北京市第一零九中学2025届高三上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市第一零九中学2025届高三上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知复数的共轭为，若，则的实部为（ ）
A. 1B. C. D. i
【答案】A
【解析】
【分析】设复数的代数形式，根据共轭复数的概念和复数的加法运算法则可求出结果.
【详解】设，则，
由得，即.
所以的实部为.
故选：A
2. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.
【详解】由图象可知，所以，
因为，所以由(1)可得：，由(3)可得：，所以，
由(2)可得：，所以，
因此有，所以函数是减函数，
，所以选项A符合.
故选：A.
3. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 无解
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理可得出关于的等式，即可求得的值.
【详解】由余弦定理可得，即，
，解得或.
故选：C.
4. 已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案.
【详解】由题意得，即，则．
故选：A．
5. 已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设正四棱锥的高为h，由体积是，求出.利用勾股定理求出侧棱长.
【详解】因为正四棱锥，底面边长是，所以底面积为.
设正四棱锥的高为h，由，所以.
所以侧棱长为.
即侧棱长为.
故选：C
6. 已知向量满足，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义即可.
【详解】因为，
向量满足，且，
所以，
则，
所以.
故选：B.
7. 设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用和判断与0的关系，即可得到答案.
【详解】若，且，，，则“”是“”的充分条件；
若，则，又，，则“”是“”的必要条件；
则则“”是“”的充要条件.
故选：C.
8. 如图所示，为双曲线：的左焦点，双曲线上的点与（）关于轴对称，则的值是（ ）
A. 9B. 16C. 18D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】首先设右焦点为，由点与（）关于轴对称以及双曲线的对称性得出，然后根据双曲线的定义得出，，，进而求出结果．
【详解】设右焦点为，连接，
∵双曲线上的点与（）关于轴对称，
∴和，和，和分别关于轴对称
∴，
∵，，，
∴
故选：C．
9. 已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（ ）
A. 圆上恰有一个点到直线的距离为B. 长的最小值为
C. 四边形面积的最小值为2D. 直线恒过定点
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离可判断A；利用圆的性质可得切线长，利用点到直线的距离可判断B；由题可得四边形的面积，可判断C；由题可知点在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线的方程，即可判断D.
【详解】A.由题意得，圆心，半径，
∴圆心到直线的距离为，
∵，
∴圆上有两个点到直线的距离为，选项A错误.
B. 如图，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，有最小值，
当，即为圆心到直线的距离时，，
∴，选项B错误.
C. 由题意得，，
∴四边形面积为：，
由选项B可知，选项C错误.
D.设，
∵是圆的切线，
∴点在以为直径的圆上.
∵，
∴以为直径的圆为，
整理得，
与圆方程相减得直线方程为：
，
由得，即直线恒过定点，选项D正确.
故选：D.
10. 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右，再利用独立事件的概率乘法公式求解．
【详解】设事件表示“小球落入2号容器”，
若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右，
所以．
故选：B．
二、填空题
11. 已知向量，，则夹角的余弦值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件求出后，可得两向量的数量积与模，然后求夹角的余弦值
【详解】，，故
12. 在中，，给出满足的条件，就能得到动点的轨迹方程，如表给出了一些条件及方程.
则满足条件①轨迹方程为 ______；满足②的轨迹方程为 ______；满足③轨迹方程为 ______（用代号填入）.
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】①中可转化为点到两点距离之和为常数，符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程；②中利用三角形面积公式可知点到距离为常数，轨迹为两条直线；③中，可用向量法求得轨迹方程．
【详解】①周长为10，即，
因为，所以，
故动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，且点A不在x轴上，
所以轨迹方程为与对应；
②的面积为10，所以，即，即，与对应；
③因为，所以，
且点A不在x轴上，即，与对应.
故答案为：；；
13. 已知函数（，，）部分图象如图所示，则________
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简后，借助图象结合正弦型函数的周期性、最值计算即可得解.
【详解】，
则由，有，即，
的周期，故，又，故，
则有，解得，
又，故.
故答案为：.
14. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间上的中值点．试求函数在区间上的“中值点”______．
【答案】
【解析】
【分析】求导，设在区间上的“中值点”为，则，求出答案.
【详解】，，
设在区间上的“中值点”为，则，
解得，
故函数在区间上的“中值点”为.
故答案为：
15. 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为.给出以下结论：
①函数是增函数；
②函数是奇函数；
③函数的值域为；
④对于任意实数，函数至少有一个零点.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①②③
【解析】
【分析】利用函数单调性的定义可判断①；利用函数奇偶性的定义可判断②；令由可得，由解出的取值范围，可判断③；取，结合③可判断④.
【详解】对于①，任取、，且，则，
所以，，
所以，，故函数是增函数，①对；
对于②，对任意的，，则函数的定义域为，
且，
，函数是奇函数，②对；
对于③，由可得，可得，
由，可得，解得，故函数的值域为，③对；
对于④，由③可知，，则，
当时，，此时，函数没有零点，④错.
故答案为：①②③.
三、解答题
16. 已知中，.
（1）求的大小；
（2）若，再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.
条件①；条件②；条件③.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）；
（2）选①或③，三角形面积为．
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求得得；
（2）选①，由得三角形只有一解，然后求得，由正弦定理求得，从而可得三角形面积；选②，分析得三角形有两解；选③，求出后，同选①计算．
【小问1详解】
∵，∴，又，∴；
【小问2详解】
选①，，因为，由得，所以，因此，，
，
由得，
；
选②，，，∴，
又，，∴角可能为锐角也可能为钝角，三角形是两解，不合题意；
选③，，而，∴，，以下同选①．
17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，M为PC上一点，且，，.
（1）证明：平面PAD；
（2）求直线DM与平面PBC所成角的正弦值；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）过作交于，证明四边形是平行四边形得出，于是平面；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过计算和的夹角得出直线与平面所成角的大小；
（3）根据计算棱锥的体积．
【详解】（1）证明：过M作交PD于N，连接AN，
则，，
又，，
，，
四边形ABMN是平行四边形，
，又平面PAD，平面PAD，
平面PAD.
（2）连接BD，
，，，，
，，
又，，
以D为原点，以DB，DC，DP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
，，，
设平面PBC的法向量为，则，即，
令可得，
，
直线DM与平面PBC所成的角的正弦值为.
（3），
.
18. 某区为检测各校学生的体质健康状况，依照中小学生《国家学生体质健康标准》进行测试，参加测试的学生统一从学生学籍档案管理库（简称“CIMS系统”）中随机选取.本次测试要求每校派出30人，其中男女学生各15人，参加八个项目的测试.八项测试的平均分为该学生的综合成绩，满分为100分.测试按照分数给学生综合成绩定等级，分数在内为“优秀”，为“良好”，为“及格”，为“不及格”，下表为某学校30名学生本次测试综合成绩的数据：
（1）分别求出该学校男､女生综合成绩的优秀率；
（2）从表中综合成绩等级为“良好”的学生中随机抽取3人进行后续监控，若表示抽取3人中的女生人数，求的分布列及其数学期望；
（3）在（2）的条件下，当这3名学生综合成绩的方差取得最大值时，请直接写出所有符合条件的3名学生的综合成绩.
【答案】（1）男生综合成绩的优秀率为，女生综合成绩的优秀率为；
（2）分布列见解析；；
（3）88，87，80．
【解析】
【分析】（1）由表求出男生与成绩优秀的人数，分别除以15得答案；（2）表中成绩良好的男生5人，女生4人，共9人，从中随机抽取3人，女生人数为0，1，2，3．分别求得概率，可得分布列及期望；（3）直接写出3名学生的综合成绩为：88，87，80．
【小问1详解】
由表可知，男生成绩优秀的人数为6人，女生成绩优秀的人数为7人，
则该学校男生综合成绩的优秀率为，女生综合成绩的优秀率为；
【小问2详解】
表中成绩良好的男生5人，女生4人，共9人，
从中随机抽取3人，女生人数为0，1，2，3．
则，，，．
的分布列为：
；
【小问3详解】
3名学生的综合成绩为88，87，80．
19. 已知椭圆离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定a,b,c的值，得出椭圆的标准方程.
（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解.
【小问1详解】
由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即，
又离心率为所以
．
所以椭圆C的方程为：．
【小问2详解】
依题意，直线l与x轴不重合，
设l的方程为：．
联立得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，
由韦达定理得．
又，则

注意到，即：
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
20. 已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或
（1）已知，数列，写出的所有“相邻数列”；
（2）已知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数；
（3）已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值．
【答案】（1）；；；.
（2）11个 （3）37
【解析】
【分析】（1）根据相邻数列的概念直接求解即可；
（2）任取的一个“相邻数列”，根据相邻数列的概念可得且，对于的取值分情况讨论，利用为递增数列可得是公差为1的等差数列，列不等式组求解即可；
（3）令可得对任意，设，证明与要么是空集，要么是连续自然数构成集合，进而根据定义求解即可.
【小问1详解】
根据“相邻数列”的概念可知，，
或，或，
所以的所有“相邻数列”有；；；.
【小问2详解】
任取的一个“相邻数列”，
因为或，
或，
所以有且，
对于的取值分以下4种情形：
（a），
（b），
（c），
（d）
由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到，所以只需考虑第4种情形，
递增，，即，
由是递增的整数数列得，从而是公差为1的等差数列，
于是，则，即满足数列的有11个.
【小问3详解】
令，所以对任意，
设，则且，
先证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，
若，令，则，由得，
所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合．
若，令，则，由得，
所以，即，即是空集，或是连续自然数构成集合，
因此，的分布只可能是如下三种情况：
（i），此时，对任意的，由得，
所以对任意的，注意到，所以，
等号当且仅当时取到；
（ii）存在整数，使得
对任意的，对任意的，所以
（iii）．此时，对任意的，与情形1类似，
对任意的，注意到，
所以，
综上，的最小值为．
【点睛】思路点睛：根据“相邻数列”的定义，按照或分类讨论不同情形，结合数列的定义求解即可.
条件
①周长为10
②面积为10
③中，
方程
男生
98
92
92
91
90
90
88
87
87
85
82
79
77
67
57
女生
97
99
96
93
92
91
90
87
85
81
80
77
76
76
48

0
1
2
3