贵州省黔东南州榕江实验高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份贵州省黔东南州榕江实验高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

（第1卷包括22小题，每小题3分，共66分）
一、选择题;每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的
1. 已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合并集的定义即可得到答案.
【详解】
故选：D
2. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】时，一定有，满足充分性，
但时，如，不满足，即不满足必要性，
“”是“”的为充分不必要条件．
故选：A．
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】的否定为：.
故选：C
4. 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于ABC，令，举反例即可；对于D，直接由不等式的传递性即可得证.
【详解】对于ABC，令，显然满足，同时，，，故ABC错误；
对于D，若，则，故D正确
故选：D.
5. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求已知函数解析式的函数的定义域，只需让函数解析式有意义即可.
【详解】由题意可得：，∴
故选：A
6. 下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本函数的单调性即可判断.
【详解】对于A，在上单调递减，故A错误；
对于B，在上单调递减，故B错误；
对于C，在上单调递增，故C正确；
对于D，在上单调递减，故D错误.
故选：C.
7. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接由函数的解析式判断其奇偶性即可得解.
【详解】对于A，是奇函数，故A错误；
对于B，是偶函数，故B正确；
对于C，是奇函数，故C错误；
对于D，因为的定义域不关于原点对称，
所以它是非奇非偶函数，故D错误.
故选：B.
8. 函数的零点是（ ）
A. 1B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】令即可求解.
【详解】令，解得，
故函数的零点为.
故选：D.
9. 函数（，且）的图象过的定点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的图象过定点，从而可求解.
【详解】由指数函数的图象过定点，
所以函数的图象过定点，故C正确.
故选：C.
10. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性求解.
【详解】因为，又函数是R上的增函数，
所以，
所以不等式解集为.
故选：C.
11. 下列算式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的运算性质逐一判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D
12. 已知是第四象限角，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出的值，再由求解即可.
【详解】解：因为，是第四象限角，
所以，
所以.
故选：D.
13. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角和的正弦公式求得正确答案.
【详解】.
故选：A
14. 如图，四边形是正方形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角形法则即可求解.
【详解】.
故选：B
15. 若向量，则的坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算得坐标公式计算即可.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
16. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】复数对应的点为即可求解.
【详解】因为，所以对应的点的坐标为，
故选：D
17. 一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果．
【详解】∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴球的直径是正方体的对角线，
∴球的半径是r，
∴球的表面积是4
故选：A
18. 在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（ ）
A. 相交B. 平行C. 是异面直线D. 可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.
【详解】由题意知在空间中，两条直线与没有公共点，即与不相交，
则a与b可能平行，也可能是异面直线，
故选：D
19. 已知x、x+1、x+3、x+5、x+6的平均数为5，则它们的中位数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数定义求出，再根据中位数定义即可求解.
【详解】x、x+1、x+3、x+5、x+6的平均数为5，
则，即，
解得，所以它们的中位数为.
故选：.
20. 以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（ ）
A. 65B. 70C. 75D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】由样本数据第百分位的定义求解即可得出答案.
【详解】因为10人成绩的第百分位数是，
而，即第位与第位的平均值，
所以是这10人成绩的第百分为数.
故选：B.
21. 如图，一只转盘，均匀标有8个数，现转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用概率公式计算即可得.
【详解】共有8个数，其中偶数的个数为4个，故.
故选：A.
22. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，分析可知异面直线与所成的角为（或其补角），结合正方体的性质分析求解.
【详解】连接，
因为∥，，可知为平行四边形，
则∥，可知异面直线与所成的角为（或其补角），
由正方体可知，即为正三角形，可知，
所以异面直线与所成的角等于.
故选：C.
第Ⅱ卷
（第Ⅱ卷包括8小题，共34分）
二、填空题，本题共5小题，每小题3分，共15分
23. 函数（）的最小值是________．
【答案】6
【解析】
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数（）的最小值是.
故答案为：
24. 已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据为偶函数，可以补全y轴左侧的图象，再对和分类讨论，确定的正负，由函数图象即可确定最后的取值范围
【详解】根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象，
由，
当时，，结合图象可得；
当时，，可得，
所以的解为或.
故答案为：.
25. 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】由二倍角的正弦公式求解.
【详解】.
故答案为：
26. 已知单位向量与单位向量的夹角为，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的数量积及模长转化法求出模长.
【详解】因为,的夹角为120°，
所以，
.
故答案为：.
27. 已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为_____________．
【答案】18π
【解析】
【分析】由圆柱的侧面积公式与圆面积公式求得底面半径和高，再由体积公式计算．
【详解】设圆柱底面半径为，高为，
由题意，解得，
所以体积为．
故答案为：．
三、解答题（本题共3小题，共19分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
28. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求f1的值；
（2）求函数的零点．
【答案】（1）
（2），3
【解析】
【分析】（1）根据图象可知，即可求解函数解析式，再代入求值；
（2）根据零点的定义，解方程，即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以．
所以．
所以．
【小问2详解】
因为，
所以．
令，
得．
所以的零点为，3．
29. 已知函数．
（1）求函数的最大值和最小值；
（2）求函数的单调递增区间．
【答案】（1）函数的最大值为2，最小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式可得，以为整体，结合正弦函数最值分析求解；
（2）以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解.
【小问1详解】
由题意可得：，
当，即时，取到最大值2；
当，即时，取到最小值.
【小问2详解】
令，解得，
所以函数单调递增区间为.
30. 如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，，.

（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：BC⊥平面；
（3）求直线PC与平面所成角的正切值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）2.
【解析】
【分析】（1）利用三棱锥的体积公式计算即得.
（2）利用线面垂直的性质、判定推理即得.
（3）利用几何法求出线面角的正切值.
【小问1详解】
由AB是⊙O的直径，C是圆上一点，，得，
，，而PA⊥⊙O所在的平面，
所以三棱锥的体积.
【小问2详解】
由PA⊥⊙O所在的平面，⊙O所在的平面，则，
由（1）知，，又平面，
所以BC⊥平面.
【小问3详解】
由PA⊥⊙O所在的平面，得是直线PC与平面所成的角，
所以.