北京市第五十中学2025届高三上学期期中检测数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市第五十中学2025届高三上学期期中检测数学试卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ）
A. B.
C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 ，化简得到求解.
【详解】解：因为复数 满足 ，
所以，
所以的虚部为-3，
故选：D
2. 已知集合，则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】明确集合、，再求.
【详解】由，所以.
由，所以.
所以.
故选：C
3. 函数，，，且的最小值为，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件判断出的最小正周期，从而求得.
【详解】依题意，，，且的最小值为，
所以.
故选：A
4. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 非充分非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标表示，求出对应的x的值，再根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，，则，
所以，故有，
当时，因为，
所以，即，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
6. 记为数列的前项和．若，则（ ）
A. 有最大项，有最大项B. 有最大项，有最小项
C. 有最小项，有最大项D. 有最小项，有最小项
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析的最大项，再分析的符号，据此分析可得的最大项，即可得答案．
详解】解：根据题意，数列，，
对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，
对于，时，最大；
且当时，，当时，，当时，，
故当或8时，最大，
故有最大项，有最大项；
故选：．
7. 在等腰梯形中，.M为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】取中点，连接，∵，∴，，
又是中点，∴，且，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，解题可结合平面几何的知识得出直线、线段间关系，从而可得向量的运算表示．
8. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得对任意恒成立，分参即可求解.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以，即对任意恒成立，
令，则在上单调递减，
所以，所以a≥e−1，
即实数的最小值为.
故选：C
9. 点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形(包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点，的中点F，连结，，，取EF中点O，连结，证明平面平面，从而得到P的轨迹是线段，从而得出长度范围.
【详解】取的中点，的中点F，连结，，，取EF中点O，连结，,
∵点M，N分别是棱长为2的正方体中棱BC，的中点，
，,
，四边形为平行四边形，
，而在平面中，易证，
∵平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又，平面，∴平面平面，
∵动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN，
∴点P的轨迹是线段EF，
，，∴，
∴当P与O重合时，的长度取最小值，
为等腰三角形，∴在点或者点处时，此时最大，最大值为.
即的长度范围为
故选：B．
10. 已知函数若，，使成立，则实数的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得的取值范围为.求得，对进行分类讨论，由的取值范围包含来求得的取值范围.
【详解】当时，函数是减函数，，所以；
当时，，，
①若，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，
所以，即，解得；
②若，则，在0,+∞上单调递增，
此时值域为，符合题意.
③当时，的值域为0,+∞，不合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】求解存在性、恒成立问题，可转化为求值域来进行求解.
二、填空题
11. 二项式的展开式中常数项为 __________.(用数字作答)
【答案】60
【解析】
【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出的指数为0的项即得.
【详解】二项式的展开式的通项公式，
由，得，则，
所以二项式的展开式中常数项为60.
故答案为：60
12. 函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
13. 已知命题p：，，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知中“，”为假命题，可以得到否定命题:“，”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．
【详解】解：“，”为假命题，
其否定“，”为真命题，
当时，显然成立；
当时，恒成立可化为：
解得
综上实数a的取值范围是.
故答案为.
【点睛】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相反，写出原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键．
14. 已知等边的边长为，分别是的中点，则_______；若是线段上的动点，且，则的最小值为_______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】第一空：通过展开整理，带入数据计算即可；第二空：设，通过展开整理，带入数据然后配方求最值.
【详解】
;
若是线段上的动点，且，不妨设点相对更靠近点，
设，
，
当时，取最小值，且为.
故答案为：；.
15. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：
①D1O⊥AC；
②存在一点P，D1O∥B1P；
③若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为；
④若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.
其中所有正确结论的序号是_________________.
【答案】①③
【解析】
【分析】对于①，连接，由三角形为等边三角形判读；
对于②，将D1O进行平移到过点，使之具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足D1O∥B1P；
对于③，连 接，证明平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，此时面积最大为：.
对于④，P到直线D1C1的距离为线段的长度，所以，判定出P点位置即可.
【详解】对于①，连接，由正方体的性质知三角形为等边三角形，由于为底面的中心，故为中点，故，①正确；
对于②，将D1O进行平移到过B1点，使之与B1P具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足平行或重合于B1P，所以D1O不可能平行于，②错误；
对于③，取B1B的中点E，连 接，
则，满足，
又面，面，所以，，所以平面，
所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，
此时面积最大为：.所以③正确.
对于④，P到直线D1C1的距离为线段的长度，所以，判定出P点位置为直线的垂直平分线，故④错误.
故正确的序号是: ①③.
故答案为: ①③.
三、解答题
16. 在中，．
（1）若，求的面积：
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求．
条件①：；条件②：；条件③：．
【答案】（1）
（2）若选①，不满足题意；选②或选③，．
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可得，进而可得，再由求解即可；
（2）若选①，结合正弦定理可得，不满足题意，故舍去；若选②，结合正弦定理及三角恒等变换可得，求解即可；若选③，由正弦定理可得，再由余弦定理求解即可.
【小问1详解】
由题意可知，，，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以；
【小问2详解】
若选①，则有且，，
由，可得，
所以，即，
因，故无解，不满足题意；
若选②，则有且，，
由，可得，
所以，
即，，
又因为，解得；
若选③，则有且，，
由，可得，
所以，
所以，所以，
因为，所以不可能为钝角或直角，只能为锐角，
所以，所以．
综上，选②或选③，．
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）在棱上存在点使得平面，此时．
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得到平面，根据线面垂直的性质定理可知；
（2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用法向量可求出直线与平面所成角的正弦值；
（3）设设是棱上一点，假设存在使得，要证明平面，那么有，据此可求得，至此也可得到的值.
【小问1详解】
因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，所以，
【小问2详解】
取的中点，连结，，
因为，所以．
又因为平面，平面平面，
所以平面．
因为平面，所以．
因为，所以．
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，，P0,0,1．
设平面的法向量为n=x,y,z，则
即
令，则，．
所以．
又，所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【小问3详解】
设是棱上一点，则存在使得．
因此点，．
因为平面，所以平面当且仅当，
即，解得．
所以在棱上存在点使得平面，此时．
18. 人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
假设用频率估计概率.
（1）求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
（2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望；
（3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）
【答案】（1）16；
（2）分布列见解析；
（3）“一个”在前更合适
【解析】
【分析】（1）根据表中数据即可求得a的值；根据古典概型的概率公示可求得甲类题材中“一”出现的概率；
（2）确定，根据二项分布的概率计算即可求得答案；
（3）计算样本语料库A，中“一个”和“一格”出现的概率，比较大小，可得结论.
【小问1详解】
由题意可得；
故甲类题材中“一”出现的概率为；
【小问2详解】
由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为，
则，则,,
,
故X的分布列为：
则.
【小问3详解】
由题意知样本语料库中“一格”出现的概率为，
甲类题材中“一个”出现的概率为，
由于，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适.
19. 已知椭圆过点和.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）两个点代入解方程即可.
(2)斜率不存在单独算出是否成立；斜率存在时把设出来与椭圆联立，韦达定理求出两根之和与两根之积用斜率来表示，然后用两个根表示，化简求值即可.
【小问1详解】
将点坐标代入椭圆的方程，得解得,所以椭圆的方程为：
【小问2详解】
若直线的斜率不存在，即直线为时，和重合，和点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时，符合题意.
若直线斜率存在，设直线的方程为，且，联立方程得，，即或
，所以直线的方程为，取得，同理可得
由得，即，所以，即，即
即，因为，所以得，即，经检验符合题意，此时直线为
综上所述，直线的方程为或.
20. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值与最小值；
（3）当时，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先求函数的导数，再讨论和两种情况求函数的单调性，求函数的最值；
（3）首先根据不等式构造函数，再利用导数求函数的最小值，即可证明.
【小问1详解】
，，，
所以曲线在点处的切线方程为；
【小问2详解】
，
当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增，
所以函数的最小值为，最大值为，
当时，，得，
在区间小于0，函数单调递减，
在区间大于0，函数单调递增，
所以函数的最小值为，
，，显然，所以函数的最大值为，
综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为，
当时，函数的最小值为，最大值为；
【小问3详解】
当时，，即证明不等式，
设，，，
设，，，
所以在单调递增，并且，，
所以函数在上存在唯一零点，使，
即，则区间，，单调递减，
在区间，，单调递增，
所以的最小值为，
由，得，且，
所以，
所以，即.
21. 对于数列，，，定义“变换”：将数列变换成数列，，，其中，且，记作．继续对数列进行“变换”，得到数列，，，依此类推．当且仅当得到的数列各项均为0时变换结束．
（1）直接写出2，6，4经过1次“变换”得到的数列，及再经过3次“变换”得到的数列；
（2）若经过次“变换”后变换结束，求的最大值；
（3）设，．已知2，，，且的各项之和为2022，若再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值．
【答案】（1）：4，2，2；：0，2，2.
（2）n的最大值为1 （3）的最小值为506
【解析】
【分析】（1）依据题给规则去求数列和数列即可；
（2）以反证法去证明n的最大值为1；
（3）先求得实数，，再去求的最小值．
【小问1详解】
2，6，4经过1次“变换”得：4，2，2，
：4，2，2，经过1次“变换”得2，0，2；经过第2次“变换”得2，2，0；
经过第3次“变换”得0，2，2.即：0，2，2.
【小问2详解】
n的最大值为1
①先证明n可以为1
构造A：1，1，1，则：0，0，0，变换结束，此时n=1.
②再证明
反证法：假设
设经过次“变换”后得到的数列为，且不全为0.
因为经过次“变换”后变换结束，
所以，所以（t为非0常数）
设（即）由进行“变换”得到，
则
不妨设
所以
所以，与矛盾.
综上，n的最大值为1
【小问3详解】
因为的各项之和为，不妨设，所以为的最大项
即最大，即，或
当时，可得
所以，则
当时，可得
所以，则
定义：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列
“结构相同”.
若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为（不考虑顺序）
所以与数列“结构相同”的数列经过“变换”得到的数列也与“结构相同”，除2以外其余各项减少2，各项之和减少4.
因此，数列2，1009，1011经过504次“变换”一定得到各项为2，1，3，（不考虑顺序）数列.
对2，1，3，继续进行“变换”，依次得1，2，1；1，1，0；0，1，1；
各项为1，1，0的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项之和不再减少.
所以，至少通过506次“变换”得到的数列各项之和最小.
故的最小值为506．
“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况
频数
“一个”
6
“一些”
4
“一穷”
2
“一条”
2
其他
X
0
1
2
P