2025泰安一中高三上学期11月月考数学试题含解析

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ​， 则​（ ）
A. ​B. ​C. ​D. ​
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式求集合A，根据指数函数单调性求集合B，进而求交集.
【详解】因为集合​，
​，
所以​．
故选：D．
2. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将不等式成立的存在性问题转化为函数的最值问题，得到的取值范围，再由充分不必要条件的定义得到结果.
【详解】因“，”，所以，所以．
结合选项及充分不必要条件知“”是“”的充分不必要条件．
故选：D．
3. 已知奇函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】由即可求解.
【详解】，
是奇函数，，
，，．
故选:A．
4. 设公差的等差数列中，，，成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比数列求出首项与公差的关系，然后利用等差中项化简所求表达式即可．
【详解】解：因为公差的等差数列an中，，，成等比数列，
所以，即，解得，
所以，
故选： C．
5. 已知，都是锐角，，，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角三角函数之间的关系可求得，，再利用两角差的余弦公式可得结果.
【详解】由，以及，都是锐角可得，；
所以
.
故选：A
6. 函数的零点个数为（ ）
A. 1B. 0C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数判断函数的单调性，结合，即可判断出答案.
【详解】由，可得，即定义域为−1,1，
所以，
由于，故，
即f′x≥0，当且仅当x=0时取等号，
即在−1,1上为单调递增函数，又，
所以仅有一个零点．
故选：A．
7. 在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差中项和三角恒等变换化简得，然后结合和差公式将所求化简为关于的表达式，利用基本不等式可得.
【详解】由题知，由正弦定理得，
即，
因为，所以，
又，
所以，得，
所以最多有一个是钝角，所以，
因为
，
由基本不等式得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为3.
故选：A
【点睛】关键点睛：本题主要在于利用三角恒等变换和三角形内角和定理，将已知和所求转化为的表达式，即可利用基本不等式求解.
8. 已知函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 方程有解
C. 是偶函数D. 是偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知得到，应用递推式及累加法求解析式，进而判断各项正误.
【详解】因为函数的定义域为R，
由，，取，得，
取，得，故A错误．
取，得，
所以，，⋯，，
以上各式相加得，
所以，不是偶函数，故C错误；
令，得，解得x=1或2，故B正确；
因为，所以不是偶函数，故D错误.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设正实数满足，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用基本不等式判断A，利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用平方法，结合基本不等式判断C，利用完全平方公式，结合基本不等式判断D，从而得解.
【详解】对于A，，
当且仅当时取等号，此时取最大值，故A不正确；
对于B，因为正实数满足，
所以，
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，，
当且仅当时取等号，所以，即最大值为2，故C错误；
对于D，由，
因此，
当且仅当时取等号，则的最小值为，故D正确.
故选：BD
10. 已知函数的图象过点和，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A.
B
C. 当时，函数值域为
D. 函数有三个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据和的范围即可得，进而根据可得即可判断AB，根据整体法即可求解C ，利用函数图象即可求解D.
【详解】解：点代入解析式得，，即，
又 故A项正确.
由，解得， 又，，
由A项可知，则有，
因此， 又因为和和，
可知，，解得故B项正确.
由AB选项可知，， 则时，，此时函数值域为故C项错误.
由五点作图法作出的图象及的图象，如下图所示。
通过图象可知与的图像有3个不同交点，
因此函数有三个零点.因此D项正确。
故选：ABD
11. 已知是数列的前n项和，且，则下列选项中正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若数列单调递增，则的取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】由推出，两式相减即可判断A；由推出，两式相减即可判断B；由分析知，an中奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，再由等差数列得前项和公式求和可判断C；根据数列an单调递增可判断D.
【详解】对于A，①，②.
由①②式可得；，A选项正确；
对于B，因为，
所以，
两式相减得：，所以B正确；
对于C，因为，
令，得，因为，所以，
令，得，因为，，
可得，
因为，而，所以，
所以an奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，
偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，
所以
，所以C选项正确；
对于D，，
令，则，所以，则，
又因为，令，则，
所以，
同理：
，
，
因为数列an单调递增，所以，
解得：，
解得：，
解得：，
解得：，
解得：，
所以的取值范围是，所以D不正确.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用得出an的奇数项、偶数项分别成等差数列.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，根据题意，列出方程求得，得到，结合，，进而得到答案.
【详解】设等比数列的公比为，其中，
因为，可得，所以，
解得或（舍去），则，
又当时，，当时，
所以当取最大值时的值为．
故答案为：.
13. 为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.则隧道口间的距离是___________.

【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理列式计算即得.
【详解】在中，，由正弦定理得，
而，则，在中，，
由余弦定理得：.
故答案为：1000
14. 函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先通过f′x在区间上单调递减，得到其导函数不大于零恒成立，通过参变分离求最值得的范围，再通过在区间上单调递增，得到其导函数不小于零恒成立，通过单调性求得的范围，综合可得答案.
【详解】对于函数，
，令，
则，因为f′x在区间上单调递减，
所以恒成立，即恒成立，又，
所以，
又在区间上单调递增，
所以恒成立，
所以，解得，
综合得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）证明：
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦函数的和差公式，结合正弦定理与余弦定理的边角变换，化简整理即可得证；
（2）利用（1）中结论与余弦定理分别求得，从而求得，由此得解.
【小问1详解】
已知，
可化为，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
整理得.
小问2详解】
当，时，，
，
所以，解得，
所以的周长为
16. 已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；
（2）由伸缩变换与平移变换得解析式，得，根据整体角范围求余弦值，再由角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.
【小问1详解】
.
由，
解得
即时，函数单调递减，
所以函数的单调递减区间为；
【小问2详解】
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，
所以.
若，则， .
由，得，又，
所以，则，
故
.
故的值为.
17. 已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且.
（1）求出的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数λ的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由利用累加法求出的通项公式，进而求出an的通项公式.
（2）由得，利用错位相减法求出，不等式可转化为，利用的单调性求出最小值即可.
【小问1详解】
∵数列是首项为3，公比为3的等比数列，∴，
∴当时，，
即，∴，∴.
又也满足上式，∴数列an的通项公式为；
【小问2详解】
由（1），可得，
∴①，
②，
由①-②，得，
∴，
∴不等式可化为，
即对任意的恒成立，
令且为递增数列，即转化为.
又，所以，
综上，λ的取值范围是.
18. 已知函数，其中是实数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若函数不具有单调性，求实数的取值范围；
（3）若恒成立，求的最小值.
【答案】（1）在单调递增，单调递减
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求解；
（2）由题意在定义域内有异号零点，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理列不等式求解即可；
（3）易知当时，，再证能成立，即证：存在，使得恒成立，构造函数，利用导数研究其最值即可求解.
【小问1详解】
当时，，则，
令，解得，令，解得，
所以在单调递增，单调递减；
【小问2详解】
函数的图象是连续的，且不具有单调性，
在定义域内有正有负（有异号零点），
记，则在为负，为正，
在单调递减，单调递增，
故存在，使得，
只需，即.
【小问3详解】
对任意都成立，当时，，
下证：能成立，即证：存在，使得恒成立，
记，故（必要性），
而，则，解得，
只需证：恒成立，
，由（2）知，其在单调递减，单调递增，
在为正，在为负，在为负，
在单调递增，单调递减，，得证；
综上，的最小值为0.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.
（1）求20以内的质数“理想数”；
（2）已知.求m的值；
（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：.
【答案】（1）2和5为两个质数“理想数”
（2）的值为12或18
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；
（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；
（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.
【小问1详解】
以内质数为，
，故，所以为“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
和5为两个质数“理想数”；
【小问2详解】
由题设可知必为奇数，必为偶数，
存在正整数，使得，即：
，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值为12或18．
【小问3详解】
显然偶数"理想数"必为形如的整数，
下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，
若奇数，不妨设，
若为"理想数"，则，且，即，且，
①当，且时，；
②当时，；
，且，
又，即，
易知为上述不等式的唯一整数解，
区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，
显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，
所有奇数"理想数"的倒数为，
，即．