吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4

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这是一份吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设函数，当时，的最小值为，则的最大值为（）
A B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的单调性以及最值来求得正确答案.
【详解】，
当时，单调递减，在0,1上的最小值为；
当时，，；
当时，a−1a>0,fx单调递增，在0,1上的最小值为，
因此ga=a,01,
可得当时，取得最大值为1．
故选：D
2. 近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样性、农牧业生产等构成巨大威胁．某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个月就增长1倍．假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要）（）
A. 8年B. 10年C. 12年D. 20年
【答案】C
【解析】
【分析】设经过个月动物数量由入侵的100只增长到1亿，可得，两边同时取对数可求出答案.
【详解】设经过个月动物数量由入侵的100只增长到1亿，
所以，所以，
两边同时取对数可得：，
所以，所以，
而，
所以该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要12年.
故选：C.
3. 设，则关于的不等式的解集为（）
A. 或B. {x|x>a}
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】当时，根据开口方向及根的大小关系确定不等式的解集.
【详解】因为，所以等价于，
又因为当时，，所以不等式的解集为：或．
故选：A．
【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.
4. 已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为（）
A. (1，＋∞)B. (2，＋∞)
C. (－∞，－1)∪(1，＋∞)D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数解析式，对参数分类讨论，即可求解不等式求得结果.
【详解】当a＝0时，显然不成立.
当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a2－2a>0，解得a>2.
当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a2＋2a>0，解得a<－2.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
故选：.
【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，涉及一元二次不等式的求解，属基础题.
5. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用指数函数、二次函数的单调性，以及分段函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数在上为单调递减函数，
则满足，解得，
即实数的取值范围为.
故选：A.
6. 若函数为上的减函数，则实数的取值范围是（）
A. 4,+∞B. C. D. 0,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知二次函数在区间−∞,1上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由于函数为上的减函数，
则二次函数在区间−∞,1上为减函数，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，所以，；
函数在区间上为减函数，则，且有.
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，要注意分析每支函数的单调性以及分界点处函数值的大小关系，考查计算能力，属于中等题.
7. 若都是奇函数，在(0,+∞)上有最大值6，则在上有（）.
A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值
【答案】C
【解析】
【分析】
由在(0,+∞)上有最大值6可得，然后结合奇函数的对称性可求，从而可求在上有最大值．
【详解】解：，都是奇函数，，
所以，
因为在(0,+∞)上有最大值6，
所以，
所以，
所以在上有最小值．
故选：．
8. 若函数有最小值，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论、研究有最小值情况下参数范围.
【详解】由在上递增，且值域为，
由，开口向上且对称轴为，
所以，二次函数在上递减，在上递增，
要使有最小值，
当时，显然不成立；
当时，，则，可得；
综上，实数的取值范围是.
故选：B
二、多项选择题（本大题共4小题．每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9. 若，，，，则下列各式中，恒等的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据对数的运算法则及对数的性质以及换底公式一一计算可得；
【详解】解：因为，，，，
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：BCD
10. 下列结论正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
【详解】A. 取特殊值，，，显然不满足结论；
B. 由可知，，由不等式性质可得，结论正确；
C. 由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；
D. 取，满足条件，显然不成立，结论错误.
故选：BC.
11. 已知，则下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】选项A，利用不等式性质进行拆解，即可判断出选项A的正误；选项B和D，通过作差法，再结合条件即可判断出选项B和D的正误；选项C，通过取特殊值即可得出结果.
【详解】对于选项A，因为，所以，又，所以，
即，得到，所以选项A错误；
对于选项B，因为，
又，所以，得到，即，所以选项B正确；
对于选项C，取，满足，但，所以选项C错误；
对于选项D，因为，
又，所以，得到，即，所以选项D正确，
故选：BD.
12. 已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（）
A.
B. 不等式的解集为
C. 函数在区间上的最大值为2
D. 的解析式可表示为：
【答案】BD
【解析】
【分析】由函数的图象求出函数的解析式，由此分析选项可得答案．
【详解】根据题意，由图象可得，在区间上，函数图象为线段，经过点和，
则其方程为，
在区间上，函数图象为线段，经过点和，
设，，则，解得，
所以其方程为，
综合可得，
对于A，，则，故A错误；
对于B，若，则有或，解得或，
即不等式解集为，故B正确；
对于C，在区间上，为减函数，其最大值为，故C错误；
对于D，由，故D正确．
故选：BD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 若均为实数，使不等式和都成立的一组值是______（只要举出适合条件的一组值即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据条件写出满足不等式的一组值即可.
详解】由知，同号，同号，且．
因为，所以．
所以在取时只需满足以下条件即可：①同号，同号，异号；②．
令，不妨取，
则，取，则满足要求．
故答案为：（答案不唯一）.
14. 已知函数，且，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，函数，且则，求得，进而可求得的值.
【详解】由题意，函数，
则，解得，
又由.
【点睛】本题主要考查了函数解析式的化简求值问题，其中根据函数的解析式，分别代入，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15. 设，，，，则，的关系是________.
【答案】
【解析】
分析】根据集合中元素，可直接得出结果.
【详解】集合中的元素为直线上的所有的点；
而集合中的元素为直线上除以外的所有的点，
故.
故答案：.
【点睛】本题主要考查判断两集合间的关系，属于基础题型.
16. 用表示三个数中最小值，则函数的最大值是___________．
【答案】6
【解析】
【详解】试题分析：由分别解得，则函数
则可知当时，函数取得最大值为6
考点：分段函数的最值问题
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】就和分类讨论，当时，利用判别式可求实数的取值范围.
【详解】当时，原不等式可化为，其解集不为，故不满足题意，舍去；
当时，要使原不等式的解集为，只需解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查不等式在上的恒成立问题，注意先讨论二次项系数，再讨论判别式的正负，本题属于基础题.
18. 判断函数f（x）=的奇偶性．
【答案】f（x）为奇函数．
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义，当和分别求得，即可作出证明.
【详解】若x>0，则–x<0，
则f（–x）=–（–x）2–2（–x）–3=–x2+2x–3=–（x2–2x+3）=–f（x），
若x<0，则–x>0，
则f（–x）=x2–2（–x）+3=x2+2x+3=–（–x2–2x–3）=–f（x），
又∵f（0）=0，
∴综上，对任意实数x，都有f（–x）=–f（x），
∴f（x）为奇函数．
【点睛】本题主要考查了分段函数的奇偶性的证明，其中熟记函数奇偶性的定义，分和分别求得是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与论证能力，属于中档试题.
19. 定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数．
（1）求，的值；
（2）证明：函数是偶函数；
（3）解不等式
【答案】解：(1) f(1)=0, f(－1)=0 (2)见解析(3) 或
【解析】
【详解】试题解析：解：（1）令，则
令，则
（2）令，则
，
∴为定义域上的偶函数．
（3）据题意可知，函数图象大致如下：
，
或，
或
考点：1函数的奇偶性；2函数的单调性．
20. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有可围网长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少，可使每间虎笼面积最大？

【答案】长，宽
【解析】
【分析】设每间虎笼长，宽，根据材料建立等式，利用基本不等式得出，根据等号成立的条件得到关系，联立求解方程组即可．
【详解】设每间虎笼长，宽，
则由“有可围网长的材料”，得，即．
设面积，
由于，
所以，得，
即，
且仅当时，等号成立．
解方程组
解得
所以每间虎笼设计长，宽分别为、时，面积最大为．
21. 判断下列函数的奇偶性．
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）奇函数（2）既是奇函数又是偶函数．
（3）偶函数
【解析】
【分析】先求出函数的定义域并判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义判断即可.
【小问1详解】
因为x∈R，所以．
又因为，
所以为奇函数．
【小问2详解】
因为函数的定义域为，关于原点对称，且，
所以．
所以既是奇函数又是偶函数．
【小问3详解】
的定义域是，
对，都有．
当时，，；
当时，，．
综上可知，对于x∈−∞,0∪0,+∞，都有f−x=fx，故为偶函数．
22. 定义在上的函数满足，且函数在−∞,0上是减函数.
（1）求，并证明函数是偶函数；
（2）若，解不等式.
【答案】（1），证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到与之间的关系，进而证明；
（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可.
【详解】（1）令，则，
得，
再令，，可得，
得，所以，
令，可得，
又该函数定义域关于原点对称，
所以是偶函数，即证.
（2）因为，又该函数为偶函数，所以.
因为函数在−∞,0上是减函数，且是偶函数
所以函数在0,+∞上是增函数.又，
所以，等价于或
解得或.
所以不等式的解集为.
【点睛】本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式.