四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相离C．内切D．外切
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（ ）
A．B．2C．D．4
5．已知直线，双曲线，则（ ）
A．直线与双曲线有且只有一个公共点
B．直线与双曲线的左支有两个公共点
C．直线与双曲线的右支有两个公共点
D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点
6．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
7．倾斜角为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于两点，线段的垂直平分线过右焦点，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知O(0,0)，Q(0,1)，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，已知点，是以OD为直径的圆上的一段圆弧，是以BC为直径的圆上的一段圆弧，是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段圆弧构成曲线，则（ ）
A．曲线与轴围成的面积等于
B．与的公切线的方程为
C．所在圆与所在圆的相交弦所在直线的方程为
D．所在圆截直线所得弦的弦长为
11．已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．不存在点，使得
C．当时，的最大值为
D．的最小值为1
三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若，，则 .
13．在平面直角坐标系中，已知点 F1(-10,0),F2(10,0),MF1-MF2=2，点的轨迹为.则的方程为_________________.
14．已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.
(1)求圆的方程；
(2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
16．（本小题满分15分）
某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从80,90和90,100的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团．
①求应从80,90和90,100学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件“至少有1人测试成绩位于区间90,100”，求事件A的概率．
17．（本小题满分15分）
已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积.
18．（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且.
(1)求证:CD平面PAD;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设点G在线段PB上，且直线AG在平面AEF内，求的值.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆的两个焦点分别为，其离心率为，过点且平行于的直线与椭圆交于，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且相互垂直的两条直线分别与椭圆交于.
①若直线斜率存在，过点向直线引垂线，垂足为，求证：直线过定点，并求出定点坐标；
②求四边形面积的取值范围.
高2023级高二上期中数学答案
一、单选题
1．圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相离C．内切D．外切
【答案】D
【解】由题意圆的圆心，半径，圆的圆心，半径,，即两圆外切故选：D
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解】设直线的倾斜角为，因为该直线的斜率为，所以，所以，故选：A
3．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解】记2名男生为，2名女生为，任意选出两人的样本空间，共6个样本点，恰好一男一女生的事件，共4个样本点，所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是.故选：A
4．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【解】椭圆的焦点在y轴上，∴，可得，.∵长轴长是短轴长的2倍，∴，解得故选：D.
5．已知直线，双曲线，则（ ）
A．直线与双曲线有且只有一个公共点
B．直线与双曲线的左支有两个公共点
C．直线与双曲线的右支有两个公共点
D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点
【答案】C
【解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示：由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程得，解得或，
则直线与双曲线的右支有两个公共点.故选：C.
6．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【解】，而，故直线的取值范围为，故选：A.
7．倾斜角为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于两点，线段的垂直平分线过右焦点，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解】：如图为线段AB的垂直平分线，得，且，
可得，，由双曲线的定义可得，，即有，即有，，
，由，可得，
可得，即，，则渐近线方程为．故选A．
8．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解】直线过定点，直线过定点，
且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆，故圆心是，半径为则点的方程是令，因为，所以，则所以，可得点
则.
二、多选题
9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解】由于是空间的一个基底，所以不共面，
对于A，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底；
对于B，不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个基底；对于C，由于，因此这三个向量是共面的，不能构成基底.
对于D，不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个基底.故选：ABD
10．如图，已知点，是以OD为直径的圆上的一段圆弧，是以BC为直径的圆上的一段圆弧，是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段圆弧构成曲线，则（ ）
A．曲线与轴围成的面积等于
B．与的公切线的方程为
C．所在圆与所在圆的相交弦所在直线的方程为
D．所在圆截直线所得弦的弦长为
【答案】BC
【解】对于A，，，所在圆的方程分别为，，，曲线与轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个圆，其面积为，故A错误；
对于B，设与的公切线方程为（，），则，
所以，，所以与的公切线的方程为，即，故B正确；
对于C，由及两式相减得，
即公共弦所在直线方程，故C正确；
对于D，所在圆的方程为，圆心为，圆心到直线的距离为，
则所求弦长为，故D错误.故选：BC.
11．已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为 B．不存在点，使得
C．当时，的最大值为 D．的最小值为1
【答案】ABC
【解】对于A，由已知可得，，所以，则，故A正确；对于B，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确；对于C，由已知，，所以，．
又，则．
根据椭圆的定义可得，所以，由图可知，，所以
当且仅当，，三点共线时，取得等号．故的最大值为，故C正确；
对于D，因为，所以
，当且仅当，即时，等号成立．
所以，的最小值为，故D错误．故选：ABC
三、填空题
12．若，，则 .
【答案】
【解】,则，故答案为：
13．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.则的轨迹方程为__________________.
【答案】（1）x2-y29=1(x≥1)
14．已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率 .
【解】设为的重心，点坐标为，
∵，∴IG∥x轴或 IG两点重合， ∴I的纵坐标为，在中，，， 又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即知内切圆半径，内心I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，，即，， ∴椭圆C的离心率故答案为:
四、解答题
15．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.
(1)求圆的方程；
(2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
【解】（1）由题意，设圆心，半径，
∵圆M经过点，∴，
∵圆M与直线相切，∴圆心到直线的距离，
∴，化简，解得，
则圆心，半径，所以圆M的方程为．
（2）由题意，圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离由，解得，
则直线的方程为，即，综上，直线的方程为或
16．（本小题满分15分）
某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从80,90和90,100的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团．
①求应从80,90和90,100学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件“至少有1人测试成绩位于区间90,100”，求事件A的概率．
【解】（1）由频率分布直方图可得，解得；
估算这40名学生测试成绩的平均数为；
（2）①由图可得和这两组的频率之比为，
故应从学生中抽取的学生人数为（人），
应从学生中抽取的学生人数为（人）；
②设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2，
则这个试验的样本空间，
共有21个基本事件；事件“至少有1人测试成绩位于区间”，
事件A的个数有11个，即，故.
17．（本小题满分15分）
已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积.
【解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以，
故到渐近线的距离，所以，又，所以，
故的方程为.……………4分
（2）设点Ax1,y1,Bx2,y2，因为是弦的中点，则由于，所以两式相减得，所以，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.……………9分
联立消去并整理，得，
所以，且，……………11分
所以.……………13分
点到直线的距离为，……………14分
所以的面积为.……………15分
18．如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且.
(1)求证:CD平面PAD;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设点G在线段PB上，且直线AG在平面AEF内，求的值.
【解】（1）因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，
所以PACD，又因为ADCD，PAAD=A，PA，AD平面PAD，所以CD平面PAD；
（2）过点A作AD的垂线交BC于点M，
因为PA平面ABCD，AM，AD平面ABCD，所以PAAM，PAAD，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 因为E为PD的中点，所以，
所以，，，
所以，，
设平面AEF的法向量为，则，即，取，
又因为平面PAD的一个法向量为，所以，
由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
（3）因为点G在PB上，设，，，，
由得，即，所以，
由（2）知，平面AEF的法向量为，
因为直线AG在平面AEF内，，得，综上，的值为.
19．已知椭圆的两个焦点分别为，其离心率为，过点且平行于的直线与椭圆交于，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且相互垂直的两条直线分别与椭圆交于.
①若直线斜率存在，过点向直线引垂线，垂足为，求证：直线过定点，并求出定点坐标；
②求四边形面积的取值范围.
解：（1）由已知得：
在方程中，令，则，故
所以，故椭圆的方程为：.
（2）设，当直线斜率存在时，设
由得：，故
①由已知，所以直线的斜率为
过直线的方程为：，即：
注意到：由韦达定理有：，
所以:
故直线的方程为：，所以直线过定点
②当斜率存在且斜率，
则
同理以替代得:
因为：.
当轴时，故