四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题，共16页。
数 学 试 卷
出题：蒋书丽 审题：邓瑞琅
本试题卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。
【注意事项】1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卷上。考试结束后，只将答题卷交回。
2、试卷中的选择题部分，请在选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
3、 试卷中的非选择题部分，请用0.5mm黑色签字笔在答题卷上各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。不能答在试题卷上。
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单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知命题：，，则命题的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．对，使恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图为函数y=fx和y=gx的图象，则不等式的解集为（ ）

A． B．
C． D．
5．若，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．若，，，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．18D．24
7．已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知则下列选项错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．（x，y，）
10．函数满足：对于定义域内的任意两个实数，都有成立，则称其为函数．下列函数为函数的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）．
A．函数的图象恒过定点
B．函数在区间上单调递减
C．函数在区间上的最小值为0
D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知幂函数经过点，则 .
13.函数的单调递增区间是 ．
14.若命题“，成立.”是真命题，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．设，函数.
(1)若函数y=fx是奇函数，求的值；
(2)若，求函数的定义域和值域.
16．已知关于x的不等式 的解集为不等式的解集为A
(1)求集合A;
(2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件， 求实数a的取值范围.
17．某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元.
(1)该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案更划算? 请说明理由.
18．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论，不需要证明；
（2）若定义在R上的函数的图象关于直线对称，且当时，．
①比较，，的大小；
②求不等式的解集．
19．已知的定义域为R，对，，都有，当时，，且.
(1)求和的值；
(2)判断函数的单调性，并证明；
(3)若对于，，使得成立，求实数的取值范围.
蜀光中学高2024级高一上期中考试
数 学 试 卷
出题：蒋书丽 审题：邓瑞琅
本试题卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。
【注意事项】1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卷上。考试结束后，只将答题卷交回。
2、试卷中的选择题部分，请在选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
3、 试卷中的非选择题部分，请用0.5mm黑色签字笔在答题卷上各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。不能答在试题卷上。
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单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知命题：，，则命题的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】命题的否定为，.
故选：A
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【分析】解不等式可得，再由交集运算可得结果.
【详解】由不等式，得，所以，
又，可得.故选：A
3．对，使恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】，使恒成立，则，解得，
因为，，，
因此，对，使恒成立的一个充分不必要条件是.
故选：D.
4．如图为函数y=fx和y=gx的图象，则不等式的解集为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由图象可得当，
此时需满足，则，故；
当，
此时需满足，则，故.
综上所述，.
故选：D.
5．若，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为
所以由指数函数为增函数知，，
由幂函数在上单调递增可知，，
所以，
故选：B
6．若，，，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．18D．24
【答案】A
【难度】0.85
【分析】由，展开后利用基本不等式求最小值.
【详解】，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时的最小值为8.
故选：A．
7．已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题设在定义域上递增，所以，
而在上递增，故其值域是.
故选：A
8．已知则下列选项错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可知表示中的最小值，表示中的最大值．
对于选项A，因为，分别取中的一个最小值与一个最大值，
所以，故A正确．
对于选项B，当，则，，
所以；
当时，，，所以．
综上所述，，故B正确．
对于选项C，取，则，
而，此时，故C错误．
对于选项D，当，即时，，
因为，所以，，所以；
当，即时，，
因为，所以，，所以．
综上所述，，故D正确．
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．（x，y，）
【答案】BC
【详解】解析：对于A，因为，所以，故A错；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错．
故选：BC．
10．函数满足：对于定义域内的任意两个实数，都有成立，则称其为函数．下列函数为函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【知识点】函数新定义
【分析】根据函数定义直接比较和的大小关系可判断AB；取特值验证可排除CD.
【详解】A选项：因为，，
所以恒成立，故其为函数，A正确；
B选项：因为，，
所以，
又，所以，
即，
即，故为函数，B正确；
C选项：取，则，
，
此时，，故不是函数，C错误；
D选项：取，则，
，
此时，，故不是函数，D错误.
故选：AB
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）．
A．函数的图象恒过定点
B．函数在区间上单调递减
C．函数在区间上的最小值为0
D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【详解】代入函数解析式，成立，故A正确；
当时，，又，所以，由复合函数单调性可知，时，单调递增，故B错误；
当时，，所以，故C正确；
当时，恒成立，所以由函数为增函数知即可，解得，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知幂函数经过点，则 .
【答案】
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求幂函数的解析式
【分析】设，由求出的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值.
【详解】设幂函数，则，可得，即，
所以，，则，，所以.
故答案为：.
函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【详解】令，
由，解得，
又的图象的对称轴为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，则函数为减函数，
所以由复合函数单调性，的单调递增区间是.
故答案为：.
若命题“，成立.”是真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】在上有解.
开口向上且对称轴为，，
所以或，解得，
所以a的取值范围是，
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．设，函数.
(1)若函数y=fx是奇函数，求的值；
(2)若，求函数的定义域和值域.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【分析】（1）根据奇函数的定义可得，建立方程，解之可得，验证即可；
（2）由题意可得，根据指数函数的性质即可求解.
【详解】（1）若为奇函数，则，
得，整理得，解得.
经检验，当时，符合题意.
所以.
（2）当时，，
由，得，即的定义域为；
，
又，所以，
令，则，得，
解得或，
即的值域为.
16．已知关于x的不等式 的解集为不等式的解集为A
(1)求集合A;
(2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件， 求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或，
【详解】（1）由不等式 的解集为可知是的两个实数根，故且，解得，
所以为，变形为，
解得，
故不等式的解为，即
（2）由于“”是“”的充分不必要条件，故,
若，则，满足，
若，则，则，
则，解得或，
综上可得或或
17．某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元.
(1)该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案更划算? 请说明理由.
【答案】(1)3
(2)方案较合算，理由见详解
【详解】（1）由题意可得，即，
解得，
，
该车运输3年开始盈利.；
（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，
，
当且仅当时，取等号，
方案①最后的利润为：（万）；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
，
时，利润最大，
方案②的利润为（万），
两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，
方案①较为划算.
18．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论，不需要证明；
（2）若定义在R上的函数的图象关于直线对称，且当时，．
①比较，，的大小；
②求不等式的解集．
【答案】（1）函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数；（2）①；②．
【详解】解：（1）函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数．
（2）①设，则，
∵，∴，，
∴，∴在上递增．
由的图象关于直线对称，∴在上递减．
又，∴．
②因所以，
即，所以不等式的解集为．
【点睛】方法点睛：解决函数的新定义问题时，需紧扣函数的新定义，常用采用类比的方法得以解决.
19．已知的定义域为R，对，，都有，当时，，且.
(1)求和的值；
(2)判断函数的单调性，并证明；
(3)若对于，，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）令代入中，
则；
令，代入中，，
而，则.
（2）在R上单调递增.
证明：假设且，，则，
令，，,
代入中，
故
，
即：.即：函数在上单调递增.
（3）由
又且，故：
又因为函数在上单调递增，
故等价于，
使得成立.即：.
令，则，
即：，则.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是原不等式等价转化为使得成立，再代入端点值得到不等式组，利用换元法解出不等式组即可.