四川省泸州市泸县泸定中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.
1. 甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件“甲成功破译”，事件“乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一个成功破译密码，根据这个依据即可求解.
【详解】“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一个成功破译密码,而事件指的就是至少有一人破译密码.
故选：A.
2. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小.
【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
即，所以.
故选：B.
3. 已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ）
A. 6B. 3C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的定义即可求出.
【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为，
则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2.
故选:D.
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据，设，结合空间向量的坐标运算，求得，从而得到答案.
详解】由，设，
则，解得：，，，
所以，
故选：A.
5. 已知圆与圆为同心圆，且圆的半径为圆半径的2倍，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用圆的标准方程确定圆的圆心坐标和半径，进而利用圆的一般方程得到关于的方程组，从而得解.
【详解】由题可知圆的圆心为，半径为2，
又圆与圆为同心圆，半径为4，
所以，解得.
故选：A.
6. 两个圆和的公切线有（ ）条
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用几何法判断出两圆的位置关系，即可得出两圆的公切线条数.
【详解】圆可化为，
圆的圆心为，半径，
圆可化为，
圆的圆心为，半径，
，
又，，
，
圆与内切，即公切线有1条.
故选：A.
7. 椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线AP，AQ的斜率之积列方程，求得，进而求得椭圆的离心率.
【详解】，设Px1,y1，则，则，，
故，又，则，
所以，即，所以椭圆C的离心率为．
故选：C
8. 已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围.
【详解】设动点Mx,y，则，
化简得，
所以点的轨迹为圆，
如图，过点作圆的切线，连接，则，，
所以，同理，
则直线的斜率范围为.
故选：C.

二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线l的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 与直线垂直
B. 的倾斜角等于
C. 在y轴上的截距为
D. 圆上存在两个点到直线的距离等于
【答案】AD
【解析】
【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，利用圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系，再找到圆周上的点到直线的最近距离，即可判断D.
【详解】因为直线的一个方向向量，
所以直线的斜率，
又直线经过点，
代入点斜式方程可得，，即直线的方程为：.
对于A，将直线化为斜截式方程可得，，斜率为，
又直线的斜率，
因为，所以直线与直线垂直，故A正确；
对于B，由直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，，则，
所以，故B不正确；
对于C，令，代入直线的方程，得，
即直线在轴上的截距等于，故C不正确；
对于D，圆的圆心到直线的距离，
因此直线与圆相离，
又圆上点到直线的最近距离为，
因此可得圆上存在两个点到直线的距离等于，故D正确；
故选：AD.
10. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为
D. 存在实数使得
【答案】BD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，先计算得，接着计算，再由和平面且结合锥体体积公式即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解.
【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
对于A，，故与不垂直，故A错误；
对于B，，
所以直线与所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，由上，所以，
所以即，又，
所以，
因为，又由正方体性质可知平面即平面，
所以，故C错误；
对于D，若存在实数使得，
则，
所以，所以，故D正确.
故选：BD.
【点睛】思路点睛：建立坐标系解决立体几何中问题是一种常用方法，它的思维量小，计算量虽多但是计算简单，解法直接自然和简单，本题根据正方体的结构特征建立了空间直角坐标系，接着计算所需向量坐标，从而根据各个问题的向量法理论公式直接计算即可判断求解.
11. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A. 直线与圆不一定相交
B. 当时，圆上至少有两个不同的点到直线的距离为1
C. 当时，圆关于直线对称的圆的方程是
D. 当时，若直线与轴，轴分别交于，两点，为圆上任意一点，当最小时，
【答案】AD
【解析】
【分析】A：根据直线所过的定点进行分析；B：先分析圆心到直线的距离满足的条件，然后求解出的范围；C：设出对称圆的方程，根据圆心连线的中点在已知直线上、圆心连线与已知直线垂直列出方程组，由此求解出对称圆的方程；D：结合图示，分析得到与圆相切时最小，然后利用勾股定理求解出结果.
【详解】对于A，直线过定点，又因为，
所以点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故A正确；
对于B，要使圆上有至少两个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离要小于，
所以有，解得，故B错误；
对于C，当时，直线，设圆关于直线对称的圆的方程是，
根据题意有，解得，，
所以对称圆的方程为，故C错误；
对于D，当时，直线，则点，，且圆心，半径，
当与圆相切时最小，此时，故D正确；
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 原点到直线的距离为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点到直线的距离为：
.
故答案为：
13. 已知向量，，且，则实数m＝______．
【答案】##
【解析】
【分析】由已知可得，代入坐标即可求出实数m的值.
【详解】因为，，
所以，，
因为，
所以，解得．
故答案为：
14. 如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______.

【答案】##0.5
【解析】
【分析】连接，，利用圆的性质、椭圆的定义，结合勾股定理列式求解即得.
【详解】连接，，由点在以为直径的圆上，故.

又，在椭圆上，故有，.
设，则，，，.
在中，由勾股定理得，
解得，于是PF2=2a3，，故.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的顶点为，，．
（1）求边所在的直线的方程；
（2）求边的高线所在的直线的方程；
（3）求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）10
【解析】
【分析】（1）直接由点坐标得到两点式方程，化简即可；
（2），则边上高线的斜率为，直接写出点斜式方程，化简即可；
（3）首先求出到直线的距离，再求出的长，则可计算出三角形面积.
【小问1详解】
直线的两点式方程为，化简得，故边所在的直线方程为.
【小问2详解】
由（1）知，故边上高线的斜率为，
故其所在直线方程为，化简得
【小问3详解】
边所在的直线方程为，故到直线的距离
,
故
16. 在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图．
（1）求证：；
（2）若为中点，求直线与平面所成角正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值．
【小问1详解】
因为平面，平面平面，平面，
，所以平面.
又平面，所以．
【小问2详解】
由（1）知，平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
依题意，、、、、，
则，，，
设平面的法向量．
则．
取，则，
所以为平面的一个法向量．
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
17. 已知椭圆的右焦点为，点在C上.
（1）求C的离心率；
（2）设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得到关于的方程组，从而得到椭圆方程，进而求得其离心率；
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，直线与椭圆联立，由根与系数关系可得k，从而得直线AB的方程.
【小问1详解】
由题意得，解得，，
所以椭圆C的方程为，
故C的离心率；
【小问2详解】
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，消去y得，
故，
由直线化为，恒过，
故，即，所以，解得，
此时二次方程为，满足题意，
故所求直线的方程为
18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）该校选拔篮球队需要身高前15%的男生，请根据频率分布直方图估计需要的最低身高（精确到0.1）；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
（2）估算出身高在第八组、第七组及第六组的频率为，可知该校选拔篮球队需要身高前的男生在第六组，根据频率所占百分比可得答案；
（3）确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
【小问1详解】
第六组的频率为，
∴第七组的频率为；
【小问2详解】
由直方图得，身高在第八组的频率为，
身高在第七组的频率为，
身高在第六组的频率为，
因为，所以，
该校选拔篮球队需要身高前的男生最低身高约为；
【小问3详解】
第六组人数为4，设为a，b，c，d，
第八组的人数为，设为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，
bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．
所以．
19. 已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）为线段的中点，求点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由椭圆定义可知，点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆，由此能求出动点的轨迹方程；
（2）设，Px0,y0，利用中点坐标公式及“代点法”即可得出点的轨迹方程；
（3）对直线的斜率分不存在、为、存在且不为三种情况讨论，当直线的斜率存在（不为）时，把直线的方程与椭圆的方程联立，解得点，的坐标，利用两点间的距离公式即可得出，再利用点到直线的距离公式即可得出点到直线的距离，利用三角形的面积计算公式即可得出．
【小问1详解】
因为，由椭圆定义可知，
点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，则，，所以，
故动点轨迹方程为；
【小问2详解】
设，Px0,y0，
，且为线段的中点，
，即，代入的轨迹方程，可得，
整理得，
即点的轨迹方程为；
【小问3详解】
①当直线的斜率不存在时，可得，，
，点到轴的距离为1，
；
②当直线的斜率为时，则B−2,0，，
，点到轴的距离为，
所以；
③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为y=kxk≠0，，，．
联立，化为．
解得，则，则，．
．
又点到直线的距离．
，
，
当时，当且仅当，即可时取等号，
当时，当且仅当，即可时取等号，
所以，
当且仅当时，即，取最大值，最大值为，
综上所述面积的最大值．