重庆市南开中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系判断A、B；根据集合的性质判断C；根据集合之间的关系判断D；
【详解】A选项，不是整数，所以，A选项错误；
B选项，是无理数，所以，B选项错误；
C选项，集合元素的无序性，所以C选项正确；
D选项，是点集，是数集，两者没有包含关系，故D错误.
故选：C
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】命题“，”的否定为“，”，
故选：B.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.
【详解】由题意得，解得且.
故选：C.
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数奇偶性及具体点函数值即可判断.
【详解】，定义域为，
故函数是偶函数，
排除选项A；又，排除C,D,
故选：B.
5. 设，，若，则的最小值为（ ）
A. 8B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，，，
则，
当且仅当，即，时取等，
所以的最小值为8.
故选：A.
6. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由解析式直接确定函数单调性，即可求解.
【详解】由得定义域为；
因为单调递增，单调递减，所以单调递增；
当，，当时，，
所以函数的值域为，
故选：C.
7. 已知函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，，解方程即可.
【详解】因①，
用代替①中的得：②，
则得：，解得.
故选：D.
8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分段函数在定义域上单调递减，则函数各段均单调递减，且左边函数的右端点值大于左边函数左端点值，建立不等式组，解得范围.
【详解】由题可知，解得，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 与是同一个函数
B. 是偶函数
C. 是单调递减函数
D. 的单调递增区间为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据函数相等分析判断；对于B：根据偶函数的定义分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复合函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：定义域均为，且化简后解析式均为，
所以是同一个函数，故A选项正确；
对于选项B，由，解得，
可知函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以是偶函数，故B选项正确；
对于选项C，因为，所以不是单调递减函数，故C选项错误；
对于选项D，由，解得，
可知函数的定义域为，
因为开口向下且对称轴为，
所以函数的单调递增区间为，故D选项正确.
故选：ABD.
10. 已知实数，，且满足，则（ ）
A. 的最小值为9B. 的最小值为7
C. 的最大值为18D. 的最小值为1
【答案】AD
【解析】
【分析】由基本不等式可判断A、B是否正确；由可判断C；由可得，再由基本不等式化简计算，可判断D.
【详解】对于A：因为，所以，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为9，故A正确；
对于B：，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故B不正确；
对于C：因为，由选项A可知，，所以，当且仅当时取等，所以有最小值18，C不正确；
对于D：由可得，，
所以，当且仅当即时取等号，所以D正确.
故选：AD.
11. 已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（ ）
A. 是奇函数B. 在上单调递增
C. D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】令，求得的值，再令得到；由函数单调性的定义法判断函数的单调性；令，得到，由此递推出；由题中等量关系化简不等式得，由函数单调性列出不等式，解的解集.
【详解】选项A，令，则，则；令，则，
所以，所以不是奇函数，A选项错误；
选项B，，，且，因为，所以；
又因为当时，，所以fx1−x2+1>0，所以，
故在R上的单调递增，B选项正确；
选项C，令，则有，所以，，，…，，
将以上式子相加可得：，C选项正确；
选项D，因为，所以原不等式可化为；
由选项C可知，所以原不等式可化为；
因为在R上单调递增，所以，解得，D选项正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.
12. 已知数集，，若，则________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意分两种情况讨论即可.
【详解】易知，所以或，
若，即，此时，，符合题意；
若，此时，，，舍；
综上，.
故答案为：1
13. 已知“函数y=fx的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”，根据这个结论，若函数图象的对称中心是，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据充要条件可得是奇函数，根据奇函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，是奇函数，
即是奇函数；
，
由，解得.
故答案为：
14. 已知关于不等式在区间有解，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可.
【详解】法一：原不等式可化为，因为不等式在有解，所以；
令，则；
令，易知在1,2单调递减，在单调递增，，所以.
法二：令，则即可；
由二次函数在闭区间上的最值可知，，
所以或，解得或，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合，其中.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得集合，根据集合的并集运算即可；
（2）根据交集的定义即可列不等式求解.
【小问1详解】
对于集合，由可得，所以；
当时，，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
因为，
所以或，解得或，
故实数的取值范围为
16. 近日，重庆市第七届运动会田径比赛在合川体育中心落下帷幕，重庆南开中学田径队奋勇争先、顽强拼搏，经过个单元的激烈比拼，创造了金银铜的佳绩，累计打破项赛会纪录.好成绩离不开平时的刻苦训练.根据相关研究，某一体能训练项目有助于运动员的肌力改善，其肌力增长速度值（值越大，表示肌力增长速度越快、效果越好）与训练时间（分钟）的函数关系如下：vt=-240t+2+120,080，满足要求；
当时，，解得；
故分钟分钟，所以进行该项体能训练能达标.
17. 已知函数为一次函数，且对均满足.
（1）求函数解析式；
（2）已知，，且，求的最小值.
【答案】（1）
（2）最小值为9
【解析】
【分析】（1）设，根据题意列式求即可；
（2）根据题意可得，法一：利用基本不等式可得，化简整理即可得结果；法二：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【小问1详解】
设，则，
可得，解得，，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，即；
法一：所以，化简得，当且仅当时取等，
所以，
故的最小值为9；
法二：
，
当且仅当且，即，时取等号，
故的最小值为9.
18. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性；
（3）记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值.
【答案】（1）
（2）单调递减，证明见解析
（3）1或
【解析】
【分析】（1）根据求出的值，再代入检验即可；
（2）由（1）可得，再根据单调性的定义证明即可；
（3）结合（2）得在和单调递减，在单调递增，显然，再分、两种情况讨论，分别求出函数的最值，从而得到方程，解得即可.
【小问1详解】
因是上的奇函数，故，
当时，，，满足题意.
综上知，.
【小问2详解】
由（1）知，则在上单调递减，
下面用定义证明：
任取且，
则
，
因为，故，，所以，即，
所以在上单调递减.
【小问3详解】
由于是上的奇函数，结合（2）得在和单调递减，在单调递增，
显然，
当时，在和上单调递减，在上单调递增，
故，，
于是有，解得，舍去；
当时，在单调递增，，
，于是有，整理得，
即，解得或或（舍去）.
综上，实数的值为或.
19. 给定函数，若实数使得，则称为函数不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点.
（1）求函数的不动点：
（2）设，，且恰好有两个稳定点和.
（i）求实数的取值范围，
（ii），，求实数的取值范围.
【答案】（1）不动点为－2和3
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）令，求出或，得到答案；
（2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围；
（ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案；
法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得，
解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为.
【小问1详解】
令，得，整理得，解得或，
经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3.
【小问2详解】
（i）令，得，
即，得，
所以有，此方程恰好有两个不同的实数解.
①当，即时，方程化为，
仅有一个实数解，不满足题意；
②当时，要么方程无实数解，
要么方程仅有一个实数解为1或者.
故或或，
解得或.
综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为.
（ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1，
当时，，故，，
于是，.
此时函数的对称轴，令.
①当时，，在单调递减，在单调递增，
，，故，
而，故在单调递减，在单调递增，
注意到，故，
所以当时的值域为，
即的值域为.于是由题意得，无解.
②当时，在单调递增，
当时，，，
即值域为，不满足题意，舍去.
当时，，故，，
于是，，此时函数的对称轴，
令.
③当时，，在单调递增，
当时，，，即的值域为，
于是有，解得；
④当时，，在单调递减，在单调递增，
，，故，
而，故在单调递减，在单调递增，
注意到，故，
所以当时的值域为，
即的值域为.于是由题意得，解得.
综上，实数的取值范围为.
法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，
因为，，故取，得，
解得，所以，，
因为，解得，
由（i）知，，故，
故有，.
当时，，令，当时，
因，，故.
而，故在单调递减，在单调递增，
注意到，故，
所以当时的值域为，
即的值域为.
于是由题意得，解得.
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.