广东省广州市第一一三中学等三校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省广州市第一一三中学等三校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，其中结论正确的个数有等内容，欢迎下载使用。
命题时间：2024年10月 命题人：吴少容 审题人：刘阳平
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共120分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上．
2．荅案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列图案中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 方程的根是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
，
，
或，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
3. 若一元二次方程配方后为，则的值分别是（ ）
A. 6，4B. 6，5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把整理成一元二次方程的一般形式，然后与比较即可.
【详解】因为，
所以，
因为一元二次方程，
即配方后为，
所以，，
所以，．
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4. 若抛物线的开口向上，则m的值为（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义和性质，掌握二次函数的定义和性质的解题的关键．
5. 把函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后图象的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是，即．
故选：C．
【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程的根的判别式是即可进行解答．
【详解】解：由关于的方程，即有两个不相等的实数根得，
解得．
则且．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：掌握一元二次方程根的判别式判断根的三种情况．
7. 如图，的直径为10，圆心O到弦的距离的长为3，则弦的长为( )

A 4B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】连接，先根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出的值．
【详解】解：连接，如图所示：

∵的直径为10，
∴，
∵圆心O到弦的距离的长为3，
由垂径定理知，点M是的中点，，
由勾股定理可得，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂直于弦（不是直径）的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧，也考查了勾股定理的应用．
8. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. 5C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，直接求解即可．
【详解】解：由题意，得：；
故选B．
9. 如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解．
【详解】解：由旋转性质可得：，，
∵，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键．
10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④4a﹣2b+c＜0：⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象与坐标轴的交点、开口方向、对称轴，以及特殊点的代入进行判断每一个选项即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0
即b2＞4ac，∴①正确；
又∵抛物线对称轴是直线x＝1
即＝1，可得2a+b＝0，∴②正确；
∵从图象可以看到，当x＝﹣1时，y＜0
∴a﹣b+c＜0
由②可知b＝﹣2a
∴3a+c＜0，∴③错误；
∵从图象可知，当x＝﹣2时，y＞0
∴4a﹣2b+c＞0，∴④错误；
根据抛物线的轴对称性可知，它与x轴的另一个交点应该在3、4之间，
∴当x＝3时，y＜0
∴9a+3b+c＜0，∴⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，关键是要会利用抛物线的轴对称性以及二次函数与方程之间的转换．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个根为2，则它的另一个根为_____．
【答案】-4
【解析】
【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2+t＝﹣2，然后解一次方程即可．
【详解】设方程的另一个根为t，根据题意得：2+t＝﹣2，解得：t＝﹣4．
故答案为﹣4．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2．
12. 已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.
【答案】（1,4）.
【解析】
详解】解：把A（0,3），B（2,3）代入抛物线
解得：b=2，c=3，
所以，
即该抛物线的顶点坐标是（1,4）
故答案为：（1,4）.
13. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是根据方程有实数根的情况求参数，根据方程有实数根，则根的判别式，即可列出关于的不等式，求出的取值范围即可．对于一元二次方程“（a、b、c是常数，且）”中，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
14. 如图，的直径为，弦垂直平分半径，那么弦的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．根据弦垂直平分半径，，得出，，，根据勾股定理，再由垂径定理，即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵弦垂直平分半径，，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了利用二次函数的图象求不等式的解集，根据二次函数与不等式的关系解答即可，正确掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图象与x轴一交点为,
∴图象与x轴的另一交点为，
∵抛物线开口向上，
∴当时，即，
故答案为：．
16. 已知，则 _________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键．
根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答．
【详解】解：设，
则，
∴，
则或，
∴或（舍去）；
∴．
故答案为：5．
三、解答题（共72分）
17. 解方程：
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：，
移项得，
∴，
∴或，
解得：．
18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．
（1）画出将绕原点O按逆时针方向旋转所得；
（2）画出关于原点的中心对称图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查的是图形的旋转．
（1）先找到旋转后的对应点，再进行连接即可；
（2）关于原点对称即为旋转，画出对应点，再进行连接即可．
【小问1详解】
解：如图，为所求；
【小问2详解】
解：如图，为所求．
．
19. 已知关于x的方程.
（1）求证方程有两个不相等的实数根．
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．
【答案】(1)证明见解析；（2），
【解析】
【分析】（1）先计算出△=（m+2）2﹣4（2m﹣1），变形得到△=（m﹣2）2+4，由于（m﹣2）2≥0，则△＞0，然后根据△的意义得到方程有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，则原方程化为x2﹣5=0，然后利用直接开平方法求解．
【详解】（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）
=m2﹣4m+8
=（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，
即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个根为x1，x2，由题意得：
x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，
当m=﹣2时，方程两根互为相反数，
当m=﹣2时，原方程为x2﹣5=0，
解得：x1=﹣，x2=．
【点睛】根的判别式；根与系数的关系．
20. 成都市天府新区为全国公园城市的标杆，2022年市政府对天府新区绿化工程投入的资金是2000万元，到2024年投入的资金是2420万元，且从2022年到2024年，每年投入资金的年平均增长率相同．
（1）求该市政府对天府新区绿化工程投入资金的年平均增长率；
（2）若投入资金的年平均增长率不变，估算该市政府在2025年对天府新区绿化工程需投入资金多少万元？
【答案】（1）该市政府对天府新区绿化工程投入资金的年平均增长率为
（2）该市政府在2025年对天府新区绿化工程需投入资金万元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设该市政府对天府新区绿化工程投入资金的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，求解即可；
（2）根据（1）中求出的增长率，即可求解．
【小问1详解】
解：设该市政府对天府新区绿化工程投入资金的年平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该市政府对天府新区绿化工程投入资金的年平均增长率为；
【小问2详解】
解：（万元），
故该市政府在2025年对天府新区绿化工程需投入资金万元．
21. 如图，的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，，．

（1）求的半径长；
（2）连接，作于点F，求的长．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键．
（1）连接，如图，设的半径长为r，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可；
（2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长．
【小问1详解】
解：连接，如图，设的半径长为r，
∵，
∴，，
在中，
∵，，，
∴，
解得，
即的半径长为5；
【小问2详解】
解：在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
即的长为．

22. 已知二次函数为常数，且．
（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；
（2）不论为何值，该函数的图象都会经过两个定点，求两个定点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）该函数图象始终过定点、
【解析】
【分析】（1），即可求解；
（2）由，所以当时，，当，即时，，即可求得定点坐标．
【小问1详解】
证明：令，即，
，
方程总有实数根，
该函数的图象与轴总有公共点；
【小问2详解】
解：．
该函数的图象都会经过两个定点，
所以当时，，
当，即时，，
该函数图象始终过定点、．
【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，一元二次方程的根的判别式，解决此题的关键是用方程知识来处理函数问题．
23. 将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．

（1）求的值；
（2）如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）正方形，见解析
【解析】
【分析】（1）确定旋转角，结合，，计算即可．
（2）先证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质，结合一组邻边相等的矩形是正方形证明即可．
【小问1详解】
根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
故．
【小问2详解】
根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，

∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
24. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）当点在线段上运动时，求线段的最大值；
（3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值；
（4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
【答案】（1），
（2）的最大值为
（3）
（4）的值为或
【解析】
【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值；
（3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可表示出M点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值；
（4）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值．
【小问1详解】
解：∵抛物线过A、C两点，
∴代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为，
令可得，，解，
∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为，
设直线解析式为，
把B、C坐标代入可得，解得，
∴直线解析式为；
【小问2详解】
∵轴，点P的横坐标为m，
∴，
∵P在线段上运动，
∴M点N点上方，
∴，
∴当时，有最大值，的最大值为；
【小问3详解】
∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为3，
∴，解得或，
当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴；
【小问4详解】
∵轴，
∴，
当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有，
当点P在线段上时，则有，
∴，此方程无实数根，
当点P不在线段上时，则有，
∴，解得或，
综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（2）中用m表示出的长是解题的关键，在（3）中确定出是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到是解题的关键．
25. 已知直线：经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线的解析式；
（2）若点P（，）在直线上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下
①求的取值范围；
②设抛物线G与直线的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在≤≤的图象的最高点的坐标．
【答案】（1）直线解析式为：；
（2）①m＜10，且m≠0；②最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求出解析式即可；
（2）①设G的顶点式，根据点P在直线上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在轴上得出答案；
②先根据点Q，点的对称，得QQ'=1，可表示点Q和的坐标，再将点的坐标的代入关系式，求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐标即可．
小问1详解】
解：∵直线经过点（0，7）和点（1，6），
∴，
解得，
∴直线解析式为：；
【小问2详解】
解：①设G：（），
∵点P（，）在直线上，
∴；
∴G：（）
∵（0，-3）不在直线上，
∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，
而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3），
∴点P必须位于直线的上方，
则，，
另一方面，点P不能在轴上，
∴，
∴所求取值范围为：，且 ；
②如图，QQ'关于直线对称，且QQ'=1，
∴点Q横坐标为，
而点Q在上，∴Q（，），Q'（，）；
∵Q'（，）在G：上，
∴， ，
∴ G：，或．
∵抛物线G过点（0，-3），
∴，
即，
， ；
当时，抛物线G为，对称轴为直线，
对应区间为-2≤≤-1，整个区间在对称轴的右侧，
此时，函数值随着的增大而减小，如图，
∴当取区间左端点时，达最大值9，最高点坐标为（-2，9）；
当时，对应区间为≤≤，最高点为顶点P（2，5），如图，
∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）．