九年级数学第三次月考卷02（人教版，九年级上册第二十一章~第二十五章）2024+2025学年初中上学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章19%、第二十二章16%、第二十三章17%、第二十四章31%、第二十五章17%。
5．难度系数：0.8。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A．B．5C．3D．
【答案】C
【详解】∵与点关于原点对称，
∴，，
∴．
故选：C
2．二次函数的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：二次函数，
该函数的顶点坐标是，
故选：D．
3．关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
则，
解得，．
故选：A．
4．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况，
其中抽到“夏至”有两种等可能的情况，
．
故选C．
5．如图，为直径，点A，D在上，，若，则的半径长度为（ ）
A．6B．4C．2D．1
【答案】C
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选：C．
6．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )
A．x(x－1)＝2070B．x(x＋1)＝2070C．2x(x＋1)＝2070D．＝2070
【答案】A
【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x=2070，
故选A．
7．若点，在抛物线上，则，的大小关系（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵抛物线，，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴，
故选A.
8．下列说法正确的是（ ）
A．某抽奖活动的中奖概率是，则抽奖次必有一次中奖
B．小明做了次掷图钉的试验，其中次针尖朝上，则针尖朝上的概率是
C．不透明的口袋里装有个红球，个白球，个绿球，这些球形状和大小完全相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率最大
D．人中有两人生日在同一天是随机事件
【答案】C
【详解】解：、某抽奖活动的中奖概率是，但抽奖次不一定有一次中奖，该选项说法错误，不合题意；
、小明做了次掷图钉的试验，其中次针尖朝上，则针尖朝上的概率是，该选项说法错误，不合题意；
、不透明的口袋里装有个红球，个白球，个绿球，这些球形状和大小完全相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率最大，该选项说法正确，符合题意；
、人中有两人生日在同一天是必然事件，该选项说法错误，不合题意；
故选：．
9．如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，此时点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
由旋转性质知，，，
∴．
故选：C．
10．如图，在中，AB是直径，，，那么的度数等于（ ）
A．B．30°C．60°D．90°
【答案】C
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵AB是直径，，
∴，
∴，
故选：C．
11．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，故①错误；
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵若，
∴，
∴时的函数值小于时的函数值，
∵横坐标是的点的对称点的横坐标为，
∴时的函数值等于时的函数值，
∴时的函数值小于时的函数值，
故③错误；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴抛物线为，
∵抛物线经过点，
∴，即，
∴，
∴，
∵点的对称点是，
∴点一定在此抛物线上，故④正确．
故选：C．
12．如图，等腰内接于圆，直径，是圆上一动点，连接，且交于点．下列结论： 平分； ；当时，四边形的周长最大；当，四边形的面积为，正确的有（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．②③④
【答案】B
【详解】解：①等腰内接于圆，是的直径，
，
，
，
平分，
故①正确；
②是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故②正确；
③，
当最大时，四边形的周长最大，
当时，四边形的周长最大，
故③正确；
④如图1，连接并延长交于，
在Rt中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积，
故④不正确，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则c的值是 ．
【答案】1
【详解】解：把代入得：，解得：，
故答案为：1．
14．如图，是⊙O的直径，弦交于点E，，，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：连接BC，则∠DCB=
∵是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-40°-90°=50°
∴∠AEC=∠ABC+∠ECB=50°+30°=80°
故答案为：
15．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．
【答案】九/9
【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，，
，
，
而，
这个正多边形为正九边形，
故答案为：九．
16．一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ．
【答案】
【详解】解：盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个，
从盒子里任意摸到1个红球的概率是．
故答案为：．
17．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：若这种衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，则商场降价后每天的盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式 ．
【答案】
【详解】解：∵每件衬衫降价2元，商场平均每天可多售出4件，
∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出件，
∵原来每件的利润为40元，现在降价x元，
∴现在每件的利润为元，
∴．
故答案为：．
18．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【详解】解：如图，
由题意可知，，，
∴，
∴，
则中间小正方形的面积为，
小正方形的外阴影部分的，
∴阴影部分的面积为，
∴针尖落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（5分）解方程：x2-4x-3=0．
【详解】∵x2-4x=3，
∴x2-4x+4=3+4，即（x-2）2=7，
则x-2=±，
∴x=2±．
∴． …………………………………………………………5分
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

(1)已知与关于原点O成中心对称，请画出，并写出、、三点的坐标；
(2)求出的面积．
【详解】（1）解：如图，就是所求作的图形，

由图形可得：， ，； …………………………………………………………3分
（2）解：的面积． …………………………………………………………7分
21．（8分）已知二次函数．
(1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图；
(3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为2,-1； ……………2分
（2）解：列表：
描点画图，得：
…………………………………………………………5分
（3）解：由抛物线开口向上，对称轴为直线，
则当随的增大而减小时，的取值范围为． …………………………………………8分
22．（8分）与都是等边三角形，连接．
(1)如图①，当点在同一条直线上时，______；若与交于点，则______．
(2)将图②中的绕着点逆时针旋转到如图②的位置，求证：．
【详解】（1）解：如图：
∵是等边三角形，
∴，
∵点B、C、D在同一条直线上，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：； …………………………………………………………4分
（2）证明：∵与都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴． …………………………………………………………8分
23．（10分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
(1)小二从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是_________；
(2)小九从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小九抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
【详解】（1）一共有4张卡片，从中随机抽取一张是C卡片的概率是．
故答案为：； …………………………………………………………3分
（2）列表：
冰雪融化是物理变化，火箭发射，光合作用，葡萄酿酒都是化学变化，
一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合条件的有6种，
所以抽取两张卡片均是化学变化的概率是． ………………………………………………………10分
24．（10分）如图，内接于，是的直径，，垂足为．
(1)求证：；
(2)已知，，求的半径长．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴； …………………………………………………………5分
（2）解：∵，
∴
∴，
∵，
∴
即
∴
∴的半径长为． …………………………………………………………10分
25．（10分）我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑声卡，2020年该类电脑声卡的成本是200元/个，2021年与2022年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2022年该电脑声卡的成本降低到162元/个．
(1)若这两年此类电脑声卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
(2)2022年某商场以高于成本价10%的价格购进若干个此类电脑声卡，以216.2元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1120元，单价应降低多少元？
【详解】（1）解：设平均每年下降的百分率为x，则
200×（1-x）（1-x）=162
x2-2x+0.19=0
（x-0.1）（x-1.9）=0
x=0.1或x=1.9（不符合题意舍去），
∴平均每年下降的百分率为10%； …………………………………………………………5分
（2）解：设单价应降低m元，
则每个售价为（216.2-m-162×110%）=（38-m）元，
每天销售数量为（20+m÷5×10）=（20+2m）个，
如果每天盈利1120元，则
（38-m）（20+2m）=1120，
m2-28m+180=0，
（m-10）（m-18）=0，
m=10或m=18，
∵为了减少库存，
∴m=18，
∴单价应降低18元； …………………………………………………………10分
26．（14分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和．
是的中点，
①
又②
又
即．
根据证明过程，分别写出步骤①，②的理由：① ；② ；
【理解运用】在图（1）中，若，则 ；
【变式探究】如图（3），是的两条弦，点M是的中点，于点D，请写出之间存在的数量关系： ；
【实践应用】如图（4），内接于，是的直径，点D为圆周上一动点，满足．若，的半径为5，求的长．
【详解】[问题呈现]
由证明过程可知，
（相等的弧所对的弦相等）；
（同弧所对的圆周角相等）；
故答案为：①相等的弧所对的弦相等；②同弧所对的圆周角相等； …………………………4分
[理解运用]，
即，
即，
解得：，
，
故答案为：1； …………………………………………………………6分
[变式探究]．
证明：在上截去，连接、、、，
是弧的中点，
，．
又
，
又，
，
，
即，
故答案为：； …………………………………………………………8分
[实践应用]
是圆的直径，
．
因为，圆的半径为5，所以．
已知，
过点作于点，
则，
所以．
所以．
如图，同理易得．
所以的长为或． …………………………………………………………14分A
B
C
D
A
B
C
D