四川省泸州市泸县第五中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集、补集的定义可求.
【详解】由题设可得，故，
故选：B.
2. 方程组的解组成的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的定义分析求解.
【详解】由方程组解得，
所以方程组的解组成的集合为.
故选：C.
3. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶性定义与单调性定义判断．
【详解】是奇函数，
偶函数且在上递减，
的图象关于直线对称轴，既不是奇函数也不是偶函数，
关于直线对称，既不是奇函数也不是偶函数，
故选：B．
4. 若为实数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】
利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，当时，不符合，故A选项错误.
对于B选项，由于，所以，所以，所以B选项正确.
对于C选项，如，但是，所以C选项错误.
对于D选项，由于的正负不确定，所以无法由，得出，故D选项错误.
故选：B
【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.
5. 已知函数，若，则（ ）
A. -7B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数解析式以及条件，可得，代入即可求解.
【详解】因为，所以，即，
.
故选：B
6. 已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据原命题为假可知其否定为真，由一元二次方程无根可构造不等式求得结果.
【详解】若命题为假命题，则其否定，为真命题，
，解得：.
故选：B.
7. 已知，，且，则的最小值为（ ）．
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.
【详解】解：已知，且xy+2x+y=6，
y=
2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号，
故2x+y的最小值为4.
故选:A
8. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出的取值范围.
【详解】因为当时，；，
所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍.
当时，，，
故当时，对任意，不成立，
当时，，
同理当时，，
以此类推，当时，必有.
函数和函数的图象如图所示：
因为当时，，
令，解得，（舍去），
因为当时，成立，所以.
故选：A.
【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设集合，且，则x的值可以为（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.
【详解】∵，则有：
若，则，此时，不符合题意，故舍去；
若，则或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述：或.
故选：BC.
10. 下列四组函数中，不表示同一函数的一组是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的定义域、值域、对应关系等知识确定正确答案.
【详解】A. ，这两个函数的定义域不相同，所以不表示同一函数.
B.，且定义域相同，两个函数表示同一函数.
C.对于，故，所以的定义域是，
而的定义域是，所以不表示同一函数.
D.的定义域是，的定义域是，所以不表示同一函数.
故选：ACD
11. 定义在上的函数满足，当时，，则满足（ ）
A. B. 是奇函数
C. 在上有最大值D. 的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对；
对于B选项，函数的定义域为，
令，可得，则，
故函数是奇函数，B对；
对于C选项，任取、且，则，
即，所以，
所以，函数为上的减函数，
所以，在上有最大值，C错；
对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对.
故选：ABD.
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分
12. 已知，，且，则a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解.
详解】由题意，集合，
当时，即，解得，此时满足，
当时，要使得，则或，
当时，可得，即，此时，满足；
当时，可得，即，此时，不满足，
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：.
13. 已知函数是偶函数，当时，，则当时，______．
【答案】
【解析】
【分析】应用偶函数的性质求解即可.
【详解】解：当时，可得，
又因为当时，，
所以，
又因为函数是偶函数，即f−x=fx，
所以，
所以当时，.
故答案为：.
14. 已知正数满足，则最小值为______．
【答案】
【解析】
分析】根据题意，得出，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意得，则
，
当且仅当时取等号，故的最小值为．
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设集合，A=x1≤x≤5，，求：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据并集定义可直接求得结果；
（2）根据补集和并集定义可求得结果；
（3）根据补集和交集定义可求得结果.
【小问1详解】
由并集定义知：.
【小问2详解】
，.
【小问3详解】
，或，
.
16. 已知二次函数，，且.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值.
（2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域.
【小问1详解】
解：因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，所以，
即．
【小问2详解】
解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．
因为在递减，在递增，所以，
因为，，
所以，
所以在上的值域为．
17. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
【答案】（1）
（2）时有最小值，最小值为.
【解析】
【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；
（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.
【小问1详解】
由题可先写出速度关于时间的函数，
代入与公式可得
解得；
【小问2详解】
①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；
②疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即时，“”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值.
18. 函数对任意实数恒有，且当时，.
（1）判断的奇偶性；
（2）求证：是上的减函数；
（3）若，解关于的不等式.
【答案】（1）奇函数 （2）证明见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解.
（2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证；
（3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解.
【小问1详解】
解：由题意，函数对任意实数恒有，
令得，解得：.
取，则由得，
∴，即，
∴函数是奇函数.
【小问2详解】
证明：任取，且，则，
∵当时，，∴，
由得，
∴，
∴，
∴是上的减函数.
【小问3详解】
解：由得，
由得，
则，
∴不等式可化为，
∵是上的减函数，
∴，即………①.
（i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为；
（ii）当时，不等式①式化为，即，
若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
（iii）当时，不等式①式化为，即，
∵此时，∴原不等式解集为；
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
【点睛】方法点睛：
1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.
2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用.
19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”．
（1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由；
（2）若函数为区间上的“阶自伴函数”，求的值；
（3）若是在区间0,2上的“阶伴随函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义，取，然后判断出不存在，由此可作出判断；
（2）根据定义，当时，用表示出，判断出对应函数单调性并求解出值域，根据值域与的包含关系求解出结果；
（3）根据定义，先分析出在0,2上值域的情况，然后结合区间与对称轴对进行分类讨论，从而求解出的取值范围.
【小问1详解】
假设是区间上的“阶自伴函数”，
不妨取，则，由可得，
此时无解，所以假设不成立，
所以不是区间上的“阶自伴函数”.
【小问2详解】
由题意可知，对任意的，总存在唯一的，使成立，
即对任意的，总存在唯一的，使成立，
因为在上单调递减，
当时，，当时，，
因为对内的每一个，在内都存在唯一与之对应，且，
所以，
所以，解得.
【小问3详解】
由题意可知，对任意的，总存在唯一的，使成立，
即对任意的，总存在唯一的，使成立，
因为，所以，
所以在0,2上的值域包含2,4且的值域在2,4内对应的自变量是唯一的，
又，对称轴，且，
当时，0,2上单调递增，
所以，解得；
当时，在0,2上单调递减，
所以，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
综上所述，的取值范围为.
【点睛】结论点睛：函数不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．