四川省德阳市中江县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份四川省德阳市中江县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷．第I卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，全卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回．
2．木试卷满分150分，监测时间为120分钟．
第I卷 选择题（36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）
1. 如果零上记作，那么零下记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解∶∵零上记作，
∴零下记作，
故选∶ A．
2. 用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形变换是( )
A. 平移和旋转B. 对称和旋转C. 对称和平移D. 旋转和平移
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据对称和旋转定义来判断．
解答：解：根据对称和旋转定义可知：
“当窗理云鬓，对镜贴花黄”是对称；
“坐地日行八万里”是旋转．
故选B．
3. 在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案即可．
【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，
故选B．
【点睛】本题考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转180°所形成的图形叫中心对称图形．
4. 下列计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的运算与整式的加减运算法则即可求解．
【详解】A选项：，正确．
B选项：，错误．
C选项：，不可合并．
D选项：，不可合并．
故选A．
【点睛】此题主要考查整式的加减，解题的关键是熟知其运算法则．
5. 如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有 （ ）

A. 1种B. 2种C. 4种D. 无数种
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质即可解答．
【详解】解：由正方形的对称性可知，只要将十字架交点放在正方形的中心，转动任意角度，都能将正方形分成面积相等的四部分，
则修路的方法有无数种，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解题关键在于理解正方形的性质．
6. 已知菱形的对角线长分别为、，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是本题的关键．由菱形的面积公式对角线乘积的一半可求解即可．
【详解】解：菱形的面积，
故选：B．
7. 某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当时，，那么当成本为元时，边长为（ ）
A. 厘米B. 厘米C. 厘米D. 厘米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式的运用，求出函数的解析式是解答本题的关键．设，由待定系数法就可以求出解析式，把代入函数解析式就可以求出结论．
【详解】解：设，
当时，，
，，
，
当成本为元时，
有，
，
．
故选：B．
8. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可．
【详解】∵，
∴，
∵由旋转可知，
∴，
故答案选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键．
9. 如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为
A. （3，2）B. （3，3）C. （3，4）D. （3，1）
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据A与A′关于C点对称，设A′的坐标为（a，b），可知，，解得a=3，b=2，因此可知A′点的坐标为（3，2）.
故选A
考点：中心对称
10. 如图，正方形的边长为1；将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，等腰三角形的判定；依据为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：正方形边长为1，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
故选：C．
11. 如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，作轴，轴，证明，进而求出点坐标，代入解析式进行求解即可．
【详解】解：如图所示，作轴，轴，则：，
四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点B，C的坐标分别是，，
∴，
∴，
∴，
∵点D在抛物线的图像上，
∴，
∴；
故选B．
12. 如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线的解析式，令，根据有两个交点求出a的取值范围，再分和两种情况讨论即可得到答案；
【详解】解：设所在直线为，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
当时，
∵二次函数与线段有两个不同的公共点，
∴，
解得：，
①当时，
此时函数的开口向上，
∴，，
解得：，
②当时
此时函数的开口向下，
∴，，
解得：，
综上所述得：，，
故选：B．
第Ⅱ卷 非选择题（114分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分）
13. 的相反数是_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查相反数定义．根据题意利用相反数定义即可得到本题答案．
【详解】解：∵的相反数是2，
故答案为：2．
14. 在英文字母V、W、X、Y、Z中，是中心对称图形的英文字母有________个．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义逐个判断即可得出答案．
【详解】解：在英文字母V、W、X、Y、Z中，是中心对称的英文字母有X、Z，共个，
故答案为：．
15. 如图，将绕点A逆时针旋转80°得到．若，则的度数为______
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查的是旋转的性质，根据旋转的性质找到对应点、对应角进行解答即可．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
16. 如图，直线a、b垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点B，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________．
【答案】
【解析】
【分析】过作于点，易证得四边形是矩形，由中心对称性质可知，点的横坐标是，进而可得，根据中心对称的性质可知，阴影部分的面积之和等于矩形的面积，于是得解．
【详解】解：如图，过作于点，
，
直线a、b垂直相交于点，于点，
，
四边形是矩形，
于点B，且，
点的横坐标是，
点的对称点是点，
根据中心对称的性质可知，点的横坐标是，
，
根据中心对称的性质可知，阴影部分的面积之和等于矩形的面积，
阴影部分的面积之和为：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，矩形的判定，中心对称的性质，已知两点坐标求两点距离等知识点，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
17. 如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图像当直线与图像恰有两个公共点时，取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 (a,b,c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，然后求出直线与相切b的值，直线过A和过B点所对应的b的值，再利用图象可判断直线与此图象有且只有两个公共点时b的取值范围．
【详解】解：当时，，解得，则，
，
则顶点坐标为，
把图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，
如图，
当直线与相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时有两个相等的实数解，
方程整理得，，
解得，
∴当时，直线与图像恰有两个公共点，
当直线过时，，解得，
当直线过时，，解得，
所以，当时，直线与此图象有且只有两个公共点．
综上可知，当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是或．
故答案为：或．
18. 如图所示，在平面直角坐标系中，，B4,0，是直角三角形，且，，到轴距离为，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，依此类推，则旋转第次后，得到的直角三角形的直角顶点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用含度角的直角三角形的性质可得，过点作轴于点，则依据题意可得，利用勾股定理可得，于是可得点的坐标，由旋转的性质可得点的坐标，点的坐标，，由图形规律以此类推，即可得出点的坐标．
【详解】解：在中，，，B4,0，
，，
如图，过点作轴于点，
，
到轴距离为，
，
，
，
根据旋转的性质可得：
的横坐标为：，纵坐标为，
由图形规律可得：
的横坐标为：，纵坐标为，
，
以此类推，可得：
的横坐标为：，纵坐标为，
的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与旋转规律问题，已知两点坐标求两点距离，含度角的直角三角形，垂线的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握坐标在图形中的规律问题是解题的关键．
三、解答题（90分）
19. 计算：
（1）计算：；
（2）化简：；
（3）先化简，再求值，求：，当时的值．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）先计算负整数指数幂和零指数幂，同时利用二次根式的性质化简，然后按照实数的混合运算法则计算即可；
（2）先利用完全平方公式将展开，然后按照整式的混合运算法则进行计算即可；
（3）先对括号内的部分进行通分并相加，同时对第二项的分子分母利用平方差公式和完全平方公式分解因式并约分，分别得出结果后再计算除法，将除法运算转化为乘法运算后即可得出化简结果，然后将的值代入化简结果即可求出原式的值．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
，
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，利用二次根式的性质化简，实数的混合运算，整式的混合运算，运用完全平方公式进行运算，合并同类项，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，分式加减乘除混合运算，代数式求值等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．

（1）画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；
（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2，并写出点A2、B2的坐标．
【答案】（1）图见解析，A1（0，﹣4），B1（2，﹣4）
（2）图见解析，A2（﹣4，0），B2（﹣4，﹣2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转先找到找到A1，B1点，再进行连线即可；
（2）根据关于原点对称的点特征，找到A2，B2点，再进行连线即可；
小问1详解】
如图所示，△OA1B1即为所求，

由图知，A1（0，﹣4），B1（2，﹣4）；
【小问2详解】
如图所示，△OA2B2即为所求，A2（﹣4，0），B2（﹣4，﹣2）．
【点睛】本题考查坐标系下图形的旋转，对称作图，根据找点，描点，连线的方法进行作图即可．
21. 已知二次函数的图像以为顶点，且过点．
（1）求该函数图像与坐标轴的交点坐标；
（2）将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．
【答案】（1）与轴的交点坐标为；与轴的交点坐标为
（2）向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
（1）设顶点式，然后把代入求出值即可得出二次函数解析式；通过解方程可得抛物线与轴的交点坐标，通过计算自变量为0时的函数值可得到抛物线与轴的交点坐标；
（2）由于抛物线与轴的交点坐标为，把点向左平移1个单位到原点，所以把抛物线解析式向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．
【小问1详解】
解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
当时，，
则抛物线与轴的交点坐标为；
当时，，解得，
则抛物线与轴的交点坐标为；
【小问2详解】
解：因为抛物线与轴的交点坐标为，
所以把抛物线解析式向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．
22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
【答案】（1）证明见解析；
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可；
（2）结论：．证明，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：是由旋转得到，
，，
，
，
平分；
【小问2详解】
解：结论：．
理由如下：
由旋转的性质可知，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转变换，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
23. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点．
（1）试判定四边形的形状，并说明理由；
（2）已知，求的长．
【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析
（2）23
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，图形的旋转，
（1）根据旋转的性质可得，即可求解；
（2）根据正方形的性质可得，，再由旋转的性质可得：，设，则，，在中，根据勾股定理，求出x的值，即可求解．
【小问1详解】
解：四边形是正方形，理由如下：
∵将绕A点逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
【小问2详解】
解：在正方形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
由旋转的性质得：，
设，
则，，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
24. 甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费；
在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题：
（1）分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？
（2）甲公司最多比乙公司利润多多少元？
（3）甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．
【答案】（1）；；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等
（2）甲公司最多比乙公司利润多18050元
（3）
【解析】
【分析】（1）设每个公司租出的汽车为辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为，，月利润差为，由（1）可得和的表达式，再列出关于的表达式，根据二次函数的性质，结合的范围求出最值即可；
（3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为辆，结合为整数可得关于的不等式，即可求出的范围．
【小问1详解】
解：设每个公司租出的汽车为辆，
由题意可得：，
而，
两公司的月利润相等可得：，
解得：或舍，
当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；
【小问2详解】
解：设两公司的月利润分别为，，月利润差为，
则，
，
当甲公司的利润大于乙公司时，，
，
∴当时，函数有最大值18050，
∴甲公司最多比乙公司利润多18050元；
【小问3详解】
解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为，
对称轴为直线，
只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据为整数得到的不等式．
25. 如图，在等边三角形内有一点．

（1）若，，，求的度数；
（2）若等边三角形边长为，求的最小值；
（3）如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长．

【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连结、，则，得到，，，，证得是等边三角形，求出，，根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，，即可求出；
（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转60°得到，再将绕点顺时针旋转60°得到，则，当四点共线时，取得最小值，即的长，勾股定理，即可求解．
（3）如图，延长，过点作于，得到，求出，勾股定理求出AB即可．
【小问1详解】
解： 如图所示，

将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接、，
，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
是直角三角形，，
，
，
【小问2详解】
解：如图所示，将绕点顺时针旋转60°得到，

则，，，则是等边三角形，
，
再将绕点顺时针旋转60°得到，则
，，，
当四点共线时，取得最小值，即的长，
设，交于点，
，，
，
，
在中，
，
即的最小值为；
【小问3详解】
如图，将绕点逆时针旋转90°，得到，

，
，，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
是直角三角形，，
如图，延长，过点作于，则，

，，
，
，
，
，即正方形的边长为．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元．