四川省南充市白塔中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学B试题（Word版附解析）

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一、单选题(每题5分，共40分)
1. 已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（ ）
A. 8B. 16C. 32D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】首先求集合中的元素，再根据集合的元素个数，代入公式，即可求解.
【详解】由条件可知，，，，，，，
所以集合，集合的子集的个数为个.
故选：C
2. 已知，，若集合，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合相等求得，从而求得的值.
【详解】由于，
所以，则，
所以，此时集合为，符合题意，
且.
故选：C
3. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的不等式解集，确定与的关系，再代入解分式不等式即可.
【详解】由不等式的解集为，
得，且是方程的两根，
则，即，
不等式化为：，即，
于是，解得或
所以原不等式的解集为或.
故选：C
4. 已知集合，，，则的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可.
【详解】，
,
，
故
故选：B.
5. 某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得，当和时分别求得最大值，即可求解.
【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润，
当时，，当且仅当时，等号成立，
则，
所以当时，取得最大值，且最大值为，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为，
故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间.
故选：
6. 已知全集，集合，，，则阴影部分对应集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次不等式及分式不等式的解法，求得集合和，结合图形，利用集合的运算，即可求解.
【详解】由，得到，所以，
由，得到，所以，
又，得到或，
由图可知阴影部分对应的集合是集合，又，
所以.
故选：D.
7. 给出下列四个命题：
①的解集是全体实数R；
②，都有；
③若则
④已知，“”是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件
其中真命题的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】不等式的性质，解不等式，基本不等式的性质分别判断每一个命题即可.
【详解】，解得，故①为假命题；
当时，，故②为假命题；
因为，得，故③为真命题；
因为，，所以，得
当且仅当时，即时等号成立，
因为，显然当时，，
故最小值为，无最大值，
所以若命题“，”为真命题，则，故，
所以“”不是命题“，”为真命题的一个充分条件，故④为假命题.
故选：A
8. 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A. 9B. 1C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据，变形，利用基本不等式求最值，根据最值的条件，代入，再利用二次函数求最值.
【详解】由题意可知，，
所以，
因为，所以，当，即时，等号成立，
此时取最大值为1，，
所以，
当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4.
故选：D
二、多选题（每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）.
A. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
B. 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 的一个充分条件是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据并集的结果可得，即可知A正确；易知方程只有一根，可得或，B错误；根据一元二次方程根与系数之间的关系可判断C正确，易知可得的一个充分条件是，即D错误.
【详解】对于A，根据可知，即集合为集合的子集，
由中有2个元素，因此集合N的个数为个，即A正确；
对于B，若集合中只有一个元素，则方程只有一根，
若，方程为，满足题意；
若，则可得，解得，满足题意；
因此或，所以B错误；
对于C，由可得，
即一元二次方程有两根，且两根之积为，
所以两根为一正一负，即充分性成立；
若一元二次方程有一正一负根则须满足，
且两根积为，即，可得必要性成立，即C正确；
对于D，由可得，易知可推出，所以可得的一个充分条件是，即D正确.
故选：ACD
10. 设集合为实数集的非空子集.若对任意，都有，则称为封闭集.以下结论正确的序号有（ ）
①为封闭集；
②若为封闭集，则一定有；
③存在集合，A不为封闭集；
④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】ABC
【解析】
【分析】①设，，其中，验证是否属于M即可判断；②取x＝y即可判断；③取集合即可判断；④取，即可判断．
【详解】①设，，其中．
则，
∵，，∴；
，
∵，，∴；
，
∵，，∴，
综上，为封闭集.①正确；
②若为封闭集，则，取，得，故②正确；
③取，
∵，∴A不为封闭集，故③正确；
④取，满足条件，但，
∴不是封闭集，故④错误．
故选：ABC
11. 已知为正实数，，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值
C. 的最小值为2D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】运用可判断A项；由结合基本不等式可判断B项；运用可判断C项；由，结合二次函数在区间上的最小值可判断D.
【详解】，当且仅当时取“=”，故A正确；
，当且仅当时取“=”，故B正确；
由，当且仅当时取“=”，故C正确；
，
当且仅当时取“=”，故D错误；
故选：ABC
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】不等式化为，讨论与的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出.
【详解】关于的不等式可化为，
当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得；
当时，不等式化为，此时无解；
当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
13. 已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的解集可得，利用基本不等式可得的最小值为3，故，从而可得的取值范围.
【详解】因为不等式的解集为或，则，
且关于x的方程的两根分别为1、3，
由韦达定理可得，可得，由，可得，
，故，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最小值为3，
因为恒成立，则，即，解得．
因此，实数k的取值范围是．
故答案为：
14. 已知关于x的方程（其中p，q均为实数）有两个不等实根，.若，满足，则p的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系及判别式建立不等式求解.
【详解】由题意，，即，且，
因为，
所以，则，
由可得，即，
解得或，
故答案为：
四、解答题
15. 已知集合，或，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）求得集合，得到或，结合并集运算，即可求额吉；或.
（2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合集合的运算法则，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由集合，或，
可得或，则或.
【小问2详解】
解：由（1）知，，或，
所以或，可得，
当时，即时，，此时满足；
当时，即时，要使得，
则满足或，解得或，
综上可得，实数的取值范围为.
16. 从下列三组式子中选择一组比较大小：
（1）设，，，比较，的大小；
（2）设，均为正实数，，，比较，的大小；
（3）设，，，比较，的大小．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）化简可得，，再通过比较分母的大小即可得解；
（2）借助作差法作差后因式分解即可得；
（3）借助作差法比较即可得.
【小问1详解】
，
，
由，，
故，即有；
【小问2详解】
，
由，均为正实数，故，即；
【小问3详解】
，
由，故，，，，
即，故.
17. 已知：，，：关于的方程的两根均大于1．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若和中一个为真命题一个为假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）分、，结合二次函数的性质分别求出实数的取值范围，再取并集即可；
（2）求出当命题为值时，结合（1），分真假及假真求解即可.
【小问1详解】
解：因为，，，
当，即时，满足题意；
当时，则有，解得，
综上，实数的取值范围；
【小问2详解】
解：对于命题：设方程的两根均分别为，
则有，
由题可得，即，
解得；
又因为若和中一个为真命题一个为假命题，
所以或，
解得或，
所以实数的取值范围为
18. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.
（1）求二次函数的不动点；
（2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.
【答案】（1）和
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据方程，即可求解不动点；
（2）根据，利用韦达定理表示，转化为关于的式子，再利用基本不等式求最小值.
【小问1详解】
由题意知：，
解得，，所以不动点为和．
【小问2详解】
依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得
所以

因为，所以
所以，当且仅当，
即时等号成立，所以的最小值为．
19 已知不等式．
（1）若，使不等式恒成立，求的取值范围；
（2）若，使不等式能成立，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）讨论和两类情况即可；
（2）将不等式化为，通过换元，借助基本不等式即可求解；
（3）将不等式化为，借助一次函数单调性即可求解.
【小问1详解】
当时，不等式为，可得，不符合题意；
将不等式化为：，由于，不等式恒成立，
所以解得：，
所以的取值范围是.
【小问2详解】
因为，使不等式能成立，
也即，使得成立，
令，则，
则，
当时取等号，所以
【小问3详解】
可化为，
若不等式对恒成立，因为，
所以也即，无解
故不存.