吉林省长春市博硕学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份吉林省长春市博硕学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间： 120分钟 满分： 150 分
命题人：梁丽娟 审题人：郭恒武 迟士庄
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每道题4个选项中只有一个符合题目要求.
1. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程.
【详解】根据题意，分2种情况讨论:
①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点，
所以，解得，此时直线的方程为，即；
②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，
则有，解可得，此时直线的方程为，
故直线的方程为或.
故选：D.
2. 已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件求得抛物线的标准方程为，即可求解.
【详解】因为点在抛物线上，得到，
所以抛物线的标准方程为，得到抛物线的准线方程为，
故选：D.
3. 已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，，由题意可得，代入曲线中即可得.
【详解】设，则有，设，
则，由，则有，
即，故有，即.
故选：B.
4. 以椭圆焦距为直径的圆交椭圆于四点，若这四点与两焦点恰构成正六边形，则椭圆离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正六边形的性质得到，再利用椭圆的定义得到关于的齐次方程，从而得解.
【详解】设椭圆的两个焦点为，，圆与椭圆交于，，， 四个不同的点，
由题意知，则由正六边形的性质可得，．
由椭圆定义得，
所以，
故选：C.
5. 已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合与椭圆有相同的焦点，求出双曲线方程.
【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程为：
∴设双曲线：
∵双曲线与椭圆有相同的焦点
∴，解得：
∴双曲线的方程为.
故选：B.
6. 若圆与圆有公切线，则实数的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据公切线的数量判断两圆位置关系，结合圆心距和半径列出不等式，求解即可.
【详解】由题意知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
假设圆与圆没有公切线，
此时两圆内含，所以圆心距，即，解得，
所以当圆与圆有公切线时，实数的范围是，
故选：B.
7. 在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为BD中点，则点到直线EF的距离（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，求出，利用空间点到直线的距离公式求解即可；
【详解】
连接，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由题意可得，
则，
所以点到直线EF的距离为，
故选：A.
8. 太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线.给出以下命题：

①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为，则；
②当时，直线与黑色阴影区域有个公共点；
③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有个公共点.
其中所有正确命题的序号是（ ）
A. ①②B. ①③
C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】分别确定大圆半径和小圆半径，结合大小圆面积可表示出，由此可知①正确；根据黑色阴影区域在第一象限的边界方程，利用直线与圆位置关系的判断可知②正确；分别在和的情况下，采用数形结合的方式可确定③错误.
【详解】如图所示，大圆的半径为，小圆的半径为，

大圆的面积为，小圆的面积为．
对于①，当时，直线的方程为，
此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，
其中，，
，①正确；
对于②，由题意知：黑色阴影区域在第一象限边界方程为，
当时，直线的方程为，即，
小圆圆心到直线的距离，
直线与该半圆弧相切，如图所示，

直线与黑色阴影区域只有一个公共点，②正确；
对于③，当时，如图所示，

易得直线恒过定点，
当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有个公共点，③错误．
综上所述：①②正确．
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若空间向量，，则在上的投影向量为
B. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，根据投影向量的定义列式运算得解；对B，当，同向共线时也成立可判断；对C，由空间向量共面的推论判断；对D，由可判断.
【详解】对于A，在上的投影向量为，故A正确；
对于B，当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误；
对于C，中，故四点共面，故C正确；
对于D，由，即，故，故D正确.
故选：ACD
10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用倾斜角和抛物线定义，分别求出点的横坐标即可得，可判断A；求出直线方程，联立抛物线方程求出点横坐标，利用定义即可得，然后可判断B；根据点的横坐标求出即可判断C；将代入直线方程，求出纵坐标，然后由可得面积，可判断D.
【详解】选项A：过点作轴的垂线，垂足为，则，
所以，所以，
由抛物线定义可得，，所以，
解得，故A正确．

选项B：由A得抛物线的方程为，，直线的方程为，
联立直线方程与抛物线的方程并化简，得，得或，
所以，故，故，B错误．
选项C：由，，得，故C正确．
选项D：由上知，得，
故，故D正确．
故选：ACD
11. 设M为双曲线上一动点，为上下焦点，O为原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则或6
B. 双曲线C与双曲线的离心率相同
C. 若点，M在双曲线C的上支，则最小值为
D. 过的直线l交C于G、H不同两点，若，则l有2条
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.
【详解】因为,，所以，，则，
由双曲线的定义可知，，，则，
解得或6，当时，，符合题意；
当时，，符合题意.
综上：或6，故A正确；
因为双曲线离心率为，
所以双曲线的离心率为，
双曲线即，离心率为，
所以双曲线C与双曲线的离心率相同，故B正确；
，当且仅当三点共线时，等号取到，
最小值为，故C正确；
由双曲线：，得，
直线l斜率为0时，方程为，联立得或，
所以，所以，不合题意，
当直线l斜率不存在时，，所以直线l斜率存在且不为0，
故设：，，设
联立得，则，
所以
，所以或，
解得或，符合题意，所以这样的直线有4条，故D错误.

故选：ABC
三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上.
12. 过点作圆的切线，切线方程为__________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．
【详解】由，可得圆的圆心，半径为，
当过的直线斜率不存在时，直线方程为，易得直线与圆相切，
当过的切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得，切线方程为，
所以切线方程为或．
故答案为：或．
13. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，求出各点坐标，利用异面直线空间向量夹角公式进行求解.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，
故和BN的夹角的余弦值为.
故答案为：
14. 椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点、是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点时，小球经过的最短路程是______．
【答案】##
【解析】
【分析】由已知，根据题意给的椭圆方程，得到，，借助椭圆的性质，可直接求解最短路程.
【详解】由已知，椭圆方程为，所以，，
由题意可知，从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点时，根据椭圆的性质可知，小球经过的最短路程.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点；
（2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意设出双曲线的标准方程，根据渐近线方程和a,b,c间的关系求出后可得所求方程；或根据渐近线方程设双曲线方程为，然后由题意求出后得到所求．（2）根据题意设双曲线的方程为，代入点的坐标求出后可得所求方程．
【详解】（1）方法1：椭圆方程可化为，焦点坐标为，
故可设双曲线的方程为，其渐近线方程为，
则，
又，
所以可得，，
所以所求双曲线的标准方程为．
方法2：由于双曲线的一条渐近线方程为，则另一条渐近线方程为．
故可设双曲线的方程为，即，
因为双曲线与椭圆共焦点，
所以，
即，
解得，
所以所求双曲线的标准方程为．
（2）由题意可设所求双曲线方程为，
因为点在双曲线上，
∴，解得，
所以所求双曲线的标准方程为．
【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可．
16. 已知圆，直线.
（1）求证：直线恒过定点；
（2）直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长；
（3）在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程.
【答案】（1）证明见解析；
（2）当的方程为时最短；，最短弦长为；
（3）
【解析】
【分析】（1）将直线的方程可化为，解方程组得定点坐标.
（2）根据圆性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解.
（3）利用（2）的信息直接写出圆的方程.
【小问1详解】
直线的方程可化为，由，解得，
所以直线恒过定点.
【小问2详解】
圆的圆心，半径，
令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
直线的斜率为，由得直线的斜率为，解得
此时的方程为，即，
圆心到直线的距离为，最短弦长为
所以当的方程为时最短；，最短弦长为.
【小问3详解】
由（2）知，以短弦长为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以短弦长为直径的圆的方程.
17. 已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长；
（3）若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程.
（2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果.
（3）设，根据“点差法”求出直线的斜率，由点斜式即可求解.
【小问1详解】
由题意设椭圆C的方程为，
因为椭圆经过点0,1且长轴长为，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
由已知设直线l的方程为，设，.
将直线代入，
得，
所以，，
.
【小问3详解】
设，则中点是，
于是，即，
由于在椭圆上，故，
两式相减得到，即，
故，于是，
故直线的方程是，
整理得
18. 椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.
①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析，定点；②
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆过的点列方程求解即可；
（2）①先联立方程组得出韦达定理再计算斜率和即可；②结合定点列出面积再换元得出面积的最大值.
【小问1详解】
椭圆：的焦点坐标为，
所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，
∵椭圆过点，
∴，
∴，，
∴椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设直线：（），
由，得，
设Mx1,y1，Nx2,y2，所以，，
所以
，
因为直线和的斜率互为相反数，
所以，所以，
所以，
所以.
即，所以，
因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点
②由①知，，
且，即，
又
令，则，
∴
（当且仅当时取“＝”）
∴.
【点睛】关键点点睛：求面积最值的关键点是令换元得出再结合基本不等式计算即可得出最值.
19. 如图，在四棱锥中，平面，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为平面平面，
所以，
又因为，
所以，而平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为平面平面，
所以，而，
于是建立如图所示的空间直角坐标系，
，
由（1）可知：平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为m=x,y,z，，
则有，
设平面与平面夹角，
；
【小问3详解】
设，设，
于是有，
，由（2）可知平面的法向量为，
假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去，
即.