湖南省邵东市创新高级中学2024-2025学年高三上学期第四次月考数学试题

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第I卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知向量，，若，则（ ）
A.-1B.0C.1D.2
3.已知，，，则（ ）
A.B.C.D.
4.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ）
A.平方米B.平方米
C.平方米D.平方米
5.已知则（ ）
A.B.C.D.
6. 已知函数，则满足实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
7.若函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
8.已知不等式对任意的实数都成立，则实数的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.已知等差数列的前项和为，且公差，.则以下结论正确的是（ ）
A.B.若，则
C.若，则的最大值为D.若，，成等比数列，则
10.设，，为复数，.下列命题中正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则z1z2=z1z3D.若，则
11.函数f(x)=a(12)|x|+b的图像过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线相交，则下列结论正确的是( )
A. a=2
B. f(−2)>f(1)
C. 若012[f(x1)+f(x2)]
D. 方程f2(x)−12f(x)=0有3个实数根
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上.
12.已知函数y=f(x)，x∈R，且f(0)=3，f(0.5)f(0)=2，f(1)f(0.5)=2，⋯，f(0.5n)f(0.5(n−1))=2，n∈N∗则f(3)=__________.
13.如图，函数f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，已知点A，D为f(x)的零点，点B，C为f(x)的极值点，AB⋅DC=−12AB2，则φ=__________.
14. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足恒成立，则称直线为和的“媒介直线”.已知函数，，若和之间存在“媒介直线”，则实数的范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分） 如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，是的延长线与CB的延长线的交点．
（1）求证：平面；
（2）若点在线段AP上，且点E为靠近点A的三等分点，求直线与平面所成的角的正弦值．
16.（本小题满分15分 ）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_________．
（1）求角C；
（2）若AB边上的高为1，的面积为，求的周长．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
17.（本小题满分15分）
已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=−12x2+ax−2lnx(a∈R).
(1)若a=3，求f(x)极值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x19−3ln2.
19. (本小题17分)若数列满足关系式，且，则称数列为“线性可控数列”.
（1）若数列为“线性可控数列”，求的取值范围；
（2）若数列的前项和，判断数列是否为“线性可控数列”，并说明理由；
（3）若无穷数列为“线性可控数列”，且数列的前项和为，证明：当时，.