九年级数学第三次月考卷（鲁教版，九上全部+九下第五章圆）2024+2025学年初中上学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：鲁教版第一章反比例函数15%+第二章直角三角形的边角关系15%+第三章二次函数25%+第四章投影与视图20%+第五章圆25%。
5．难度系数： 0.65。
第一部分（选择题 共40分）
选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1.如图，将三棱柱的一个角切割掉，所得几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：从左边看，可得选项B的图形．
故选：B．
2.利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】
解：利用该型号计算器计算 ，按键顺序正确的是：

故选：A．
3.如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故选：B．
4.如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ）
A．主视图会发生改变B．左视图会发生改变
C．俯视图会发生改变D．三种视图都会发生改变
【详解】移动前的主视图为：
，
左视图为：
，
俯视图为：
移动后的主视图为：
，
左视图为：
，
俯视图为：
，
所以它的主视图会发生变化．
故选A.
5.如图，内接于．若，度数为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：∵所对圆周角是，且度数为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
6.在二次函数中，与的部分对应值如下表：
则下列判断正确的是（ ）
A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴位于轴左侧
C．抛物线的顶点位于第一象限D．抛物线与轴只有一个交点
【详解】解：由表格，知抛物线与轴的交点为和，共两个，故D选项错误不符合题意；
抛物线的对称轴为，对称轴位于轴右侧，故B选项错误不符合题意；
抛物线的顶点坐标为，位于第一象限，故C选项正确符合题意；
∵当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
抛物线开口向下，故A选项错误不符合题意．
故选：C．
7.如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
【详解】∵AC=AC，
∴∠D=∠B，
∵∠BAC=∠D，
∴∠B=∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴AB=，
故选：C．
8.已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
B．
C． D．
【详解】解：根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，由与y轴交点在正半轴可得，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数经过第一、二、三象限，
符合条件的只有A选项，
故选：A．
9.如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（ ）
A．B．C．D．
【详解】如图，是皮球直径，过作CD⊥BE于点，则点与点为太阳光线与球的切点，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵太阳光线与地面成的角，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故选：．
10.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，故①正确，符合题意；
抛物线与轴有两个交点，
，
，
，故②错误，不符合题意；
在中，当时，，
，
，
，
把代入得：，
，故③正确，符合题意；
，
，
，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①③④，共个，
故选：B．
第二部分（非选择题 共110分）
填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11.写出一个经过原点、开口向上且对称轴是直线的抛物线的解析式： ．
【详解】解：设抛物线解析式为，
经过原点，则时，，
对称轴为，则，，
若则，
解析式为．
故答案为：（答案不唯一）
12.双曲线经过点，则代数式的值为 ．
【详解】解：∵双曲线经过点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13.如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
【详解】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即，
∴OP＝m．
故答案为：．
14.已知二次函数，当时，函数的取值范围为 ．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为，且，
∴当时，y取得最小值．
∵当时，；当时，，
的最大值为0．
的取值范围为．
故答案为：．
15.如图，在中，点为的中点，半径交弦AB于点，已知，，则CD的长为 ．
【详解】解：连接，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
16.如图所示，点的坐标是，与轴相切于点，交轴于点，双曲线与的一个交点为，连接，若，则 ．
【详解】解：如图，连接，作于，于，
点的坐标是，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：．
（2）计算：．
【详解】解：（1）
······（2分）
；······（1分）
（2）
······（2分）
．······（1分）
18.（6分）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标是．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)按照既得数据，计算的面积．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴点A的坐标为，······（1分）
∵点A在反比例函数的图象上，
∴．······（1分）
∴反比例函数解析式为 ；······（1分）
（2）解：联立 ，解得或，
∴点B的坐标为，······（1分）
设直线与y轴的交点为C，

将代入，得，
∴点C的坐标为，
∴，······（1分）
∴，
∴的面积为4．······（1分）
19．（6分）如图，是的外接圆，直径长为4，，求的长．
【详解】解：连接，······（1分）
∵是的直径，
∴，······（2分）
由圆周角定理得：，
∴，······（2分）
∵，
∴．······（1分）
20．（8分）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积．
【详解】解：根据主视图可得，圆柱体底面圆的直径为，
∴圆柱体底面圆的半径为，······（1分）
根据俯视图可得，立体图形的长为，宽为，结合左视图可得，立体图形的高为，
∴立体图形，半圆柱体，······（2分）
∴图示模型的体积为，
∴体积为：；······（1分）
图示立体图形的表面积：
主视图中：，，则；······（1分）
左视图中：；······（1分）
俯视图中：；······（1分）
∴图示模型的表面积为：，
∴表面积为：．······（1分）
21．（8分）在中，为直径，为上一点．

(1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小；
(2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小．
【详解】（1）解：如图，连接，······（1分）

∵与相切于点，
∴，即，······（1分）
∵，
∴，······（1分）
在中，，
∴．······（1分）
（2）解：∵为的中点，
∴，即，······（1分）
∵，
∴，
∴，······（2分）
在中，，
∴．······（1分）
22.（8分）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁．（参考数据：，，．）

(1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由．
【详解】（1）解：过点作于，如图：
（海里），
设，
，，
，，······（1分）
在中，，，
，······（1分）
在中，，，
，······（1分）
，
解得：，······（1分）
答：渔船继续向东航行，有触礁危险．······（1分）
（2）过点于，如图：

由（1）得：（海里），······（1分）
在中，，，海里，
，······（1分）
答：没有触礁危险．······（1分）
23．（10分）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【详解】（1）解：根据题意得：，······（2分）
与之间的函数关系式为；······（2分）
（2）解：根据题意得：，······（3分）
，
当时，随的增大而增大，······（1分）
，
当时，有最大值，最大值为，······（2分）
将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元.
24．（10分）如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是．
(1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置（用点P表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线；
(2)在图中画出表示大树高的线段；
(3)若小明的身高是，他的影长．大树的高度为，它的影长．且大树与小明之间的距离，求路灯的高度．
【详解】（1）解：影子是路灯照射形成的，点P的位置如图所示；
；······（6分）
（2）解：即为树高如图所示；
（3）解：过P点作，垂足为G，则的长即为路灯的高度
由题意知：，，
所以，，即为等腰直角三角形，······（3分）
所以······（1分）
即路灯的高度为．
25．（12分）如图，在等腰中，．E为的中点，平分交于D．经过B，D两点的圆O交于点G．交于点F．恰为圆O的直径．

(1)求证：与圆O相切．
(2)当，＝时，求圆O的半径．
【详解】（1）证明：连接，·····（1分）

则，
∴∠OBD=∠ODB，
平分，
，
，
，·····（2分）
，
在中，，是角平分线，
，
，·····（2分）
是圆O的半径，
与圆O相切；·····（1分）
（2）解：在中，，E为的中点，
∴在中，cs∠ABE=·····（2分）
，
设圆O的半径为r，则，
，
，
∴ ·····（3分）
即
即圆O的半径为．·····（1分）
26．（12分）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求线段长度的最大值；
(3)是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）∵ ，
∴，
∵，
∴ ，·····（1分）
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，·····（2分）
把代入线得：
，
解得，
∴抛物线的函数关系式；·····（1分）
（2）由得直线BC函数关系式为，·····（1分）
∵点D的横坐标为m，
∴ Dm,-14m2+32m+4，Em,-12m+4，，
∴，·····（2分）
∵，
∴当时，取最大值4，·····（1分）
∴线段长度的最大值为4；
（3）存在m的值，使是等腰三角形，理由如下：
延长交于G，如图：
∵点D的坐标为Dm,-14m2+32m+4，点E的坐标为，
∴点G的坐标为，
则，OG＝m，
∵，
∴BC＝4，
∵，
∴，即，
∴；·····（1分）
①若，则，
解得（舍去）或，·····（1分）
②当时，如图，过点C作于点H，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去）；·····（1分）
③当时，如图，过点D作 于点K，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴ 5/4-14m2+2m=445，
解得：或（舍去0），
综上所述，满足条件的m的值为或4或3．·····（1分）
…
0
1
2
…
…
0
2
0
…