高一数学第三次月考卷（北师大版2019，测试范围：必修第一册第一章~第五章）2024-2025学年高中上学期第三次月考.zip

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版必修第一册第一章（10分）+第二章（5分）+第三章（25分）+第四章+第五章（110分）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由图知阴影部分为的元素去掉的元素组成的集合，即CB(AՈB),因为，
所以阴影部分表示的集合为.
故选A.
2．如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由已知函数图象易得：点、在函数图象上
将点代入，，可排除B、C
将代入，可排除D，
故选A．
3．已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】
，恒过定点，
，，，其图象如图所示，
因此不经过第四象限，
故选D．
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，，，
又，，.
故选B.
5．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数，因为，解得．
所以函数的定义域为，且，．
因为函数在区间上单调递增，
在区间1,2上单调递减，函数单调递增，
所以由复合函数同增异减的单调性知函数在区间上单调递增，
在区间1,2上单调递减,
故选A
6．为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（ ）（结果保留整数）（参考数据：）
A．5个月B．6个月C．7个月D．8个月
【答案】A
【解析】由题意可得，，
即有，即，则，
令，即，即，
则.
故这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过5个月.
故选A.
7．已知是定义在R上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，由，
得，
所以，
令，则，
所以函数在上单调递增，
因为是定义在R上的偶函数，所以，
所以对任意的， ，
所以，函数为上的偶函数，且，
由，可得，即，
即，所以，解得，
故选D
8．已知函数且在上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数在区间上为单调函数，
且当时，在上单调递增，
，解得，
又函数有两个不同的零点等价于有两个不同的实数根，
函数的图象与直线有两个不同的交点，
作出函数与直线的图象，
当时，由得，
由于，故，
易知函数与直线的图象在上有唯一交点，
则函数与直线的图象在上有唯一交点，
故或与的图象相切，即有唯一解，
或或，
综上，实数的取值范围为，结合选项可知A符合题意，
故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如果，那么下面结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】由不等式的性质即可判断ABC，举反例即可判断D.
【解析】因为，所以，，，故ABC正确，
取，则，故D错误.
故选；ABC.
10．下列既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】对A：因为，所以函数为奇函数.且当时，单调递增；
根据奇函数的性质，在上也是单调递增，所以在上为增函数，故A正确.
对B：因为函数的定义域为0,+∞，所以函数非奇非偶，故B错误；
对C：因为，所以函数ℎx一定不是奇函数，故C错误；
对D：应为，所以，所以为奇函数，
且随的增大而增大，随的增大而减小，
所以随着的增大，的值在增大，即在上为增函数，故D正确.
故选AD
11．已知定义在R的偶函数y=fx对任意的x满足，当，函数，（且），则下列结论正确的有（ ）
A．函数图象关于直线对称
B．当时，
C．若在R上单调递减，则
D．若方程在R上有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于A，因为函数对任意的满足，且是偶函数，
故，故图象关于直线对称，A正确；
对于B，当时，则，，
又当时，，所以，
所以当时，，B错误；
对于C，函数，（且）
若在上单调递减，则，解得，故C正确；
对于D，当时，若在上有4个不同的实数根，
则大致图象如下图所示，
所以，解得；
当时，若在上有4个不同的实数根，
则大致图象如下图所示，
所以，解得．
综上所述，实数的取值范围为,,，故D正确．
故选ACD．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若函数，则 .
【答案】
【解析】由，则，
故答案为：.
13．已知函数，若，且，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】的图象如下：
因为且，所以且，
所以，所以，故，
由对勾函数在0,1上单调递减，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
14．对于函数，若在定义域内存在实数x满足，则称函数为“局部奇函数”.若函数在定义域上为“局部奇函数”，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【解析】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：
若函数是定义在上的“局部奇函数”，
则方程有解，即有解；
整理可得，
即有解即可.
设，当且仅当，即时，等号成立.
则方程有解等价为在时有解，
等价为在时有解，
设，可知在内单调递增，则，
则，解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
对下列式子求值：
(1)
(2)
【解析】（1）原式.
（2）原式.
16．（15分）
已知函数，若是定义域为的奇函数．
(1)求出函数的解析式；
(2)求不等式的解集．
【解析】（1）因为是定义域为的奇函数，则，解得，
若，则，
且，即，解得，
若，，则，
可得，
即，符合题意
综上所述：.
（2）因为，
因为在上单调递增，则在上单调递增，
若，则，
可得，即，解得，
所以原不等式的解集为.
17．（15分）
已知函数为奇函数．
(1)解不等式；
(2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）函数中，，由是奇函数，得，
即，整理得，解得，
函数定义域为，
由，得，即，整理得，解得，
所以不等式的解集为.
（2）因为函数在上单调递增，
故当时，，
由（1）得在的值域，
又，
设，则，，
当时，，当时，，
因此函数在上的值域，
由对任意的，总存在，使得成立，得，
于是，解得，
所以实数的取值范围是.
18．（17分）
已知函数．
(1)若，且图象关于对称，求实数的值；
(2)若，
（i）方程恰有一个实根，求实数的取值范围；
（ii）设，若对任意，当时，满足，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意知图象关于对称，
所以为偶函数，
即，
所以，故；
（2）由题意知，
（i）方程，所以，
整理可得，，即，
当时，方程有唯一解，此时，不符合条件；
当时，同上，解方程得，也不符合条件；
当且时，方程有两不等解，
若满足，则，
若满足，则，
显然若时，无解，
若时，有两解，
所以当时方程恰有一个实根，
综上，实数的取值范围为；
（ii）令，则在0,+∞上为减函数，而在0,+∞上为增函数，
所以函数在上为减函数，
当时，满足，
则，
所以，
因为，即对任意的恒成立，
设，
又，所以函数在单调递增，
所以，所以．
19．（17分）
若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设．
(1)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由；
(2)求函数在内的“区间”；
(3)设函数在区间上的所有“区间”的并集记为．是否存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解．若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）结合题意可得：，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，，
当或时，，
故此时函数的值域为，而此时
所以区间不是函数的一个“区间”.
（2）设的 “区间”为,则的值域为，
此时在单调递减，
则，解得，
所以的 “区间”为.
（3）由（2）知在上的 “区间”为,
当时，则，
而函数在0,1上的值域为0,1，
所以在0,1上不存在这样的区间，
所以在上满足条件的区间为，
由，可得函数为奇函数，
同理易得：当，的“区间”为，
所以，
要使关于的方程在上恰有2个不同的实数解,
则当，，即
且在单调递减;
当，，即.
因为,
所以不存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解.