四川省成都市郫都区第一中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷-A4

这是一份四川省成都市郫都区第一中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷-A4，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）9的算术平方根为（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．81
2．（4分）二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）点P在第二象限内，且到x轴．y轴的距离分别为3和5，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣5，3）B．（5，﹣3）C．（3，﹣5）D．（﹣3，5）
4．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．27的立方根是3，记作
B．﹣25的算术平方根是5
C．a的三次方根是
D．正数a的算术平方根是
5．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下面的关系：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm
7．（4分）如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数﹣2，1，2，3，则表示的点P应在线段（ ）
A．线段AB上B．线段BC上C．线段CD上D．线段OB上
8．（4分）下列表示一次函数y＝mx﹣n与正比例函数y＝mnx（m、n为常数，且mn≠0）图象中，一定不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）在实数，3.14，0，，，，0.16161661…（两个1之间依次多一个6）中，无理数的有 个．
10．（4分）如果点P（2a+3，a﹣2）到横坐标和纵坐标的距离相等，则a＝ ．
11．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为 ．
12．（4分）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为 ．
13．（4分）当m＝ 时，函数是一次函数．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）计算：
（1）．
（2）．
15．（8分）解方程组：．
16．（8分）如图为某学校新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若教学楼的坐标为A（1，2），图书馆的坐标为B（﹣2，﹣1）．
（1）若体育馆C的坐标为（1，﹣3），食堂D的坐标为（2，0），请在图中标出C，D的位置；
（2）顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形ABCD，求四边形ABCD的面积．
17．（10分）已知：9的平方根分别是3和x+5，y是的整数部分．
（1）求x+y的值；
（2）求x2+y2的平方根．
18．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，△ABC的面积是 ；
（2）若点D与点A关于y轴对称，点E与点B关于y轴对称，点F与点C关于x轴对称，画出△DFE，写出点F的坐标为 ；
（3）已知P为坐标轴上的一点，若△ABP的面积为3，求点P的坐标．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）若，其中a，b为两个连续的整数，则ab的值为 ．
20．（4分）如图，小张在投篮训练时把球打到篮板的点D处后恰好进球，已知小张与篮板底的距离米，头顶与地面的距离AB＝1.65米，头顶与篮板点D处的距离AD＝3米，则点D到地面的距离CD为 米．
21．（4分）如果三角形三边长分别为，k，，则化简﹣|2k﹣5|得 ．
22．（4分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AE是△ABD中BD边上的中线，若∠CBD＝60°，∠AEB＝150°，BD＝4，则AB＝ ．
23．（4分）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段OA上的一点，若将△ABC沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的A处，若P是y轴负半轴上一动点，且△BCP是等腰三角形，则P的坐标为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）化简：＝ ；＝ ．
（2）计算：．
（3）已知m是正整数，，，a+b+3ab＝2021，求m．
25．（10分）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x1，0）、B（x2，0）的距离记作AB＝|x1﹣x2|，如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离．如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ＝|x1﹣x2|，BQ＝|y1﹣y2|，
∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）间的距离公式．
利用上面公式解决下列问题：
（1）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1，﹣3），B（﹣2，1）之间的距离．
（2）在平面直角坐标系中的两点A（0，3），B（4，1），P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值和此时点P的坐标；
（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）．
26．（12分）已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．
（1）如图1，以AB为边也在△ABC外作等腰△ABE，其中AB＝AE，连接BD与EC，交于点F．若∠DAC＝∠EAB＝60°，则∠BFC＝ ；
（2）如图2，若∠ABC＝30°，△ACD是等边三角形，AB＝3，BC＝4，求BD的长；
（3）如图3，若∠ABC为锐角，作AH⊥BC于H，当BD2＝4AH2+BC2时，试判断∠DAC与∠ABC的数量关系，并证明你的结论．
2024-2025学年四川省成都市郫都一中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．
1．（4分）9的算术平方根为（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．81
【答案】A
【分析】首先根据算术平方根的定义求出，然后再求出它的算术平方根即可解决问题．
【解答】解：∵＝3，
∴9的算术平方根是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，特别注意：应首先计算的值，然后再求算术平方根．
2．（4分）二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法．此题用加减法或代入法解，也可以用检验法来解，以加减法最简单．
【解答】解：
由①+②，得2x＝2，
解得：x＝1；
把x＝1代入②，
得y＝1．
即原方程组解为．
故选：C．
【点评】二元一次方程组的解法有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
3．（4分）点P在第二象限内，且到x轴．y轴的距离分别为3和5，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣5，3）B．（5，﹣3）C．（3，﹣5）D．（﹣3，5）
【答案】A
【分析】先得到P的横纵坐标可能的值，进而根据点在第二象限的符号特点可得具体坐标．
【解答】解：设P（a，b），
根据题意得：a＝±5，b＝±3，
∵点P在第二象限内，
∴a＜0，b＞0，
∴a＝﹣5，b＝3，
∴P（﹣5，3），
故选：A．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值是解题的关键．
4．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．27的立方根是3，记作
B．﹣25的算术平方根是5
C．a的三次方根是
D．正数a的算术平方根是
【答案】D
【分析】利用算术平方根和立方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、27的立方根是3，记作，选项错误，不符合题意；
B、﹣25是负数，负数没有算术平方根，选项错误，不符合题意；
C、a的三次方根是，选项错误，不符合题意；
D、正数a的算术平方根是，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的概念是解题的关键．
5．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】A．先判断是不是同类项，能否合并，然后判断即可；
B．根据合并同类二次根式法则进行计算，然后判断即可；
C．根据二次根式的乘法法则进行计算，然后判断即可；
D．根据二次根式的除法法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A、∵不是同类二次根式，不能合并，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
B、∵，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
C、∵，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；
D、∵，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的运算，解题关键是熟练掌握同类二次根式的定义、二次根式的乘除法则．
6．（4分）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下面的关系：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm
【答案】B
【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm；当不挂重物时，弹簧的长度为10cm，然后逐个分析四个选项，得出正确答案．
【解答】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项正确；
B、弹簧不挂重物时的长度为10cm，故B选项错误；
C、物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故C选项正确；
D、由C知，y＝10+0.5x，则当x＝7时，y＝13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，故D选项正确；
故选：B．
【点评】本题考查了函数的概念，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，得出答案．
7．（4分）如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数﹣2，1，2，3，则表示的点P应在线段（ ）
A．线段AB上B．线段BC上C．线段CD上D．线段OB上
【答案】C
【分析】先估算出4﹣的值，再确定出其位置即可．
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴﹣1＞﹣＞﹣2，
∴4﹣1＞4﹣＞4﹣2，即2＜4﹣＜3，
∴此点在线段CD上．
故选：C．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
8．（4分）下列表示一次函数y＝mx﹣n与正比例函数y＝mnx（m、n为常数，且mn≠0）图象中，一定不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知，m＜0，﹣n＞0，故n＜0，mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论相矛盾，故本选项错误；
B、由一次函数的图象可知，m＜0，﹣n＞0，故n＜0，mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论一致，故本选项正确；
C、由一次函数的图象可知，m＞0，﹣n＞0，故n＜0，mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论一致，故本选项正确；
D、由一次函数的图象可知，m＞0，﹣n＜0，故n＞0，mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论一致，故本选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象，熟知正比例函数与一次函数的性质是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）在实数，3.14，0，，，，0.16161661…（两个1之间依次多一个6）中，无理数的有 3 个．
【答案】3．
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【解答】解：＝﹣3，是整数，属于有理数；
在实数，3.14，0，，，，0.16161661…（两个1之间依次多一个6）中，无理数有，，0.16161661…（两个1之间依次多一个6），共3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查算术平方根以及无理数的定义及判定方法：无理数就是无限不循环小数，初中范围内学习的无理数有：①π，2π等；②开方开不尽的数；③以及0.1010010001…，等有这样规律的数．
10．（4分）如果点P（2a+3，a﹣2）到横坐标和纵坐标的距离相等，则a＝ ﹣5或 ．
【答案】﹣5或．
【分析】根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可．
【解答】解：∵点P（2a+3，a﹣2）到横坐标和纵坐标的距离相等，
∴|2a+3|＝|a﹣2|，
解得：a＝﹣5或，
故答案为：﹣5或．
【点评】本题考查点到坐标轴的距离．熟练掌握点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值是解题的关键．
11．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为 ．
【答案】．
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出AC的长，折叠的性质，得到AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，BE＝EF，进而求出CF的长，设EF＝x，得到CE＝12﹣x，在Rt△EFC中，利用勾股定理列出方程进行求解即可．
【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝AD＝12，
∴，
∵折叠纸片使AB边与对角线AC重合，
∴AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，BE＝EF，
∴∠EFC＝90°，CF＝AC﹣AF＝8，
设EF＝x，则：CE＝BC﹣BE＝BC﹣EF＝12﹣x，
在Rt△EFC中，
CE2＝EF2+CF2，即：（12﹣x）2＝x2+82，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查矩形与折叠，勾股定理，矩形的性质，正确根据相关知识点进行计算是解题关键．
12．（4分）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为 42 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝6代入x（x+1），如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次．
【解答】解：当x＝6时，
x（x+1）＝6×（6+1）＝6×7＝42＞15，
∴输出因变量y＝42．
故答案为：42．
【点评】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，看懂题意是关键．
13．（4分）当m＝ ±3 时，函数是一次函数．
【答案】±3．
【分析】根据一次函数的定义，令m2﹣8＝1，解答即可．
【解答】解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
则m2﹣8＝1，
解得m＝±3，
故答案为：±3．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．k≠0是考查的重点．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）7；
（2）．
【分析】（1）利用零指数幂、负整数指数幂的意义，绝对值的意义，算术平方根的定义化简计算即可；
（2）利用完全平方公式、平方差公式展开，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）
＝﹣1﹣++1
＝﹣1﹣++1
＝﹣1﹣+7+1
＝7；
（2）
＝3+2+2﹣3+1
＝3+2．
【点评】本题考查了实数的运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
15．（8分）解方程组：．
【答案】．
【分析】先利用加减消元法求出y的值，再利用代入消元法求出x的值即可．
【解答】解：，
①﹣②得：3y＝6，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：x﹣2＝﹣3，
解得：x＝﹣1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的代入消元法与加减消元法是解题的关键．
16．（8分）如图为某学校新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若教学楼的坐标为A（1，2），图书馆的坐标为B（﹣2，﹣1）．
（1）若体育馆C的坐标为（1，﹣3），食堂D的坐标为（2，0），请在图中标出C，D的位置；
（2）顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形ABCD，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）四边形ABCD的面积＝10．
【分析】（1）根据A（1，2），B（﹣2，﹣1）建立平面直角坐标系，根据平面直角坐标系标注体育馆和食堂即可；
（2）根据两个三角形的面积和列式计算即可得解．
【解答】解：（1）先建立如图所示的平面直角坐标系，则C，D位置如图所示；
（2）四边形ABCD的面积＝．
答：四边形ABCD的面积是10．
【点评】本题考查了坐标确定位置，平面直角坐标系的定义，网格结构中不规则四边形的面积的求解，熟记概念并熟练运用网格结构是解题的关键．
17．（10分）已知：9的平方根分别是3和x+5，y是的整数部分．
（1）求x+y的值；
（2）求x2+y2的平方根．
【答案】（1）﹣5；（2）±．
【分析】（1）先根据平方根的意义可得3+x+5＝0，从而求出x的值，再估算出的值的范围，从而求出y的值，然后代入式子中进行计算即可解答；
（2）把x，y的值代入式子中求出x2+y2的值，然后再利用平方根的意义，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵9的平方根是3和x+5，
∴3+x+5＝0，
解得：x＝﹣8，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵y是的整数部分，
∴y＝3，
∴x+y＝﹣8+3＝﹣5，
∴x+y的值为﹣5；
（2）当x＝﹣8，y＝3时，x2+y2＝（﹣8）2+32＝64+9＝73，
∴x2+y2的平方根±．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
18．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，△ABC的面积是 ；
（2）若点D与点A关于y轴对称，点E与点B关于y轴对称，点F与点C关于x轴对称，画出△DFE，写出点F的坐标为 （2，﹣3） ；
（3）已知P为坐标轴上的一点，若△ABP的面积为3，求点P的坐标．
【答案】（1）作图见解析，；
（2）作图见解析，（2，﹣3）；
（3）（0，﹣）（0，），（﹣3，0）（9，0）．
【分析】（1）根据坐标找到点，顺次连接即可得到△ABC，直接利用△ABC所在长方形面积减去周围三角形面积即可得出答案；
（2）作出点A、B、C的对应点，顺次连接即可得到△DEF，利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（3）分情况讨论即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求，
△ABC的面积是，
故答案为：；
（2）如图，△DEF即为所求，点F与点C关于x轴对称，点F的坐标为（2，﹣3）；
故答案为：（2，﹣3）；
（3）∵①P为x轴上一点，△ABP的面积为3，A（1，1），
∴，
∴BP＝6，
∴点P的横坐标为：3﹣6＝﹣3，3+6＝9
故P点坐标为：（﹣3，0）（9，0）；
②P为y轴上一点，△ABP的面积为3．设P（0，m），
当m在负半轴上时，
3×|1﹣m|﹣|1﹣m|×1﹣|m|×3﹣2×1＝3
5|1﹣m|﹣3|m|＝8，
5﹣5m+3m＝8，m＝﹣，
当m在正半轴上时，
﹣﹣＝3，
m＝．
P点坐标为：（0，﹣）（0，）；
P点坐标为：（0，﹣）（0，），（﹣3，0）（9，0）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中根据点的坐标描点，关于坐标轴轴对称点的性质，三角形的面积公式等知识．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）若，其中a，b为两个连续的整数，则ab的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】估算的大小，根据a、b为两个连续的整数即可求得a、b的值，代入代数式求解即可．
【解答】解：∵，
∴，
∵a、b为两个连续的整数，
∴b＝3，a＝2，
∴ab＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了估算无理数大小，代数式求值，求得a，b的值是解题的关键．
20．（4分）如图，小张在投篮训练时把球打到篮板的点D处后恰好进球，已知小张与篮板底的距离米，头顶与地面的距离AB＝1.65米，头顶与篮板点D处的距离AD＝3米，则点D到地面的距离CD为 3.15 米．
【答案】3.15．
【分析】如图，过点A作AE⊥CD，构建直角三角形，运用勾股定理求解．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CD，则CE＝AB＝1.65米，AE＝米，AD＝3米，
Rt△ADE中，DE＝＝（米），
∴CD＝CE+ED＝1.65+1.5＝3.15（米）．
故答案为：3.15．
【点评】本题考查勾股定理解直角三角形，关键是添加辅助线构造直角三角形．
21．（4分）如果三角形三边长分别为，k，，则化简﹣|2k﹣5|得 11﹣3k ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形三边关系可得3＜k＜4，再由k的取值范围将式子化简为﹣|2k﹣5|＝6﹣k﹣2k+5即可求解．
【解答】解：∵三角形三边长分别为，k，，
∴3＜k＜4，
∴6＜2k＜8，
∴﹣|2k﹣5|＝﹣|2k﹣5|＝6﹣k﹣2k+5＝11﹣3k，
故答案为11﹣3k．
【点评】本题考查二次根式的性质，三角形的三边关系；通过三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定k的取值范围是解题的关键．
22．（4分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AE是△ABD中BD边上的中线，若∠CBD＝60°，∠AEB＝150°，BD＝4，则AB＝ 7 ．
【答案】7．
【分析】延长AE交BC于点F，延长BD，使BD＝DG，连接AG，根据题意可得∠BEF＝30°，∠BFE＝90°，进而可求出，根据勾股定理求出，证明△BDC≌△GDA，得到∠G＝∠CBD＝60°，推出BC∥AG，得到∠GAE＝∠BFE＝90°，根据勾股定理求出AE，在Rt△ABF中，由勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，延长AE交BC于点F，延长BD，使BD＝DG，连接AG，
∵∠AEB＝150°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEB＝30°，
∵∠CBD＝60°，
∴∠BFE＝180°﹣∠CBD﹣∠BEF＝90°，
∵BD＝4，AE是△ABD中BD边上的中线，
∴，
∴，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：，
∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
在△BDC和△GDA中，
，
∴△BDC≌△GDA（SAS），
∴∠G＝∠CBD＝60°，
∴BC∥AG，
∴∠GAE＝∠BFE＝90°，
∴GE＝DE+GD＝2+4＝6，
∴，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：，
∴，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：，
故答案为：7．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的角平分线、中线和高，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．
23．（4分）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段OA上的一点，若将△ABC沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的A处，若P是y轴负半轴上一动点，且△BCP是等腰三角形，则P的坐标为 （0，﹣3）或（0，3﹣3）或（0，﹣） ．
【答案】（0，﹣3）或（0，3﹣3）或（0，﹣）．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，利用勾股定理可求出AB的长度，进而可得出OA′的长度，设OC＝m，则AC＝A′C＝8﹣m，在Rt△A′OC中，利用勾股定理即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，进而可得出点C的坐标，进一步求得BC，然后分三种情况讨论求得P点的坐标即可．
【解答】解：当x＝0时，＝8，
∴点A的坐标为（0，8）；
当y＝0时，＝0，解得：x＝﹣6，
∴点B的坐标为（﹣6，0）．
∴AB＝＝10．
∵AB＝A′B，
∴OA′＝10﹣6＝4．
设OC＝m，则AC＝A′C＝8﹣m．
在Rt△A′OC中，A′C2＝A′O2+OC2，
即（8﹣m）2＝42+m2，
解得：m＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴BC＝＝3，
∴当BC＝BP时，P1（0，﹣3）；
当BC＝CP时，则OP+OC＝3，
∴OP＝3﹣3，
∴P2（0，3﹣3）；
当CP＝BP时，设P（0，﹣n），则BP＝CP＝3+n，
∴（3+n）2＝62+n2，解得n＝，
∴此时P3（0，﹣）；
综上，P点的坐标为（0，﹣3）或（0，3﹣3）或（0，﹣）；
故答案为：（0，﹣3）或（0，3﹣3）或（0，﹣）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质以及勾股定理，在Rt△A′OC中，利用勾股定理找出关于m的方程是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）化简：＝ +3 ；＝ + ．
（2）计算：．
（3）已知m是正整数，，，a+b+3ab＝2021，求m．
【答案】（1）；；（2）2022；（3）504．
【分析】（1）利用二次根式化简即可解答；
（2）利用二次根式先化简，再计算乘法，即可解答；
（3）先将a+b化简，再计算ab，代入即可．
【解答】解：（1）；，
故答案为：；；
（2）原式＝
＝
＝2023﹣1
＝2022；
（3），
，
∴a+b＝4m+2，ab＝1，
∴4m+2+1×3＝2021，
解得m＝504．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法与除法法则、乘法公式是解决问题的关键．
25．（10分）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x1，0）、B（x2，0）的距离记作AB＝|x1﹣x2|，如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离．如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ＝|x1﹣x2|，BQ＝|y1﹣y2|，
∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）间的距离公式．
利用上面公式解决下列问题：
（1）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1，﹣3），B（﹣2，1）之间的距离．
（2）在平面直角坐标系中的两点A（0，3），B（4，1），P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值和此时点P的坐标；
（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）．
【答案】（1）5；
（2），P（3，0）；
（3）．
【分析】（1）直接利用两点之间距离公式直接求出即可；
（2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出PA+PB的最小值；
（3）根据原式表示的几何意义是点（x，y）到点（﹣2，﹣4）和（3，1）的距离之和，当点（x，y）在以（﹣2，﹣4）和（3，1）为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可．
【解答】解：（1）∵平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为：，
∴点A（1，﹣3），B（﹣2，1）之间的距离为：；
故答案为：5；
（2）作点B关于x轴对称的点B′，连接AB′，直线AB′于x轴的交点即为所求的点P，PA+PB的最小值就是线段AB′的长度，然后根据两点间的距离公式即可得到结论．
∵B（4，1），
∴B′（4，﹣1），
∵A（0，3），
∴设直线AB′的一次函数表达式为y＝kx+3，
把B′（4，﹣1）代入﹣1＝4k+3，
解得 k＝﹣1，
当y＝0时，
解得x＝3，即P（3，0），
∴，
即为PA+PB的最小值为．
故答案为：；
（3）原式＝，
故原式表示点（x，y）到（0，2）和（3，1）的距离之和．
由两点之间线段最短，点（x，y）在以（0，2）和（3，1）为端点的线段上时，原式值最小．
利用公式可得，原式＝．
【点评】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键．
26．（12分）已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．
（1）如图1，以AB为边也在△ABC外作等腰△ABE，其中AB＝AE，连接BD与EC，交于点F．若∠DAC＝∠EAB＝60°，则∠BFC＝ 120° ；
（2）如图2，若∠ABC＝30°，△ACD是等边三角形，AB＝3，BC＝4，求BD的长；
（3）如图3，若∠ABC为锐角，作AH⊥BC于H，当BD2＝4AH2+BC2时，试判断∠DAC与∠ABC的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）120°；
（2）BD＝5；
（3）∠DAC＝2∠ABC；证明见解析过程．
【分析】（1）证△ABD≌△AEC，得出∠ABD＝∠AEC，再根据三角形外角性质求出∠BFC＝120°；
（2）将△ABD绕点A顺时针旋转60°得△AEC，连接BE，得到△ABD≌△AEC，推出BD＝EC，在Rt△EBC中，根据勾股定理求出EC＝5，即可求出BD＝5；
（3）过点B作EB⊥BC于B，使EB＝2AH，连接EA，EC，由EC2＝EB2+BC2＝4AH2+BC2推出BD＝EC，过点A作AG⊥EB于G，则四边形AGBH为矩形，证明△ABD≌△AEC，进而证得∠EAB＝∠DAC，由此推出∠DAC＝2∠ABC
【解答】解：（1）∵∠DAC＝∠EAB，
∴∠DAC+∠BAC＝∠EAB+∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠AEC，
∴∠BFC＝∠BEF+∠EBF＝∠AEB﹣∠AEC+∠ABE+∠ABD＝∠AEB+∠ABE，
∵∠EAB＝60°，
∴∠AEB+∠ABE＝120°，
∴∠BFC＝120°，
故答案为：120°；
（2）将△ABD绕点A顺时针旋转60°得△AEC，连接BE，如图2，
由（1）知△ABD≌△AEC，
∴BD＝EC，
∵AB＝AE＝3，∠EAB＝∠DAC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴EB＝AB＝3，∠ABE＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠EBC＝90°，
在Rt△EBC中，，
∴BD＝5；
（3）∠DAC＝2∠ABC；
证明：过点B作EB⊥BC于B，使EB＝2AH，连接EA，EC，
则EC2＝EB2+BC2＝4AH2+BC2，
∵BD2＝4AH2+BC2，
∴BD＝EC，
过点A作AG⊥EB于G，则四边形AGBH为矩形，
∴GB＝AH，
∵EB＝2AH，
∴EB＝2GB，
∴EG＝GB，
∴AG是BE的垂直平分线，
∴AB＝AE，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（SSS），
∴∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD﹣∠EAD＝∠EAC﹣∠EAD，
即∠EAB＝∠DAC，
∵∠EBC＝90°，∠ABC为锐角，
∴∠ABC＝90°﹣∠EBA，
∵AB＝AE，
∴∠EBA＝∠BEA，
∴∠EAB＝180°﹣2∠EBA，
∴∠EAB＝2∠ABC，
∴∠DAC＝2∠ABC．
【点评】此题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质判定定理．
x
0
1
2
3
4
5
y
10
10.5
11
11.5
12
12.5
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