九年级数学第三次月考卷（北京专用，人教版九年级上册第二十一章+第二十五章）2024+2025学年初中上学期第三次月考

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章16%、第二十二章22%、第二十三章24%、第二十四章27%、第二十五章11%。
5．难度系数：0.75。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A．3，-6，-1B．3，-6，1C．3，6，1D．3，6，-1
3．下列事件为必然事件的是（ ）
A．小波参加本次数学考试，成绩是100分
B．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻
C．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
D．某射击运动员射靶一次，正中靶心
4．已知x=2是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，点是优弧上一点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．AD平分
7．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：）
下面有四个推断：
①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620；
④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况一定高于500次．
其中合理的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
8．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A．2B．C．4D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标是 ．
10．如图所示，二次函数图象与一次函数的图象交于两点．当时，自变量的取值范围 ．
11．如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则∠AFC的度数为 ．
12．如图，在中，AB是直径，，＝60°，，那么的长等于 ．
13．若关于的一元二次方程有一个根为0，则 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ．
15．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如下表所示：
其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，4，3，则购买费用为 元；
（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为 ．（写出一种即可）
16．如图，AB是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交于点D，，若，则的半径为 ．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（6分）（1）解方程：；
（2）解方程．
18．（4分）已知是方程的一个根，求代数式的值．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋ax＋b经过点A（－2，0），B（－1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为C，连接OB、OC、BC，直接写出△BOC的面积．
20．（4分）如图，在正方形中，点E在边上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边的延长线上，连接．
(1)判断的形状，并证明；
(2)若，则的面积为 ．
21．（5分）如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接、．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
22．（5分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
(1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ；
(2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，将绕原点逆时针旋转，得到，将右平移6个单位，再向上平移2个单位得到．
(1)画出和；
(2)经旋转后点A的对应点分别为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，，的坐标；
(3)若直接旋转得到，则旋转点M的坐标是 ．
24．（6分）已知二次函数．
(1)求该二次函数的对称轴及顶点坐标；
(2)点在函数图象上，若当时，至少存在一个点，使得，求的取值范围．
25．（6分）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．
(1)如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ；
(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．
26．（7分）如图，内接于，为的直径，为的弦，与交于点，若；延长至，使．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
27．（7分）把一个含45°角的直角三角板 BEF 和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，连接DF，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN．
（1）如图 1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，则MA，MN的数量关系是 ；位置关系是： ；
（2）如图 2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）将直角三角板BEF绕点B旋转一周，若正方形ABCD的边长为6，含45°角的直角三角板 BEF 的直角边长为 4，直接写出旋转过程中点B到直线 DF 的距离最大时线段DF的长．
28．（7分）对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：记点到轴的距离为，到轴的距离为，若，则称为点的“引力值”；若，则称为点的“引力值”．特别地，若点在坐标轴上，则点的“引力值”为．
例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“引力值”为．
(1)①点的“引力值”为 ；
②若点的“引力值”为，则的值为 ；
(2)若点在直线上，且点的“引力值”为2，求点的坐标；
(3)已知点是以为圆心，半径为的圆上的一个动点，直接写出点的“引力值”的取值范围．盒子型号
A
B
C
盒子容量/升
2
3
4
盒子单价/元
5
6
9