广东省茂名市高州市2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷-A4

这是一份广东省茂名市高州市2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷-A4，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．．2B．．C．．3.14159D．
2．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝50°B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．AB＝6，BC＝8，AC＝10D．AB：BC：AC＝5：12：13
3．（3分）根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．万达影城一号厅第三列
B．高州市府前路
C．南偏西45°
D．东经102°，北纬24°
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）二次根式有意义，则x的值可以为（ ）
A．4B．1C．3D．5
7．（3分）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm，此时底部边缘A处与E处间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A处与C之间的距离AC为（ ）
A．13cmB．15cmC．20cmD．24cm
8．（3分）估算的值应在（ ）
A．4到5之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间
9．（3分）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ）
A．aB．﹣aC．a﹣2bD．2b﹣a
10．（3分）已知点A的坐标为（a﹣1，3+a），下列说法正确的是（ ）
A．若点A在y轴上，则a＝﹣3
B．若点A在二四象限角平分线上，则a＝1
C．若点A到x轴的距离是3，则a＝0或﹣6
D．若点A在第四象限，则a的值可以为2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）实数﹣27的立方根是 ．
12．（3分）若+（b﹣4）2＝0，则点M（a，b）关于x轴的对称点的坐标为 ．
13．（3分）若一个正整数的两个平方根为2x﹣7与﹣x+1，则这个数是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2024次变换后所得的点A的坐标是 ．
√Ⅳ
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．
三、解答题（一）（本大题4小题，其中第16题8分，17-19每题6分，共26分）
16．（8分）计算：
（1）﹣+；
（2）6．
17．（6分）已知，3a+b﹣1的平方根是±6，求a+4b的平方根．
18．（6分）如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和三角形EDC，分别摆放两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝3，DE＝4，DB＝7，AB＝8，AE＝1，求四边形ABDE的面积．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）已知P为x轴上一点，若AP的长度为，求点P的坐标．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）在平面直角坐标系中，已知点M（m+2，2m+7），点N（n，3）．
（1）若点M在y轴上，求点M的坐标；
（2）若MN∥x轴，且MN＝2，求N点的坐标．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）．
（1）求OF的长；
（2）求点E的坐标．
22．（9分）阅读与思考：
下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务：
任务：
（1）按“活动一”求△ABC的面积；
（2）补全“活动二”的解答过程．
五、解答题（三）（本大题2小题，23题10分，24题12分，共22分）
23．（10分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+b＝m2+2mn（其中，a，b，m，n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若a+b，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ．
（2）若a+4，当a，m，n均为正整数时，求a的值．
（3）化简：．
24．（12分）△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点．
【探究发现】
（1）如图1，点D在边AB下方，∠ADB＝90°．学校的数学兴趣小组的同学们尝试探究此时线段AD、BD、CD之间的数量关系．他们的思路是这样的，作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE．易证△ADC≌△BEC．通过等量代换得到线段之间的数量关系．请根据同学们的思路，写出△ADC≌△BEC的证明过程．
【迁移运用】
（2）如图2，点D在边AB上方，∠ADB＝90°．猜想线段AD、BD、CD之间的数量关系，并证明你的结论．
【延伸拓展】
（3）图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAC＝∠ADC＝45°，若AD＝3，CD＝6，请直接写出BD的值．
2024-2025学年广东省茂名市高州市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．．2B．．C．．3.14159D．
【答案】D
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、3.14159是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝50°B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．AB＝6，BC＝8，AC＝10D．AB：BC：AC＝5：12：13
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵∠A＝40°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故B符合题意；
C、∵AB2+BC2＝62+82＝100，AC2＝102＝100，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵设AB：BC：AC＝5：12：13，
∴设AB＝5x，BC＝12x，AC＝13x，
∵AB2+BC2＝（5x）2+（12x）2＝169x2，AC2＝（13x）2＝169x2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（3分）根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．万达影城一号厅第三列
B．高州市府前路
C．南偏西45°
D．东经102°，北纬24°
【答案】D
【分析】根据平面内的点与有序实数对一一对应分别对每个选项判断．
【解答】解：A、万达影城一号厅第三列不能确定具体位置，不符合题意；
B、高州市府前路不能确定具体位置，不符合题意；
C、南偏西45°不能确定具体位置，符合题意；
D、东经102°，北纬24°能确定具体位置，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标确定位置，平面内的点与有序实数对一一对应，解题的关键在于理解对应规则．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】由平面直角坐标系中点的坐标的符号特点进行判断，因为3＞0，﹣2＜0，所以点P（3，﹣2）在第四象限．
【解答】解：∵3＞0，﹣2＜0，
∴点P（3，﹣2）在第四象限．
故选：D．
【点评】此题主要考查平面直角坐标系中已知点的坐标确定点的位置，比较简单．牢记四个象限的点的坐标的符号特点：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项计算判断即可．
【解答】解：A、，故此选项符合题意；
B、被开方数为﹣16，没有意义，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、＝2，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键．
6．（3分）二次根式有意义，则x的值可以为（ ）
A．4B．1C．3D．5
【答案】B
【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
2﹣x≥0时，二次根式有意义，
解得x≤2．
则只有B项符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键．
7．（3分）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm，此时底部边缘A处与E处间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A处与C之间的距离AC为（ ）
A．13cmB．15cmC．20cmD．24cm
【答案】D
【分析】由勾股定理求出AD＝25cm，则AB＝AD＝25cm，再由勾股定理求出AC的长即可．
【解答】解：由题意可知，AB＝AD，DE＝20cm，AE＝15cm，BC＝7cm，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD＝＝＝25（cm），
∴AB＝AD＝25cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝24（cm），
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．（3分）估算的值应在（ ）
A．4到5之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数，进而得到2+的大小即可．
【解答】解：∵16＜19＜25，
∴＜＜，
即4＜＜5，
∴6＜2+＜7．
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
9．（3分）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ）
A．aB．﹣aC．a﹣2bD．2b﹣a
【答案】B
【分析】由数轴，得a＜0，b＞0，于是得出a﹣b＜0，再根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：由数轴，得a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴
＝|a﹣b|﹣|b|
＝﹣（a﹣b）﹣b
＝﹣a+b﹣b
＝﹣a，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
10．（3分）已知点A的坐标为（a﹣1，3+a），下列说法正确的是（ ）
A．若点A在y轴上，则a＝﹣3
B．若点A在二四象限角平分线上，则a＝1
C．若点A到x轴的距离是3，则a＝0或﹣6
D．若点A在第四象限，则a的值可以为2
【答案】C
【分析】根据题意列出方程或不等式组即可解得答案．
【解答】解：A（a﹣1，3+a）在y轴上，则a﹣1＝0，即a＝1，故A错误，不符合题意；
A（a﹣1，3+a）在二四象限角平分线上，则a﹣1＝﹣（3+a），即a＝﹣1，故B错误，不符合题意；
A（a﹣1，3+a）到x轴的距离是3，则|3+a|＝3，即a＝0或a＝﹣6，故C正确，符合题意；
A（a﹣1，3+a）在第四象限，则，不等式组无解，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查点的坐标，涉及解一元一次方程和一元一次不等式组，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点坐标的特征．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）实数﹣27的立方根是 ﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由立方根的定义和乘方的关系容易得出结果．
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴实数﹣27的立方根是﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了立方根的定义、乘方的意义；熟练掌握立方根的定义是解决问题的关键．
12．（3分）若+（b﹣4）2＝0，则点M（a，b）关于x轴的对称点的坐标为 （﹣3，﹣4） ．
【答案】（﹣3，﹣4）．
【分析】根据算术平方根，偶次方的非负性求出a、b的值，确定点M的坐标，再根据关于x轴对称的两个点坐标之间的关系即可得出答案．
【解答】解：∵+（b﹣4）2＝0，而≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a+3＝0，b﹣4＝0，
即a＝﹣3，b＝4，
∴点M（﹣3，4），
点（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标为 （﹣3，﹣4）．
故答案为：（﹣3，﹣4）．
【点评】本题考查算术平方根，偶次方的非负性，理解算术平方根、偶次方的非负性是正确解答的关键．
13．（3分）若一个正整数的两个平方根为2x﹣7与﹣x+1，则这个数是 25 ．
【答案】25．
【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出2x﹣7+（﹣x+1）＝0，即可求出x的值，从而求出这个数．
【解答】解：根据题意得，2x﹣7+（﹣x+1）＝0，
解得x＝6，
∴﹣x+1＝﹣6+1＝﹣5，
∴这个数是（﹣5）2＝25，
故答案为：25．
【点评】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
14．（3分）在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2024次变换后所得的点A的坐标是 （2，） ．
√Ⅳ
【答案】（2，）．
【分析】根据所给变换方式，得出每经过4次变换，点A的坐标重复一次，据此可解决问题．
【解答】解：根据所给变换方式可知，
每经过4次变换，点A的坐标重复一次，
因为2024÷4＝506，
所以第2024次变换后点A的坐标与第4次变换后点A的坐标相同．
又因为第4次变换后点A的坐标为（2，），
所以第2024次变换后点A的坐标为（2，）．
故答案为：（2，）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称及点的坐标变化规律，能根据所给变换方式，得出每经过4次变换，点A的坐标重复一次是解题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．
【答案】．
【分析】在AB上取点F′，使AF′＝AF，连接F'E，F'C，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE＝EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，连接F'E，F'C，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE＝∠F′AE，
∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEF'（SAS），
∴EF＝EF′，
∵S△ABC＝AB•CH＝AC•BC，
∴CH＝＝，
∵EF+CE＝EF′+EC≥F'C，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是轴对称﹣最短路线问题，轴对称﹣最短路线问题，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握对称的性质．
三、解答题（一）（本大题4小题，其中第16题8分，17-19每题6分，共26分）
16．（8分）计算：
（1）﹣+；
（2）6．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先把二次根式化成最简二次根式，进行开立方运算，然后算加减即可；
（2）根据绝对值的性质、负整数指数幂的性质和二次根式的化简，先算乘方和开方，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝+（﹣2）
＝；
（2）原式＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握如何把二次根式化成最简二次根式、绝对值的性质、负整数指数幂的性质．
17．（6分）已知，3a+b﹣1的平方根是±6，求a+4b的平方根．
【答案】±4．
【分析】根据算术平方根、平方根的定义求出a、b的值，再计算a+4b，最后根据平方根的定义求解即可．
【解答】解；依题意得：2a+1＝25 3a+b﹣1＝36，
∴a＝12，b＝1，
∴a+4b＝12+4×1＝16，
∵16的平方根为±4，
∴a+4b的平方根为±4．
【点评】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
18．（6分）如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和三角形EDC，分别摆放两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝3，DE＝4，DB＝7，AB＝8，AE＝1，求四边形ABDE的面积．
【答案】18．
【分析】由勾股定理得CE＝5，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，然后由三角形面积公式列式计算即可．
【解答】解：∵∠EDC＝90°，DC＝3，DE＝5，
∴，
∴AC＝AE+CE＝6，
∵BC＝BD+CD＝3+7＝10，AB＝8，
∴AB2+AC2＝100＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，
∴S四边形ABDE＝S△ABC﹣S△CDE＝AB•AC﹣DC•DE＝×6×8﹣×3×4＝24﹣6＝18，
答：四边形ABDE的面积为18．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）已知P为x轴上一点，若AP的长度为，求点P的坐标．
【答案】（1）见解答．
（2）（3，0）或（﹣3，0）．
【分析】（1）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可．
（2）设点P的坐标为（m，0），根据题意可列方程为＝，求出m的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）设点P的坐标为（m，0），
∵AP的长度为，
∴＝，
解得m＝3或﹣3，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
【点评】本题考查作图—复杂作图、坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）在平面直角坐标系中，已知点M（m+2，2m+7），点N（n，3）．
（1）若点M在y轴上，求点M的坐标；
（2）若MN∥x轴，且MN＝2，求N点的坐标．
【答案】（1）点M的坐标为（0，3）；
（2）点N的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征即可解决问题．
（2）根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：（1）因为点M在y轴上，
所以m+2＝0，
解得m＝﹣2，
则2m+7＝3，
所以点M的坐标为（0，3）．
（2）因为MN∥x轴，且点M（m+2，2m+7），点N（n，3），
所以2m+7＝3，
解得m＝﹣2，
则m+2＝0，
所以点M的坐标为（0，3）．
又因为MN＝2，
所以n＝0+2＝2或n＝0﹣2＝﹣2，
所以点N的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知y轴上及平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）．
（1）求OF的长；
（2）求点E的坐标．
【答案】（1）3；
（2）（10，3）．
【分析】（1）由点D的坐标可知AD＝OC＝10，AO＝CD＝8，根据翻折的性质可知AF＝10，由勾股定理可求得OF＝3；
（2）由（1）得OF＝3，从而得到FC＝4，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，在Rt△EFC中，由勾股定理可求得EC的长即可．
【解答】解：（1）∵点D的坐标为（10，8），在矩形AOCD中，
∴AD＝OC＝10，AO＝CD＝8，
由折叠的性质的可知：AF＝AD＝10ED＝EF，
在Rt△AOF中，由勾股定理得：，
∴F（6，0）．
∴OF＝6；
（2）由（1）得OF＝6，
∴FC＝OC﹣OF＝10﹣6＝4，
设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2＝EC2+FC2即（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴点E的坐标为（10，3）．
【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
22．（9分）阅读与思考：
下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务：
任务：
（1）按“活动一”求△ABC的面积；
（2）补全“活动二”的解答过程．
【答案】（1）84平方厘米；
（2）见解析．
【分析】（1）按照甲同学的思路，先求出p的值，然后再代入数据求出△ABC的面积即可；
（2）按照乙同学的思路，先求出AD的长，再利用三角形面积公式求出△ABC的面积即可．
【解答】解：（1）∵AB＝13（厘米），BC＝14（厘米），AC＝15（厘米），
∴（厘米），
∴（平方厘米）；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，
设BD＝x厘米，则CD＝（14﹣x）厘米，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
根据勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得：x＝5，
∴（厘米），
∴（平方厘米）．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据勾股定理列出关于x的方程．
五、解答题（三）（本大题2小题，23题10分，24题12分，共22分）
23．（10分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+b＝m2+2mn（其中，a，b，m，n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若a+b，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ．
（2）若a+4，当a，m，n均为正整数时，求a的值．
（3）化简：．
【答案】（1）m2+3n2；2mn；
（2）29或11；
（3）．
【分析】（1）将原式展开后即可求得答案；
（2）将原式展开后即可求得答案；
（3）将9﹣4变形为4﹣4+5后利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）由题意可得a+b＝m2+3n2+2mn，
则a＝m2+3n2，b＝2mn，
故答案为：m2+3n2；2mn；
（2）∵若a+4，
∴＝m2+2mn+7n2（a，b，m，n均为整数），
∴a＝m2+7n2，2mn＝4，
∴mn＝2，
那么m＝1，n＝2，a＝29或m＝2，n＝1，a＝11，
综上所述，a＝29或11；
（3）∵，
∴＝．
【点评】本题考查二次根式的性质与完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
24．（12分）△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点．
【探究发现】
（1）如图1，点D在边AB下方，∠ADB＝90°．学校的数学兴趣小组的同学们尝试探究此时线段AD、BD、CD之间的数量关系．他们的思路是这样的，作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE．易证△ADC≌△BEC．通过等量代换得到线段之间的数量关系．请根据同学们的思路，写出△ADC≌△BEC的证明过程．
【迁移运用】
（2）如图2，点D在边AB上方，∠ADB＝90°．猜想线段AD、BD、CD之间的数量关系，并证明你的结论．
【延伸拓展】
（3）图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAC＝∠ADC＝45°，若AD＝3，CD＝6，请直接写出BD的值．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）AD＝BD+CD，证明过程见解答；
（3）9．
【分析】（1）如图1，作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE，根据SAS即可证明△ADC≌△BEC；
（2）如图2，在AD上截取AE，使AE＝BD，证明△CBD≌△CAE（SAS），得∠CAE＝∠CBD，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题；
（3）如图3，过点C作CE⊥CD，使CE＝CD，连接DE，AE，证明△BCD≌△ACE（SAS），得AE＝BD．然后证明∠EDA＝90°．利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ACD+∠DCB＝∠ECB+∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠ECB，
∵AC＝BC，EC＝CD，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
（2）解：CD，证明如下：
如图2，在AD上截取AE，使AE＝BD，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CAE+∠BAD+∠ABC＝90°，∠BAD+∠ABC+∠CBD＝90，
∴∠CAE＝∠CBD，
∵AE＝BD，AC＝BC，
∴△CBD≌△CAE（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD，
∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝90°，
∴∠BCD+∠ECB＝∠ACE+∠ECB＝90°，
∴∠ECD＝90°，
∵EC＝CD，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴ED＝CD，
∵AD＝AE+ED，
∴AD＝BD+CD；
（3）解：如图3，过点C作CE⊥CD，使CE＝CD，连接DE，AE，
∵CD＝6，
∴，
∵∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△CAE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD．
∵∠ADC＝45°，∠EDC＝45°，
∴∠EDA＝90°．
∴．
【点评】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
红山文化遗址中出土了大量形状各异的精美玉器，图1是类似三角形的玉璧．
为了计算这个三角形玉璧的面积（中间的圆孔忽略不计），我们小组建构了如图2所示的“玉璧模型”，经测量，三边的长度分别为AB＝13cm，BC＝14cm，AC＝15cm，同学们通过观察、猜想、实验等方法，进行如下探究活动：
活动一：如果△ABC的三边长分别为a，b，c，设p为△ABC周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出△ABC的面积．
活动二：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出△ABC的面积，具体解答过程如下：
解：过点A作AD⊥BC于点D，
则∠ADB＝∠ADC＝90°，
设BD＝x cm，则CD＝（14﹣x）cm，
……
红山文化遗址中出土了大量形状各异的精美玉器，图1是类似三角形的玉璧．
为了计算这个三角形玉璧的面积（中间的圆孔忽略不计），我们小组建构了如图2所示的“玉璧模型”，经测量，三边的长度分别为AB＝13cm，BC＝14cm，AC＝15cm，同学们通过观察、猜想、实验等方法，进行如下探究活动：
活动一：如果△ABC的三边长分别为a，b，c，设p为△ABC周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出△ABC的面积．
活动二：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出△ABC的面积，具体解答过程如下：
解：过点A作AD⊥BC于点D，
则∠ADB＝∠ADC＝90°，
设BD＝x cm，则CD＝（14﹣x）cm，
……