案．
【详解】是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，，，
以此类推：的边长为，
的边长为：．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 空调安装在墙上时，支架一般都采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是：三角形具有_____．
【答案】稳定性
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，掌握三角形的这一性质是解题的关键．
根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定，
∴这种方法应用的几何原理：三角形具有稳定性．
故答案为：稳定性．
14. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．
【答案】5
【解析】
【详解】设这个多边形是n边形，由题意得，
(n-2) ×180°=540°，解之得，n=5．
15. 如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为 ______ ．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得出，，则可求出的周长等于，从而可求出的周长．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
同理，
∴的周长，
故答案为：7．
16. 如图，在内，点O是三角形三条角平分线的交点，若，则＝_________．
【答案】##130度
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用、角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理先求出，再利用角平分线定义可得，即可求得．
【详解】解∶∵，
∴，
∵点O是三角形三条角平分线的交点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为∶ ．
17. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为_____．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
观察“杨辉三角”可得展开式中第一项和最后一项的系数都是1，中间的项的系数是“杨辉三角”中上一层肩上的两个系数的和，据此即可解答．
【详解】解：由“杨辉三角”可得，的展开式中从左起第四项的系数为．
故答案为：20．
18. 如图，在直角中，，平分，N是上一动点(不与A，C重合)，M是上一动点(不与A，D重合)，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】作于点，由，求得，在上取点，使，连接，则，可知当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，则的最小值为．
【详解】解：作于点，
，
，
，，，
，
，
在上取点，使，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
当点与点重合，点与点重合时，则的值最小，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是关键．
三、解答题（共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
先计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项即可．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值：（x+3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y），其中x=3，y=﹣2．
【答案】，36
【解析】
【分析】根据平方差公式及完全平方公式化简，再将x，y的值代入计算即可．
【详解】解：原式=
=
当x=3，y=﹣2时，原式=．
【点睛】本题考查了平方差公式以及完全平方公式的计算，解题的关键是掌握平方差公式及完全平方公式．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
（1）求出的面积；
（2）在图中作出关于轴的对称图形；
（3）写出点，，的坐标．
【答案】（1）
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）在网格中，根据的特征，利用三角形面积公式求解即可得到答案；
（2）根据点的对称性，在图中作出三个顶点关于轴的对称点，连接顶点即可得到图形；
（3）由（2）中的图可知点，，的坐标．
【小问1详解】
解：如图所示：
，，，
；
【小问2详解】
解：如图所示：
即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示：
．
【点睛】本题考查网格中作图，涉及网格中三角形面积求法、点的对称、作轴对称图形、图形与坐标等知识，熟练掌握网格中作图的方法是解决问题的关键．
22. 如图，在中，，．
（1）求的度数；
（2）若，交于点E，判断形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理．
（1）在中根据三角形三个内角的和是即可求出的度数；
（2）先求出，结合（1）中的结论即可求出，从而判断出的形状．
【小问1详解】
解：，，
；
【小问2详解】
解：为直角三角形，理由如下：
∵，，
，
由（1）得，
，
为直角三角形．
23. 某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和D分别与木墙的顶端重合．

（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）两堵木墙之间的距离为50
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的应用．
（1）根据题意可得，进而得到，再根据等角余角相等可得，再证明即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【小问1详解】
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
由题意得：，
∵，
∴
∴，
答：两堵木墙之间的距离为50．
24. 【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为__________；图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为__________．
【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图③的正方形．
（1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系．
（2）若，，求的值．
【解决问题】如图④，C是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积．
【答案】【知识回顾】；
【拓展探究】（1）；（2）
【解决问题】8
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用；
（1）图①中阴影部分的面积可以看成是一个大正方形的面积或两个小正方形的面积加两个长方形的面积，由此求解即可；图②中阴影部分可以看成是边长为的正方形，也可以看成大正方形与两个长方形和一个小正方形的面积差，由此求解即可；
（2）分别表示出大正方形的面积，小长方形的面积，阴影部分的面积，由此求解即可；
（3）由（1）得：，代值求解即可；
（4）设正方形和的边长分别为，根据即可求解．
【详解】（1）由图可得：图①中阴影部分的面积可以看成是一个大正方形的面积即，或两个正方形的面积加两个长方形的面积即，
∴图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为；
图②中阴影部分可以看成是边长为的正方形，即面积为；也可以看成大正方形与两个长方形和一个小正方形的面积差，所以面积为，所以图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为；
（2）大正方形的面积为，小长方形的面积为，阴影部分的面积为，
∴；
（3）由（1）得：
∵，，
∴
∴；
（4）设正方形和的边长分别为
由题意得：，
∴
∴
∴
25. 数学课上，刘老师列举了下面两个例题：
例1：在等腰中，，求的度数．（只有一个：）
例2：在等腰中，，求的度数．（共有三个：、或）
刘老师启发同学们进行变式探索，小明编了如下题目：
（1）变式1：已知在等腰中，，求的度数；
（2）变式2：已知在等腰中，，求的度数；
（3）探索：在解（1）（2）后，小明发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同．于是小明开始探索在等腰中，的度数取哪些值时，的度数是唯一的？已知：在等腰中，，当的度数唯一时，求的取值范围．请你帮助小明完成此题．
【答案】（1）
（2）或或
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理并运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）由已知条件可推断为顶角，再利用三角形的内角和定理即可求出的度数；
（2）分三种情况讨论：当为顶角时；当为底角，为顶角时；当为底角，为底角时；利用三角形的内角和定理分别求解即可；
（3）分两种情况讨论：当时；当时，当时；分别作答即可．
【小问1详解】
解：，
只能为的顶角，
是等腰三角形，
；
【小问2详解】
解：分三种情况讨论：
当顶角时，
则为底角，
；
当为底角，为顶角时，
；
当为底角，为底角时，
；
综上所述，或或；
【小问3详解】
解：分两种情况讨论：
当时，
此时只能为顶角，为底角且度数唯一；
当时，时，此时为等边三角形，且度数唯一；
综上，当的度数唯一时，的取值范围为或．
26. 将两个全等的直角三角形和按图1摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点．
（1）请直接判断、与之间是否满足．
（2）若将图1中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图2，你认为成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出、与之间的数量关系，并说明理由．
（3）若将图1中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图3，你认为成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出、与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）是 （2）成立，理由见解析
（3）不成立，，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
（1）根据证明，进而得出答案；
（2）根据证明，进而得出答案；
（3）连接，根据证明，进而得出答案．
【小问1详解】
解：满足，理由如下：
∵，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：成立，理由如下：
∵，
∴，．
和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【小问3详解】
解：不成立，应是．理由如下：
连接，

∵，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴．
∴．
问题：某旅游景区内有一块三角形绿地，如图所示，先要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，在图中确定休息点的位置