重庆市南坪中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上相应的位置.
2.作答时，全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3.考试结束后，只交答题卡，试卷由考生带走.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若集合,集合,,则
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据补集和并集的定义直接求出即可.
【详解】，.
故选：C.
【点睛】本题考查补集和并集的求法，属于基础题.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】时，一定有，满足充分性，
但时，如，不满足，即不满足必要性，
“”是“”的为充分不必要条件．
故选：A．
3. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取，可判断A选项；利用特殊值法可判断BD选项；利用不等式的基本性质可判断C选项.
【详解】对于A选项，若，则，A错；
对于B选项，取，，，，则，B错；
对于C选项，因为，，由不等式的性质可得，C对；
对于D选项，取，，，，则，D错.
故选：C.
4. 已知函数，（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】直接代入数据计算得到答案.
【详解】，.
故选：
【点睛】本题考查了函数值的计算，意在考查学生的计算能力.
5. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域.
【详解】由题意对于，得，解得且，故C正确.
故选：C.
6. 为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（ ）年．
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件.
【详解】平均利润为，
当且仅当，即时取最大值.
故选：A.
7. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知奇函数，且在内单调递增，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】因为的定义域为，且，
可知函数为奇函数，
当，则，
且的开口向上，对称轴为，
可知在内单调递增，
由奇函数性质可知在内单调递增，
所以在内单调递增，
若，则，
可得，即，解得，
所以实数取值范围是.
故选：B.
8. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是个.
①函数偶函数；
②函数的值域是；
③若且为有理数，则对任意的恒成立；
④在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边角形.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】当时，，当时，，函数为偶函数，①正确，函数的值域是，②正确，为有理数，则当时，，当时，，故，③正确，，，构成等边三角形，故④正确，得到答案.
【详解】当时，，当时，，故，函数为偶函数，①正确；
函数的值域是，②正确；
为有理数，则当时，，当时，，故，③正确；
，，，故，，构成等边三角形，故④正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的理解能力和对于函数性质的灵活运用.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 若，则
C. 命题“，”是假命题
D. 函数是偶函数，且在0,+∞上单调递减.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据命题的否定，命题的充分必要性直接判断各选项，由函数单调性和奇偶性定义判断选项D.
【详解】A选项：命题“，”的否定是“，”，A选项错误；
B选项：当时，，B选项错误；
C选项：当时，满足，此时，不满足，
所以命题“，”是假命题，C选项正确；
D选项：数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，所以是偶函数，
当x∈0,+∞时，设，则，
所以fx1−fx2=1x12−1x22=x22−x12x12x22>0，
所以在0,+∞上单调递减，故D正确；
故选：CD.
10. 下列选项中正确的有（ ）
A. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为
B. 与表示同一函数
C. 函数的值域为
D. 定义在上的函数满足，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：利用待定系数法求函数解析式；对于B：根据函数定义域分析判断；对于B：根据题意结合二次函数求值域；对于D：用替换可得，解方程即可.
【详解】对A，设，则，
即，解得或，
所以的解析式可能为，故A正确；
对B，定义域为，定义域为，
两者定义域不同。所以不是同一函数，故B错误；
对于C，因为，
则函数，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的值域为，故C正确.
对于D，因为定义在上的函数满足①，
用替换可得②，
由①+②，得，所以，故D正确.
故选：ACD.
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则的最大值为
B. 已知，，，则的最小值是
C. 若，则的最小值为4
D. 若，，，则的最小值为
【答案】CD
【解析】
【分析】由和为定值，求积的最大值，判断选项A；先根据条件换元，再由基本不等式求解选项B；多次利用基本不等式求解选项C；利用基本不等式“1”的妙用求解选项D.
【详解】对于A，，解得，平方得，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故A错误；
对于B，由，可得，得，
则，
当且仅当，即，故等号不成立，故B错误；
对于C，，
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为4，故C正确；
对于D，
，
当且仅当，即时取等号，
所认的最小值为，故D正确.
故选：CD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知集合，若，则实数______
【答案】
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系，得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为，，
所以或，
当时，，此时，不满足互异性，舍去；
当时，或（舍去），此时，满足题意；
综上，.
故答案为：.
13. 已知函数，则的单调增区间为____________
【答案】（开闭都对）
【解析】
【分析】将函数改写成分段函数，再画出函数图象，结合函数图象即可判断；
【详解】解：因为函数，作出函数的图象，
如图所示：
由图可知，函数的单调递增区间为；
故答案为：（开闭都对）
14. 若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】不妨设，根据题意，转化为，构造函数，得到函数在上为单调递减函数，且为偶函数，再分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】因为对任意的，，且，都有，
不妨设，则，可得，则，
构造函数，则，，
所以函数在上为单调递减函数，
又因为为奇函数，所以，
所以函数为上的偶函数，
所以函数在为单调递增函数，
当时，即时，有，
由，可得，
所以，解得，此时无解；
当时，即时，由，可得，
所以，解得或，
综上可得，不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于涉及到函数的综合性质问题的求解问题：
1、若涉及到函数性质的综合应用问题，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题；
2、若涉及的复合函数的单调性问题时，解答时关键是将函数解析式进行等价转化，再根据函数的性质的有关结论进行判断、求解；
3、若涉及到函数性质的组合型问题，解答的关键是要熟练掌握函数的有关性质，以及一些常用结论，明确它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力；
4、若涉及的函数的新定义问题，关键是理解新定义函数的概念，根据新定义函数的概念丙挖掘其隐含条件，对比选项结论进行判断分析，得以解决.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）当时，求，，；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合交集、并集和补集的定义进行求解即可；
（2）根据集合交集的运算性质，结合子集的性质进行求解即可.
【小问1详解】
当时，可得集合，，
所以，.
，.
【小问2详解】
由，可得，
①当时，可得，解得；
②当时，则满足，解得，
综上实数的取值范围是.
16. 已知关于x不等式的解集为．
（1）求m，n的值；
（2）正实数a，b满足，求的最小值．
【答案】（1），.
（2）9
【解析】
【分析】（1）问题转化为，是方程的两个不同的根求解.
（2）根据基本（均值）不等式求和的最小值.
【小问1详解】
由题意：是方程的根，所以.
因为是方程的另外1根，所以
【小问2详解】
由题意：（，）
所以：（当且仅当即时取“”）.
17. 已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若在上是单调函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据函数为幂函数得，从而求出代入解析式检验，进而可求出的解析式；
（2）求出的对称轴，然后由在上是单调函数，得或，从而可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意，解得或3，
若是偶函数，代入检验可得，故；
【小问2详解】
，对称轴是，
若在上是单调函数，则或，解得或．
所以实数的取值范围为或．
18. 已知函数.
（1）证明：函数是奇函数；
（2）用定义证明：函数在上是增函数；
（3）若关于不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证；
（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证；
（3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数.
【小问2详解】
证明：当时，，
任取，且，
可得
因为，且，可得，，
所以，即，
所以函数在0,+∞上是增函数.
【小问3详解】
因为函数为定义域上的奇函数，且在0,+∞上是增函数，
所以函数在上也是增函数，
又因为，所以函数在上是增函数，
又由，可得，
因为不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
可得不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
当时，不等式即为恒成立，符合题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，，即实数的取值范围0,1.
19. 已知函数.
（1）证明：，并求函数的值域；
（2）已知为非零实数，记函数的最大值为.
①求；②求满足的所有实数.
【答案】（1）证明见解析，函数的值域为
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）分别求出两函数的定义域，计算即可得证，再求出函数的值域，从而可得出答案；
（2）①由（1）得，令，分，，和四种情况讨论，结合二次函数的最值即可得出答案；
（2）求出，再分，，，，和六种情况讨论，从而可得出答案.
【小问1详解】
解：由函数，
得，解得，所以函数的定义域为，
由函数，
得，解得，所以函数的定义域为，
所以，
，
因为，所以，所以，
所以，
又，所以函数的值域为；
【小问2详解】
解：①由（1）得，
则，
令，
则，
对称轴为，
当时，则，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
综上所述，；
②因为，
所以，
当时，，解得（舍去），
当时，，解得（舍去），
当时，，解得（舍去），
当时，，
当时，，解得（舍去），
当时，，解得（舍去），
综上，或.
【点睛】本题考查了求含根号函数的值域问题及二次函数的最值问题，考查了分类讨论思想及数据分析能力，解决第二问的关键在于找到讨论的临界点，可以借助数轴的手段来进行讨论.