福建省福州市八县（市）协作校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份福建省福州市八县（市）协作校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合M＝{1，2，3}，N＝{（x，y）|x∈M，y∈M，x+y∈M}，则集合N中的元素个数为（ ）
A．2B．3C．8D．9
2．（5分）“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）集合M＝{x|x＜﹣2或x≥3}，N＝{x|x﹣a≤0}，若N∩∁RM＝∅（R为实数集），则a的取值范围是（ ）
A．{a|a≤3}B．{a|a≤﹣2}C．{a|a＜﹣2}D．{a|﹣2≤a≤2}
4．（5分）若命题“∀x∈R，x2﹣2≥m”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）
5．（5分）已知m＜10，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x+1）．若f（3+2m）+f（2m﹣11）＞0，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）
7．（5分）某文具店购进一批新型台灯，若按每盈台灯15元的价格销售，每天能卖出30点；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．{x|10≤x＜16}B．{x|12≤x＜18}C．{x|15≤x≤20}D．{x|10≤x≤20}
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+4）为偶函数，f（﹣x+2）为奇函数，且f（x）在[0，2]上单调递增，则下列错误的是（ ）
A．f（2）＝0
B．x＝4为函数f（x）图象的一条对称轴
C．函数f（x）在[4，8]上单调递减
D．f（1）＜f（7）
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列四个结论中正确的是（ ）
A．命题“∀x∈R，3x2﹣2x﹣1＜0”的否定是“∃x0∈R，3﹣2x0﹣1＞0”
B．设a，b∈R，则“a2＞b2”的充分不必要条件是“a＞b”
C．若“∃x0∈R，﹣2x0﹣a＜0”为真命题，则a＞﹣1
D．若函数f（x）＝x2﹣2x+4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1，2]
（多选）10．（6分）下列选项正确的有（ ）
A．当x∈（0，2）时，函数y＝x2﹣2x+2的值域为[1，2）
B．有最小值2
C．函数的最小值为2
D．当a＞0，b＞0时，若a+b＝2ab，则a+2b的最小值为
（多选）11．（6分）已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），满足f（xy）+2＝f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞2，则（ ）
A．f（﹣1）＝1
B．f（x）为偶函数
C．f（2024）＜f（2025）
D．若f（x+2）＜2，则﹣3＜x＜﹣2或﹣2＜x＜﹣1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+3）＞0}，B＝{x|m≤x＜m+1}，且B⊆（∁RA），则实数m的取值范围是 ．
13．（5分）幂函数图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则a+b＝ ．
14．（5分）若关于x的函数f（x）＝（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N＝5，则实数t的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}．
（1）求集合∁RB∩A；
（2）设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∩M＝A，求实数a的取值范围．
16．（15分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1．
（1）当a＝1时，求函数f（x）在x∈[﹣2，2]上的最大值与最小值；
（2）若f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值为4，求实数a的值．
17．（15分）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．
（1）当3≤x≤4时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a＞0时，解关于x的不等式．
18．（17分）经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）＝125﹣|t﹣25|．
（1）试写出该商品的日销售金额w（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额w（t）的最大值与最小值．
19．（17分）已知函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是y＝f（a+x）﹣b是奇函数，给定函数f（x）＝x﹣．
（1）请你应用题设结论，求函数f（x）图象的对称中心；
（2）用定义证明f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（3）已知函数g（x）的图象关于点（1，1）对称，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣mx+m．若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x1）＝f（x2），求实数m的取值范围．
2024-2025学年福建省福州市八县（市）协作校高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{1，2，3}，N＝{（x，y）|x∈M，y∈M，x+y∈M}，则集合N中的元素个数为（ ）
A．2B．3C．8D．9
【答案】B
【分析】题中x∈M，y∈M，可一一列举出所有点的情况，再找出x+y∈M的情况，确定N中元素的个数．
【解答】解：因为M＝{1，2，3}，x∈M，y∈M，
点（x，y）的所有可能如下：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），
其中x+y∈M的情况有：（1，1），（1，2），（2，1）共3个．
故选：B．
2．（5分）“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由不等式的基本性持得a＞b且c＞d时必有a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b
【解答】解：∵a＞b且c＞d
∴a+c＞b+d．
若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b，
故选：A．
3．（5分）集合M＝{x|x＜﹣2或x≥3}，N＝{x|x﹣a≤0}，若N∩∁RM＝∅（R为实数集），则a的取值范围是（ ）
A．{a|a≤3}B．{a|a≤﹣2}C．{a|a＜﹣2}D．{a|﹣2≤a≤2}
【答案】C
【分析】表示出N中不等式的解集，确定出N，根据N与M的补集不为空集，找出a的范围即可，进而求解结论．
【解答】解：∵全集R，M＝{x|x＜﹣2或x≥3}，N＝{x|x﹣a≤0}＝{x|x≤a}，
N∩∁RM≠∅，
∴∁RM＝{x|﹣2≤x＜3}，
结合数轴可知，当a≥﹣2时，N∩∁RM≠∅，
故N∩∁RM＝∅（R为实数集）时，a的取值范围为{a|a＜﹣2}．
故选：C．
4．（5分）若命题“∀x∈R，x2﹣2≥m”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）
【答案】A
【分析】命题“∀x∈R，x2﹣2≥m”是真命题，由x2﹣2≥﹣2，得m≤﹣2．由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2≥m”是真命题，
x2﹣2≥﹣2，
∴m≤﹣2．
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
故选：A．
5．（5分）已知m＜10，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．
【解答】解：因为m＜10，
则＝m﹣10++10
＝10﹣（10﹣m+）＝4，
当且仅当10﹣m＝，即m＝7时取等号．
故选：A．
6．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x+1）．若f（3+2m）+f（2m﹣11）＞0，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）
【答案】D
【分析】根据奇函数在[0，+∞）上的解析式可判断函数的单调性，根据奇偶性原不等式可化为3+2m＞11﹣2m，再由单调性求解．
【解答】解：当x≥0时，f（x）＝x（x+1）＝x2+x，对称轴为，故f（x）在[0，+∞）上单调递增．函数在x＝0处连续，
又f（x）是定义域为R的奇函数，故f（x）在R上单调递增，且f（﹣x）＝﹣f（x），
由f（3+2m）+f（2m﹣11）＞0，可得f（3+2m）＞﹣f（2m﹣11）＝f（11﹣2m），
又因为f（x）在R上单调递增，所以有3+2m＞11﹣2m，解得m＞2．
故选：D．
7．（5分）某文具店购进一批新型台灯，若按每盈台灯15元的价格销售，每天能卖出30点；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．{x|10≤x＜16}B．{x|12≤x＜18}C．{x|15≤x≤20}D．{x|10≤x≤20}
【答案】C
【分析】设灯的销售单价，由题意列不等式，进而求出结果即可．
【解答】解：设这批灯的销售单价为x元，由题意可得x≥15，
由题意可得[30﹣2（x﹣15）]x≥400，
即x2﹣30x+200≤0，解得10≤x≤20．
可得x的范围为{x|15≤x≤20}．
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+4）为偶函数，f（﹣x+2）为奇函数，且f（x）在[0，2]上单调递增，则下列错误的是（ ）
A．f（2）＝0
B．x＝4为函数f（x）图象的一条对称轴
C．函数f（x）在[4，8]上单调递减
D．f（1）＜f（7）
【答案】D
【分析】由f（﹣x+2）为奇函数可得f（﹣x+2）+f（x+2）＝0，取x＝0，即可判断A；由f（x+4）为偶函数可得f（x+4）＝f（﹣x+4），即可判断B；分析可得f（x）在[0，4]上单调递增，结合B选项可判断C；由f（x+4）＝f（﹣x+4），取x＝﹣3，即可判断D．
【解答】解：A选项，因f（﹣x+2）为奇函数，则f（﹣x+2）+f（x+2）＝0，
令x＝0，得2f（2）＝0，可得f（2）＝0，故A正确；
B选项，因f（x+4）为偶函数，则f（x+4）＝f（﹣x+4），即x＝4为函数f（x）图象的一条对称轴，故B正确；
C选项，由f（﹣x+2）+f（x+2）＝0，得（2，0）为f（x）图象的一个对称中心，
又f（x）在[0，2]上单调递增，则f（x）在[2，4]上单调递增，所以f（x）在[0，4]当单调递增，
又由B选项可知函数f（x）在[4，8]上单调递减，故C正确；
D选项，由B选项，f（x+4）＝f（﹣x+4），令x＝﹣3，可得f（1）＝f（7），故D错误．
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列四个结论中正确的是（ ）
A．命题“∀x∈R，3x2﹣2x﹣1＜0”的否定是“∃x0∈R，3﹣2x0﹣1＞0”
B．设a，b∈R，则“a2＞b2”的充分不必要条件是“a＞b”
C．若“∃x0∈R，﹣2x0﹣a＜0”为真命题，则a＞﹣1
D．若函数f（x）＝x2﹣2x+4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1，2]
【答案】CD
【分析】对于A，结合命题否定的定义，即可求解；对于B，结合特殊值法，即可求解；对于C，结合判别式法，即可求解；对于D，结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：“∀x∈R，3x2﹣2x﹣1＜0”的否定是“∃x0∈R，3﹣2x0﹣1≤0”，故A错误；
当a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但a2＝b2，故充分性不成立，故B错误；
“∃x0∈R，﹣2x0﹣a＜0”为真命题，
则Δ＝4+4a＞0，解得a＞﹣1，故C正确；
f（x）＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，对称轴为x＝1，
当x＝1时，f（x）取得最小值3，
令f（x）＝4，即x2﹣2x+4＝4，解得x＝0或x＝2，
函数f（x）＝x2﹣2x+4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，
则实数m的取值范围是[1，2]，故D正确．
故选：CD．
（多选）10．（6分）下列选项正确的有（ ）
A．当x∈（0，2）时，函数y＝x2﹣2x+2的值域为[1，2）
B．有最小值2
C．函数的最小值为2
D．当a＞0，b＞0时，若a+b＝2ab，则a+2b的最小值为
【答案】AD
【分析】A中，由二次函数的性质可得函数的值域，判断出A的真假；BC中，换元，由函数的单调性，可得函数的最小值，判断出BC的真假；D中，由“1”的活用及基本不等式可得a+2b的最小值，判断出D的真假．
【解答】解：A中，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，x∈（0，2），可得x＝1时，ymin＝1，
又因为|0﹣1|＝|2﹣1|，x＝0时，y＝2，
所以y＜2，所以函数的值域为[1，2），所以A正确；
B中，设t＝≥，可得y＝t+在[，+∞）单调递增，
所以y≥+＝，所以B不正确；
C中，y＝＝＝+，
同B选项可得ymin＝2+＝，所以C不正确；
D中，当a＞0，b＞0时，若a+b＝2ab，可得+＝2，
所以a+2b＝（a+2b）••（+）＝（1+2++）
≥•（3+2）＝+，当且仅当＝，即a＝b，
即a＝，b＝时取等号，
所以a+2b的最小值为+，所以D正确．
故选：AD．
（多选）11．（6分）已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），满足f（xy）+2＝f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞2，则（ ）
A．f（﹣1）＝1
B．f（x）为偶函数
C．f（2024）＜f（2025）
D．若f（x+2）＜2，则﹣3＜x＜﹣2或﹣2＜x＜﹣1
【答案】BCD
【分析】根据赋值法，函数的奇偶性的概念，函数的单调性的概念，可得f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递增，从而再针对各个选项分别求解即可．
【解答】解：定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），满足f（xy）+2＝f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞2，
对选项A，令x＝y＝1，则f（1）+2＝f（1）+f（1），所以f（1）＝2，
再令x＝y＝﹣1，则f（1）+2＝f（﹣1）+f（﹣1），所以f（﹣1）＝2，所以选项A错误；
对选项B，令y＝﹣1，则f（﹣x）+2＝f（x）+f（﹣1），
所以f（﹣x）+2＝f（x）+2，所以f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）是偶函数，所以选项B正确；
对选项C，设0＜x1＜x2，则，
因为当x＞1时，f（x）＞2，所以f（）＞2，
由f（xy）+2＝f（x）+f（y），
知f（xy）﹣f（x）＝f（y）﹣2，
所以f（x2）﹣f（x1）＝f（）﹣2＞0，
所以f（x2）＞f（x1），
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为2024＜2025，所以f（2024）＜f（2025），所以选项C正确；
选项D，由选项B分析可知f（x）是偶函数，由选项C知f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又f（﹣1）＝f（1）＝2，
若f（x+2）＜2，则，解得﹣3＜x＜﹣1且x≠﹣2，所以选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+3）＞0}，B＝{x|m≤x＜m+1}，且B⊆（∁RA），则实数m的取值范围是 [﹣3，0] ．
【答案】[﹣3，0]．
【分析】化简集合A，求出∁RA，再根据B⊆（∁RA）求出m的取值范围．
【解答】解：集合A＝{x|（x﹣1）（x+3）＞0}＝{x|x＜﹣3或x＞1}，
∴∁RA＝{x|﹣3≤x≤1}，
∵集合B＝{x|m≤x＜m+1}，且B⊆（∁RA），
∴，
解得﹣3≤m≤0，
∴实数m的取值范围是[﹣3，0]．
故答案为：[﹣3，0]．
13．（5分）幂函数图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则a+b＝ 3 ．
【答案】3．
【分析】根据幂函数的定义与性质，得出a﹣1＝1，b2﹣2b﹣3＜0且为偶数，再根据取值范围，求出a和b的值，再求和．
【解答】解：∵幂函数y＝（a，b∈N）的图像关于y轴对称，且在（0，+∞）上是严格减函数，
∴b2﹣2b﹣3＜0，且b2﹣2b﹣3为偶数，b∈N，且a﹣1＝1．
解得﹣1＜b＜3，b＝0，1，2，且a＝2，
只有b＝1时满足b2﹣2b﹣3＝﹣4为偶数，
∴b＝1．故a+b＝3．
故答案为：3．
14．（5分）若关于x的函数f（x）＝（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N＝5，则实数t的值为 ．
【答案】．
【分析】化简得f（x）＝+t，令g（x）＝（t＞0），则可得g（x）为奇函数，从而得（x）max+g（x）min＝0，代入求解即可．
【解答】解：f（x）＝＝＝+t，
令g（x）＝（t＞0），
则x∈R，
又因为g（﹣x）＝＝﹣＝﹣g（x），
所以g（x）为奇函数，
所以g（x）max+g（x）min＝0，
所以M＝g（x）max+t，N＝g（x）min+t，
又因为M+N＝5，
所以g（x）max+g（x）min+2t＝5，
所以t＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}．
（1）求集合∁RB∩A；
（2）设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∩M＝A，求实数a的取值范围．
【答案】（1）∁RB∩A＝{x|﹣2≤x≤1}；
（2）{a|﹣4＜a＜﹣2}．
【分析】（1）根据集合的基本运算即可求解结论；
（2）由A∩M＝A，可得A⊆M，进而求解结论．
【解答】解：（1）因为A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}，
所以∁RB＝{x|x≤1}，
所以∁RB∩A＝{x|﹣2≤x≤1}；
（2）因为A∩M＝A，可得A⊆M，
故，解得﹣4＜a＜﹣2，
即实数a的取值范围为：{a|﹣4＜a＜﹣2}．
16．（15分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1．
（1）当a＝1时，求函数f（x）在x∈[﹣2，2]上的最大值与最小值；
（2）若f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值为4，求实数a的值．
【答案】（1）最大值为9，最小值为0；
（2）a＝﹣1或．
【分析】（1）a＝1时，求出f（x）的解析式，根据二次函数的对称性可知在x＝﹣1处取得最小值，在x＝2处取得最大值；
（2）该二次函数是开口向上的抛物线，所以最大值必定在区间的两端，分别求解可得a的值．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2+2x+1＝（x+1）2，
对称轴为x＝﹣1，
当x∈[﹣2，2]时，f（x）min＝f（﹣1）＝0，f（x）max＝f（2）＝9；
（2）因为f（x）是开口向上的抛物线，
所以f（﹣1）和f（2）中必有一个是最大值，
若f（﹣1）＝1﹣2a+1＝2﹣2a＝4，a＝﹣1，
若，
所以a＝﹣1或．
17．（15分）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．
（1）当3≤x≤4时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a＞0时，解关于x的不等式．
【答案】（1）{a|a≤}；
（2）a＝时，解集为{1}；
0＜a＜时，解集为{x|1＜x＜﹣1}；
a＞时，解集为{x|﹣1＜x＜1}．
【分析】（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0化为a≤，求出的最小值即可；
（2）不等式化为（x﹣1）（ax﹣1+a）≤0，求出不等式对应方程的根，讨论两根的大小，即可得出不等式的解集．
【解答】解：（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化为a（x2﹣1）≤x﹣1，
当3≤x≤4时，8≤x2﹣1≤15，2≤x﹣1≤3，
所以不等式化为a≤，又因为4≤x+1≤5，所以≥，
所以实数a的取值范围是{a|a≤}；
（2）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化为（x﹣1）（ax﹣1+a）≤0，
因为a＞0，所以不等式对应方程的根为1和﹣1，
当﹣1＝1时，a＝，
所以a＝时，不等式为（x﹣1）2≤0，解得x＝1；
当0＜a＜时，﹣1＞1，解不等式得1＜x＜﹣1；
当a＞时，﹣1＜1，解不等式得﹣1＜x＜1；
综上，a＝时，解集为{1}；
0＜a＜时，解集为{x|1＜x＜﹣1}；
a＞时，解集为{x|﹣1＜x＜1}．
18．（17分）经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）＝125﹣|t﹣25|．
（1）试写出该商品的日销售金额w（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额w（t）的最大值与最小值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）函数关系近似满足，、g（t）＝125﹣|t﹣25|，即可得到商品的日销售金额w（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；
（2）由函数关系近似满足，判断函数的单调性判断出函数的最值，即该商品的日销售金额w（t）的最值．
【解答】解：（1）由题意，得
＝
（2）①当1≤t＜25时，因为，
所以当t＝10时，w（t）有最小值12100；
当t＝1时，w（t）有最大值20200；
②当25≤t≤30时，∵在[25，30]上递减，
∴当t＝30时，w（t）有最小值12400
∵12100＜12400，
∴当t＝10时，
该商品的日销售金额w（t）取得最小值为12100．
最大值为20200．
19．（17分）已知函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是y＝f（a+x）﹣b是奇函数，给定函数f（x）＝x﹣．
（1）请你应用题设结论，求函数f（x）图象的对称中心；
（2）用定义证明f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（3）已知函数g（x）的图象关于点（1，1）对称，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣mx+m．若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x1）＝f（x2），求实数m的取值范围．
【答案】（1）（﹣1，﹣1）；
（2）证明见解析；
（3）[0，2]．
【分析】（1）设函数f（x）图象的对称中心为（a，b），根据函数关于点对称的性质得到f（a+x）+f（a﹣x）﹣2b＝0，代入求解即可得到a，b的值，从而得到对称中心；
（2）根据单调性定义证明即可；
（3）由题意可知函数g（x）的值域是f（x）值域的子集，由（2）易得f（x）的值域，g（x）的值域可对二次函数的对称轴和区间的位置关系进行分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）设函数f（x）图象的对称中心为（a，b），
则f（a+x）+f（a﹣x）﹣2b＝0，
即（x+a）﹣+（a﹣x）﹣＝2b，
即（a﹣b）﹣﹣＝0，
（a﹣b）[（a+1）2﹣x2]﹣2[（a+1）+x]﹣2[（a+1）﹣x]＝0，
整理得（a﹣b）x2＝（a﹣b）（a+1）2﹣4（a+1），
于是（a﹣b）＝（a﹣b）（a+1）2﹣4（a+1）＝0，
解得a＝b＝﹣1，
所以f（x）的对称中心为（﹣1，﹣1）；
（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则，
所以x1﹣x2＜0且，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
所以在（0，+∞）上单调递增；
（3）由题意得：g（x）的值域是f（x）值域的子集，
由（2）知f（x）在[1，3]上单调递增，
故f（x）的值域为[﹣1，2]，
于是原问题转化为g（x）在[0，2]上的值域A⊆[﹣2，4]，
①当，即m≤0时，g（x）在[0，1]上单调递增，
同时g（x）＝x2﹣mx+m的图象恒过对称中心（1，1），
可知g（x）在（1，2]上也单调递增，
故g（x）在[0，2]上单调递增，
又g（0）＝m，g（2）＝2﹣g（0）＝2﹣m，
故A＝[m，2﹣m]，
所以[m，2﹣m]≤[﹣1，2]，
所以，解得m≥0，
又m≤0，故此时m＝0；
②当，即0＜m＜2时，
g（x）在上单调递减，上单调递增，
又g（x）过对称中心（1，1），
故g（x）在上单调递增，上单调递减，
故此时A＝（min{g（2），}，max{g（0），
欲使A⊆[﹣1，2]，
只需，且，
解得2﹣2≤m≤3且0≤m≤2，
解不等式得：0≤m≤2，
又0＜m＜2，
故此时0＜m＜2；
③当1，即m≥2时，
g（x）在[0，1]上单调递减，在（1，2]上也单调递减，
由对称性知g（x）在[0，2]上单调递减，
于是A＝[2﹣m，m]，
因为[2﹣m，m]≤[﹣1，2]，
故，解得m≤2，
又m≥2，故此时m＝2，
综上，实数m的取值范围是[0，2]