广西示范性高中2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷-A4

这是一份广西示范性高中2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷-A4，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）集合{x∈N|x+1≤2}的另一种表示为（ ）
A．{0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1，2}
2．（5分）命题“∃x＞1，x2﹣2x+3＞0”的否定形式为（ ）
A．∃x≤1，x2﹣2x+3≤0B．∃x＞1，x2﹣2x+3≤0
C．∀x≤1，x2﹣2x+3≤0D．∀x＞1，x2﹣2x+3≤0
3．（5分）“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知函数f（x+1）＝2x，则f（1）＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣2，2]，函数，则函数y＝g（x）的定义域是（ ）
A．[﹣1，3]B．[﹣1，0）∪（0，3]
C．[1，3]D．[﹣3，0）∪（0，1]
6．（5分）在同一直角坐标系中，函数y＝x2+2ax+a﹣1与y＝ax（a＞0且a≠1）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（1）＝0，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，则不等式xf（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
8．（5分）已知函数，满足对任意x1≠x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则
C．若a＞b，则2﹣a＜2﹣b
D．若a＞b，则
（多选）10．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）＝1与g（x）＝x0是同一函数
B．函数的值域为[1，3]
C．设集合M＝{x|x＞0}，N＝{y|y∈R}，则对应关系f：x→y2＝2x是集合M到集合N的函数
D．已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣3x，则x＜0时f（x）＝﹣x2﹣3x
（多选）11．（6分）已知a，b为正实数，且ab+a+b＝8，下列正确的是（ ）
A．a+b的最小值为4
B．ab的最大值为2
C．2a+b的最小值为
D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则该函数的解析式为 ．
13．（5分）关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则关于x的不等式x2+bx+a＜0的解集为 ．
14．（5分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“弱原点对称函数”．已知函数是定义域内的“弱原点对称函数”，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）（1）化简求值：；
（2）已知，求a2+a﹣2的值．
16．（15分）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{x|2m﹣3＜x＜m+2}．
（1）当m＝2时，求A∪B；
（2）若（∁RA）∩B＝∅，求m的取值范围．
17．（15分）已知定义域为（﹣2，2）的函数是奇函数，且．
（1）求出a，b的值，判断函数f（x）在（﹣2，2）上的单调性，并用定义证明；
（2）若f（m+1）+f（2m﹣1）＜0，求实数m的取值范围．
18．（17分）国家提出乡村振兴，建设新农村战略，鼓励农村产业发展．某企业响应国家号召，在农村某地投资生产某种大型农机产品，其每日生产的总成本y（万元）与日产量x（件）之间的函数关系可近似地表示为，且当x＝10时，y＝38．
（1）求b的值；
（2）计算该企业日产量x为多少件时，每日生产的平均成本最低？
（3）国家实行惠农政策，每件产品的售价定为2万元，为了使企业可持续发展，政府有两种补贴方案供企业选择．方案一：根据日产量，每件产品补贴1万元；方案二：每日定额补贴3万元．假设每天生产的产品都能销售完，请你计算：
①如果选择方案一，日产量x为多少件时，日利润最大（利润＝销售额+补贴﹣总成本）？
②若日产量为5件时，你认为选择哪种方案比较好？
19．（17分）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数g（x）＝mx2﹣（m﹣1）x+1．
（1）若x∈[1，2]，求函数f（x）的最值；
（2）若关于x的不等式g（x）＜3的解集为R，求实数m的取值范围；
（3）若对于∀x1∈[4，6]，∃x2∈[1，2]，使得g（x1）≤f（x2）+1成立，求实数m的取值范围．
2024-2025学年广西示范性高中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）集合{x∈N|x+1≤2}的另一种表示为（ ）
A．{0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1，2}
【答案】C
【分析】用列举法表示集合即可．
【解答】解：用列举法表示集合{x∈N|x+1≤2}为{0，1}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题．
2．（5分）命题“∃x＞1，x2﹣2x+3＞0”的否定形式为（ ）
A．∃x≤1，x2﹣2x+3≤0B．∃x＞1，x2﹣2x+3≤0
C．∀x≤1，x2﹣2x+3≤0D．∀x＞1，x2﹣2x+3≤0
【答案】D
【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．
【解答】解：“∃x＞1，x2﹣2x+3＞0”的否定形式为：∀x＞1，x2﹣2x+3≤0．
故选：D．
【点评】本题主要考查命题否定的定义，属于基础题．
3．（5分）“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用不等式的性质，充要条件的定义判定即可．
【解答】解：∵ab＞0⇔a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，
∴“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，充要条件的判定，属于基础题．
4．（5分）已知函数f（x+1）＝2x，则f（1）＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】将x＝0直接代入函数，即可求解．
【解答】解：函数f（x+1）＝2x，
则f（0+1）＝2×0＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．
5．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣2，2]，函数，则函数y＝g（x）的定义域是（ ）
A．[﹣1，3]B．[﹣1，0）∪（0，3]
C．[1，3]D．[﹣3，0）∪（0，1]
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合抽象函数定义域的求法，即可求解．
【解答】解：函数y＝f（x）的定义域是[﹣2，2]，
函数，
令，解得﹣1≤x＜0或0＜x≤3，
故函数y＝g（x）的定义域是[﹣1，0）∪（0，3]．
故选：B．
【点评】本题主要考查抽象函数定义域的求解，属于基础题．
6．（5分）在同一直角坐标系中，函数y＝x2+2ax+a﹣1与y＝ax（a＞0且a≠1）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论，结合二次函数和指数函数的性质判断．
【解答】解：函数y＝x2+2ax+a﹣1，对称轴为x＝﹣a，
①当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上单调递减，
函数y＝x2+2ax+a﹣1，对称轴为x＝﹣a，
则﹣1＜﹣a＜0，
当x＝0时，y＝a﹣1＜0，
所以函数y＝x2+2ax+a﹣1的图象与y轴交于负半轴，
选项C的图象符合，D不符合，
②当a＞1时，函数y＝ax在R上单调递增，
函数y＝x2+2ax+a﹣1，对称轴为x＝﹣a，
则﹣a＜﹣1，
当x＝0时，y＝a﹣1＞0，
所以函数y＝x2+2ax+a﹣1的图象与y轴交于正半轴，
选项A，B都不符合．
故选：C．
【点评】本题主要考查了指数函数和二次函数的图象，属于基础题．
7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（1）＝0，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，则不等式xf（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【答案】D
【分析】根据函数f（x）的奇偶性、单调性以及符号法则即可解出．
【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（1）＝0，且在（0，+∞）上单调递减，
所以f（﹣1）＝0，且在（﹣∞，0）上单调递增，
所以当x＜﹣1时，f（x）＜0；当﹣1＜x＜0时，f（x）＞0；当0＜x＜1时，f（x）＞0；当x＞1时，f（x）＜0，
所以不等式xf（x）＜0的解集为 （﹣1，0）∪（1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
8．（5分）已知函数，满足对任意x1≠x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得函数f（x）在R上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可．
【解答】解：由题意，对任意x1≠x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，
则函数f（x）在R上单调递减，
所以，解得，
即实数a的取值范围是．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数、二次函数的性质，属于基础题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则
C．若a＞b，则2﹣a＜2﹣b
D．若a＞b，则
【答案】BC
【分析】举出反例检验选项A，D，结合不等式性质检验选项B，C即可判断．
【解答】解：当c＝0时，A显然错误；
a＞b＞0时，b（a+1）﹣a（b+1）＝b﹣a＜0，
所以0＜b（a+1）＜a（b+1），
所以，B正确；
若a＞b，则2﹣a＜2﹣b，C正确；
若a＝1，b＝﹣1时，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）＝1与g（x）＝x0是同一函数
B．函数的值域为[1，3]
C．设集合M＝{x|x＞0}，N＝{y|y∈R}，则对应关系f：x→y2＝2x是集合M到集合N的函数
D．已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣3x，则x＜0时f（x）＝﹣x2﹣3x
【答案】BD
【分析】根据函数的定义可判断AC；利用f（x）＝在[﹣1，1]上是减函数，可求得其值域，判断C；利用奇函数的概念及已知关系，可判断D．
【解答】解：f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝x0的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），二者定义域不同，函数f（x）＝1与g（x）＝x0不是同一函数，故A错误；
f（x）＝在[﹣1，1]上是减函数，故其值域为[f（1），f（﹣1）]＝[1，3]，故B正确；
集合M＝{x|x＞0}，N＝{y|y∈R}，则对应关系f：x→y2＝2x不是集合M到集合N的函数，原因是当x取一个值时，对应两个y值，不符合函数的概念，故C错误；
f（x）是R上的奇函数，
当x≥0时，f（x）＝x2﹣3x，
则x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝x2+3x＝﹣f（x），即f（x）＝﹣x2﹣3x，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查同一函数的判断及函数奇偶性的应用，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知a，b为正实数，且ab+a+b＝8，下列正确的是（ ）
A．a+b的最小值为4
B．ab的最大值为2
C．2a+b的最小值为
D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项求解即得．
【解答】解：正实数a，b满足ab+a+b＝8，则（a+1）（b+1）＝9，
对于A，由，
当且仅当a＝b＝2时取等号，则a+b≥4，即a+b的最小值为4，故A正确；
对于B，由，当且仅当a＝b＝2时取等号，于是，
解得ab≤4，因此ab的最大值为4，故B错误；
对于C，，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以2a+b的最小值为，故C正确；
对于D，，由A知，a+b≥4，
则，当且仅当a＝b＝2时取等号，
所以的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则该函数的解析式为 f（x）＝ ．
【答案】f（x）＝．
【分析】由已知点的坐标代入函数解析式即可求解．
【解答】解：设f（x）＝xα，
因为y＝f（x）的图象过点，
所以，即，
所以f（x）＝．
故答案为：f（x）＝．
【点评】本题主要考查了函数解析式的求解，属于基础题．
13．（5分）关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则关于x的不等式x2+bx+a＜0的解集为 （1，2） ．
【答案】（1，2）．
【分析】由题意可知﹣3和1是方程x2+ax+b＝0的两个根，利用韦达定理求出a，b的值，进而求出不等式x2+bx+a＜0的解集．
【解答】解：因为关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，
所以﹣3和1是方程x2+ax+b＝0的两个根，
由韦达定理可得，，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以不等式x2+bx+a＜0可化为x2﹣3x+2＜0，
解得1＜x＜2，
即不等式x2+bx+a＜0的解集为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
14．（5分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“弱原点对称函数”．已知函数是定义域内的“弱原点对称函数”，则实数m的取值范围是 [﹣，0） ．
【答案】[﹣，0）．
【分析】根据题意，由函数的解析式和“弱原点对称函数”的定义，可得（2x）2﹣2m（2x）﹣2＝﹣1在[﹣1，0）上有解，令t＝2x，分析t的取值范围，可得2m＝t﹣在区间[，1）上有解，设g（t）＝t﹣，分析g（t）的值域，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数是定义域内的“弱原点对称函数”，
则（2x）2﹣2m（2x）﹣2＝﹣1在[﹣1，0）上有解，
令t＝2x，由于﹣1≤x＜0，则≤t＜1，
则方程t2﹣2mt﹣1＝0，即2m＝t﹣在区间[，1）上有解，
设g（t）＝t﹣，t∈[，1），易得函数g（t）在[，1）上递增，
而g（）＝﹣2＝﹣，g（1）＝0，
则有﹣≤2m＜0，即﹣≤m＜0，即m的取值范围为[﹣，0）．
故答案为：[﹣，0）．
【点评】本题考查函数与方程的关系，关键理解“弱原点对称函数”的定义，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）（1）化简求值：；
（2）已知，求a2+a﹣2的值．
【答案】（1）；
（2）194．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；
（2）根据根式的性质求解即可．
【解答】解：（1）＝0.2﹣+2﹣0.2+1＝﹣；
（2）因为，
所以a+a﹣1＝（+）2﹣2＝14，
所以a2+a﹣2的值＝（a+a﹣1）2﹣2＝194．
【点评】本题主要考查指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题．
16．（15分）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{x|2m﹣3＜x＜m+2}．
（1）当m＝2时，求A∪B；
（2）若（∁RA）∩B＝∅，求m的取值范围．
【答案】（1）{x|x≠1}；（2）{m|m≤﹣1或m≥}．
【分析】（1）化简集合A，求出m＝2时集合B，再计算A∪B；
（2）求出∁RA，根据题意列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}＝{x|x＜1或x＞2}，
m＝2时，B＝{x|2×2﹣3＜x＜2+2}＝{x|1＜x＜4}；所以A∪B＝{x|x≠1}；
（2）因为∁RA＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|2m﹣3＜x＜m+2}，
当2m﹣3≥m+2，即m≥5时，B＝∅，满足（∁RA）∩B＝∅；
当m＜5时，令2m﹣3≥2或m+2≤1，解得m≥或m≤﹣1，
综上，m的取值范围是{m|m≤﹣1或m≥}．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
17．（15分）已知定义域为（﹣2，2）的函数是奇函数，且．
（1）求出a，b的值，判断函数f（x）在（﹣2，2）上的单调性，并用定义证明；
（2）若f（m+1）+f（2m﹣1）＜0，求实数m的取值范围．
【答案】（1）函数f（x）在（﹣2，2）上单调递增，详见解答过程；
（2）实数m的取值范围为．
【分析】（1）结合已知先求出a，b的值，再利用函数单调性的定义证明单调性即可；
（2）根据函数的奇偶性可将不等式化为f（m+1）＜f（1﹣2m），再结合单调性及定义域求解即可．
【解答】解：（1）由题意，函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且，
所以，解得a＝1，b＝﹣1，此时，
，符合题意，所以a＝1，b＝﹣1，
函数f（x）在（﹣2，2）上单调递增，证明如下：
，
任取x1，x2∈（﹣2，2），且x1＜x2，
则＝，
因为﹣2＜x1＜x2＜2，所以，，
则，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（﹣2，2）上单调递增；
（2）由题意，函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，
由f（m+1）+f（2m﹣1）＜0，即f（m+1）＜﹣f（2m﹣1）＝f（1﹣2m），
由（1）知，函数f（x）在（﹣2，2）上单调递增，则，解得，
即实数m的取值范围为．
【点评】本题主要考查了函数单调性的判断，还考查了单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
18．（17分）国家提出乡村振兴，建设新农村战略，鼓励农村产业发展．某企业响应国家号召，在农村某地投资生产某种大型农机产品，其每日生产的总成本y（万元）与日产量x（件）之间的函数关系可近似地表示为，且当x＝10时，y＝38．
（1）求b的值；
（2）计算该企业日产量x为多少件时，每日生产的平均成本最低？
（3）国家实行惠农政策，每件产品的售价定为2万元，为了使企业可持续发展，政府有两种补贴方案供企业选择．方案一：根据日产量，每件产品补贴1万元；方案二：每日定额补贴3万元．假设每天生产的产品都能销售完，请你计算：
①如果选择方案一，日产量x为多少件时，日利润最大（利润＝销售额+补贴﹣总成本）？
②若日产量为5件时，你认为选择哪种方案比较好？
【答案】（1）﹣2；
（2）4；
（3）①5件；②方案一较好．
【分析】（1）根据所给条件代入解析式求b即可；
（2）写出，利用基本不等式求解即可；
（3）①写出利润函数，利用二次函数可得x＝5有最值；②由方案二写出利润函数，求出函数值与方案一比较即可．
【解答】解：（1）当x＝10时，
，
解得b＝﹣2；
（2），
当且仅当，即x＝4时等号成立，
即企业日产量x为4件时，每日生产的平均成本最低；
（3）设日利润为L（x），
①如果选择方案一，
，
因为函数对称轴为x＝5，开口向下，
所以当x＝5时，日利润最大为L（5）＝4.5万元；
②如果选择方案二，
，
当x＝5时，万元，
由（1）知，4.5＞2，方案一比较好．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
19．（17分）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数g（x）＝mx2﹣（m﹣1）x+1．
（1）若x∈[1，2]，求函数f（x）的最值；
（2）若关于x的不等式g（x）＜3的解集为R，求实数m的取值范围；
（3）若对于∀x1∈[4，6]，∃x2∈[1，2]，使得g（x1）≤f（x2）+1成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）最小值为，最大值为3；
（2）；
（3）．
【分析】（1）结合题意可得函数f（x）的单调性，进而求解最值；
（2）转化问题为不等式mx2﹣（m﹣1）x﹣2＜0对于x∈R恒成立，进而分m＝0和m≠0两种情况讨论求解即可；
（3）转化问题为g（x1）max≤f（x2）max+1，由（1）可得函数，x∈[1，2]时的最大值，进而结合二次函数的开口方向和对称轴讨论求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，函数f（x）在上单调递减，在区间上单调递增，
且，，，
所以函数f（x）的最小值为，最大值为3；
（2）由题意可知，关于x的不等式mx2﹣（m﹣1）x+1＜3的解集为R，
即不等式mx2﹣（m﹣1）x﹣2＜0对于x∈R恒成立，
当m＝0时，不等式为x﹣2＜0，即x＜2不恒成立，不符合题意；
当m≠0时，有，解得．
综上所述，实数m的取值范围为；
（3）由题意可知，对于∀x1∈[4，6]，∃x2∈[1，2]，使得g（x1）≤f（x2）+1成立，
则g（x1）max≤f（x2）max+1，
对于函数，x∈[1，2]，
由（1）知，f（x）max＝3，
对于函数g（x）＝mx2﹣（m﹣1）x+1，x∈[4，6]，
若m＝0，g（x）＝x+1，则g（x）max＝g（6）＝7，
而7＞3+1，不符合题意；
若m＞0，
当，即，
所以当m＞0时，恒成立，
所以g（x）max＝g（6）＝36m﹣6（m﹣1）+1＝30m+7，
则30m+7≤3+1，即，不符合题意；
若m＜0，
当，即时，
g（x）max＝g（4）＝16m﹣4（m﹣1）+1＝12m+5，
则12m+5≤3+1，
即，
所以；
当，即时，
g（x）max＝g（6）＝36m﹣6（m﹣1）+1＝30m+7，
则30m+7≤3+1，即，
所以；
综上所述，实数m的取值范围为．
【点评】本题考查了对勾函数的性质、转化思想、一元二次不等式的解法，考查了二次函数的性质及分类讨论思想，属于中档题．