重庆市渝高中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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（满分150分．考试用时120分钟．）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 若集合，，则下面结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系可得B、C错误，再根据为无理数可得正确的选项.
【详解】因为表示元素，表示集合，故B、C错误.
因为不是自然数，所以，且不成立，故A也错误，D正确，
故选：D.
【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，一般地，集合与集合之间用包含或不包含，
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，即，
所以，，所以，
故选：C.
3. 已知，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式的变形形式直接求解.
【详解】由题意得，，即，
当且仅当，即或时等号成立，
所以的最大值为.
故选：B
4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合已知条件，利用抽象函数的定义域求法且分式中分母不为0，即可得到的定义域.
【详解】由函数的定义域是，结合函数的特征可知，
解得，
故函数的定义域为.
故选：C.
5. 已知函数，则函数解析式是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用配凑法求解析式即可.
【详解】，且，所以，.
故选：B.
6. 已知二次函数f(x)的图像开口向下，且对称轴方程是x＝3，则下列结论中错误的一个是( )
A. f(6)＜f(4)B. f(2)＜f()C. f(3＋ )＝f(3－)D. f(0)＜f(7)
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象开口向下，对称轴为，则有，且在上递增，在上递减，根据单调性和对称性可得．
【详解】解：依题意，函数的图象开口向下，对称轴为，则有，
且在上递增，在上递减，
，即正确；
且
即，故正确；
，故正确；
，故错误；
故选：
【点睛】本题考查二次函数的单调性以及函数的对称性，属于中档题.
7. 已知函数的定义域为，且满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抽象函数的求值可利用特殊值法.
【详解】解：函数的定义域为
令时，，可得
令，，，可得.
故选：C
8. 已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件分，和三种情况讨论，由，求出取值范围．
【详解】解：显然当时，，不满足条件；
当时，易知，当时，，于是，
而由，可得，即，所以也不满足条件，
当时，函数，
因为关于的不等式的解集为，若，则在上，函数的图象应在函数的图象的下方，
如图所示，要使在上，函数的图象在函数的图象的下方，
只要即可，即，
化简可得，解得，
所以的取值范围为.
综上，的取值范围为.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或者3分，有选错的得0分．
9. 下列各组函数是同一函数的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】AD
【解析】
【分析】根据两函数相等的三要素一一判断即可.
【详解】对于A, 的定义域为,
的定义域为,
且两个函数的对应关系相同,所以是同一函数,故A正确;
对于B, 的定义域为,
的定义域为,
所以不是同一函数,故B错误;
对于C，
与对应关系不相同,故C错误;
且定义域为,
定义域为,所以两个函数是同一函数,故D正确.
故选:AD.
10. 已知：函数的定义域为，则的必要条件可以是（ ）
A. 或B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】的定义域为R，因此恒成立，求出的取值范围.本题判断哪个选项是的必要条件，所以能推出选项，对应的取值范围是选项范围的子集.
【详解】由题，恒成立，易知时不满足，
时，有.
故选：AB
11. 若，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用作差法判断A，举反例判断B，利用基本不等式判断CD.
【详解】对于A，由，，，
所以，所以，成立；
对于B，当时，，所以B不正确；
对于C，由，，可得，
所以，所以，等号不成立，所以；
对于D,由，得，
所以
当且仅当，即时，取得最小值4，
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛，本题D的判断较为困难，利用展开后，利用基本不等式是解题的关键.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 命题否定形式：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是变量词否结论即可求解.
【详解】命题否定形式：，
故答案为：.
13. 已知，且，则的最小值是_________．
【答案】7
【解析】
【分析】先利用常数代换法求的最小值，继而即可求解.
【详解】因为，
，
当且仅当，且，即时等号成立，
所以的最小值为，所以的最小值为.
故答案为：.
14. 设函数存在最小值，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分，，和四种情况结合二次函数的性质讨论即可》
【详解】①当时，，故函数在上单调递增，因此不存在最小值；
②当时，，
当时，，故函数存在最小值；
③当时，，故函数上单调递减，
当时，；当时，.
若，则不存在最小值，故，解得.
此时满足题设；
④当时，，故函数在上单调递减，
当时，；当时，.
因为，所以，
因此不存最小值.
综上，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，，即可解决；（2）分，两种情况解决即可.
【小问1详解】
由题知，，
当时，，
所以.
【小问2详解】
由题知，
因为，
所以
当时，解得，满足题意；
当时，或，
解得，或，
综上所述，的取值范围为，
16. 已知函数，
（1）画出函数的图象；
（2）求的值；
（3）写出函数的单调区间．
【答案】（1）作图见解析
（2）
（3）单调递减区间：和；单调递增区间为：和.
【解析】
【分析】（1）根据分段函数的解析式，直接画出函数的图象.
（2）根据函数的解析式，判断直接代入计算即得.
（3）根据分段函数图象，求出函数的单调区间.
【小问1详解】
如图所示：
【小问2详解】
；
【小问3详解】
由（1）得到的图象可知，的单调递减区间为和．
单调递增区间为：和.
17. 已知函数，且．
（1）证明：在区间上单调递减；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】(1)由条件列方程求，再根据减函数的定义证明在区间上单调递减；
(2)由条件可得，解不等式求的取值范围．
【小问1详解】
因为，，所以，解得，所以，
任取实数，且，则，
又，所以，，
所以，即，所以在区间上单调递减；
【小问2详解】
由（1）知，在上单调递减，所以，
因为对恒成立，所以，
即，化简得，解得，
即实数t的取值范围是．
18. 某公司销售甲、乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图所示；乙产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系式如图所示．
（1）分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数；
（2）若该公司投资万元资金，并全部用于甲、乙两种产品的营销，问：怎样分配这万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？
【答案】（1）甲产品的利润函数为；乙产品的利润函数为；（2）详见解析．
【解析】
【分析】（1）由题意设、，分别代入点的坐标即可得解；
（2）设乙产品的投资金额为万元，则甲产品的投资金额为万元，由题意列出总利润的函数，换元后利用二次函数的图象与性质分类讨论即可得解.
【详解】（1）由题意设甲产品的利润函数为，乙产品的利润函数为．
由函数经过点，则即，所以；
函数经过点，则即，所以；
（2）设乙产品的投资金额为万元，则甲产品的投资金额为万元，
所获得总利润为万元，
则，，
令，则，
，
该函数图象开口向下，对称轴为，
所以当即时，函数在上单调递增，
当即时，有最大值；
当即时，函数在上递增，在上递减，
当即时，有最大值．
综上可知，当时，乙产品投资万元，甲产品不作投资，该公司可获得最大利润，最大利润为万元；
当时，乙产品投资万元，甲产品投资万元，该公司可获得最大利润，最大利润为万元．
【点睛】本题考查了函数的应用，考查了二次函数性质的应用与分类讨论思想，解题的关键是根据实际问题建立适当的数学模型，属于中档题.
19. 若实数满足，则称x比y远离m．
（1）解不等式
（2）若比远离，求实数x的取值范围；
（3）若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）比x更远离m，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由绝对值的几何意义即可求解；
（2）根据题意列出，求解不等式即可；
（3）利用基本不等式的变形得到，可将为题转化为研究的正负问题，然后根据绝对值的意义分类讨论，利用配方法可以得到结论
【小问1详解】
令，即有，所以x比3远离0，
从数轴上可得x的取值范围是；
【小问2详解】
由x比远离1，则，即，
∴或，解得或，
∴的取值范围是；
【小问3详解】
因为，有，
因为，所以，
从而，
①当时，
，即；
②当时，
，
又，则，
∴，即，
综上，，即比x更远离m．
【点睛】关键点睛：本题考查含有绝对值的不等式的求解与证明，作差法比较大小，涉及消元思想和配方法，基本不等式的灵活应用，在第二问中还需分和两种情况进行讨论