吉林省长春市博硕学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（原卷版）-A4

这是一份吉林省长春市博硕学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（原卷版）-A4，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间： 120分钟 满分： 150 分
命题人：梁丽娟 审题人：郭恒武 迟士庄
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每道题4个选项中只有一个符合题目要求.
1. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
2. 已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 以椭圆焦距为直径的圆交椭圆于四点，若这四点与两焦点恰构成正六边形，则椭圆离心率为（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 若圆与圆有公切线，则实数的范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为BD中点，则点到直线EF的距离（ ）
A. B. C. D.
8. 太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线.给出以下命题：

①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为，则；
②当时，直线与黑色阴影区域有个公共点；
③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有个公共点.
其中所有正确命题的序号是（ ）
A. ①②B. ①③
C. ②③D. ①②③
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若空间向量，，则在上的投影向量为
B. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 设M为双曲线上一动点，为上下焦点，O为原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则或6
B. 双曲线C与双曲线离心率相同
C. 若点，M在双曲线C上支，则最小值为
D. 过直线l交C于G、H不同两点，若，则l有2条
三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上.
12. 过点作圆的切线，切线方程为__________.
13. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______
14. 椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点、是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点时，小球经过的最短路程是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点；
（2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．
16 已知圆，直线.
（1）求证：直线恒过定点；
（2）直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长；
（3）在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程.
17. 已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为.
（1）求椭圆C标准方程；
（2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长；
（3）若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程.
18. 椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.
①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求面积的最大值.
19. 如图，在四棱锥中，平面，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由.