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高一数学第三次月考卷（湘教版2019必修第一册第1~4章）2024-2025学年高中上学期第三次月考.zip
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这是一份高一数学第三次月考卷（湘教版2019必修第一册第1~4章）2024-2025学年高中上学期第三次月考.zip，文件包含高一数学第三次月考卷全解全析docx、高一数学第三次月考卷参考答案docx、高一数学第三次月考卷考试版A4docx、高一数学第三次月考卷答题卡A3版docx、高一数学第三次月考卷考试版A3docx、高一数学第三次月考卷答题卡A3PDF版pdf等6份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：湘教版+前四章，集合与逻辑10%+不等式16%+函数30%+指对函数44%。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A=x∈N∣0≤x2≤9,B=x∈N∣0≤x≤10，则A∩B=（ ）
A．x∣0≤x≤9B．1,2,3
C．x∣0≤x≤3D．0,1,2,3
【答案】D
【详解】由题意可得：A=x∈N∣0≤x2≤9=0,1,2,3，
B=x∈N∣0≤x≤10=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
所以A∩B=0,1,2,3.
故选：D.
2．命题“∀x∈R，x2+x+1>0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x2+x+1≤0B．∀x∉R，x2+x+1≤0
C．∃x0∉R，x02+x0+1>0D．∃x0∈R，x02+x0+1≤0
【答案】D
【详解】命题“∀x∈R，x2+x+1>0”的否定为：“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”.
故选：D
3．函数fx=3−x+lgx−1的定义域为（ ）
A．x|x≥3B．x|x<1C．x1≤x≤3D．x|1【答案】D
【详解】3−x≥0x−1>0⇒x≤3x>1，
所以函数fx=3−x+lgx−1的定义域为x|1故选：D
4．如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数，例如π=3，0.6=0，−1.6=−2，那么“x−y<1”是“x=y”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】对于x−y<1，如x=−0.4,y=0.5，
则x−y=−0.4−0.5=0.9<1，x=−0.4=−1,y=0.5=0，
此时x≠y.
对于x=y，则x,y∈n,n+1,n∈Z，
则x∈n,n+1,−y∈−n−1,−n，
则x−y∈−1,1,x−y<1.
“x−y<1”是“x=y”的必要不充分条件.
故选：B
5．下列区间内存在方程x3=2x的根的是（ ）
A．−2,−1B．(0,1)C．1,2D．2,3
【答案】C
【详解】令Fx=x3−2x，显然函数Fx在R上连续，因F1F2=(−1)×4=−4<0，
故 Fx在区间1,2上存在零点，即方程x3=2x在区间1,2上有实数根．
如图，作出函数y=x3和y=2x的图象，由图可知y=x3和y=2x有两个交点，
因x=−1,x3=1>2x=12，x=0,x3=0<2x=1，即F−1F0<0，
所以Fx在区间−1,0上存在零点，即方程x3=2x在区间−1,0上有实数根，
由选项可知只有C项符合题意.
故选：C.
6．函数f(x)=2xx2+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数f(x)=2xx2+1的定义域为R，且f−x=−2x−x2+1=−2xx2+1=−f(x)，
所以f(x)=2xx2+1为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；
又当x>0时fx>0，故排除C.
故选：D
7．已知函数fx=21+x,x≥0−21−x,x<0，则不等式f2−x>fx的解集为（ ）
A．−∞,−1B．−∞,1
C．−1,+∞D．1,+∞
【答案】B
【详解】当x≥0时，y=21+x单调递增，当x<0时，y=−21−x单调递增，且在分界点处−21−0<21+0，
所以函数fx在定义域上单调递增，
所以f2−x>fx⇔2−x>x，得x<1，
所以不等式的解集为−∞,1.
故选：B
8．已知定义在R上的函数fx为偶函数，且fx在区间(−∞,0]上是增函数，记a=flg512，b=flg1215，c=f1215，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a【答案】C
【详解】由函数y=fx为R上的偶函数，且在−∞,0上是增函数，
则该函数在[0,+∞)上为减函数，且有fx=fx，
则a=flg512=flg52，b=flg1215=flg25，c=f1215，
因为lg52lg22=1，12=121<1215<120=1，
即lg52<1215所以flg52>f1215>flg25，可得b故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数fx=x，下列说法错误的是（ ）
A．fx是偶函数B．fx是奇函数
C．fx在0,+∞上是减函数D．fx在−∞,0上是减函数
【答案】BC
【详解】易知函数fx的定义域为R，且f−x=−x=x=fx，所以fx是偶函数，故A正确，B错误；
当x≥0时，fx=x=x=x12，此时fx单调递增且过原点，
由函数为偶函数作出图像如下：
由图像可得fx在0,+∞上是增函数，在−∞,0上是减函数，故C错误，D正确；
故选：BC.
10．已知a,b,c∈R，下列命题为真命题的是（ ）
A．若bB．若b>a>0>c，则caC．若c>b>a>0，则ac−a>ac−b
D．若a>b>c>0，则ab>a+cb+c
【答案】BD
【详解】对于选项A，当c=0时，b⋅c2=a⋅c2，故A错误;
对于选项B，ca−cb=c(b−a)ab，因为b>a>0> c，所以(b−a)>0,ab>0，
所以ca−cb=c(b−a)ab<0，即ca对于选项C，ac−a−ac−b=a(a−b)(c−a)(c−b)，
因为c>b>a>0，所以c−a>0,c−b>0,a−b<0，
所以ac−a−ac−b=a(a−b)(c−a)(c−b)<0，即ac−a对于选项D，因为ab−a+cb+c=a(b+c)−b(a+c)b(b+c)=(a−b)cb(b+c)，
又因为a>b>c>0，所以a−b>0,b+c>0，所以(a−b)cb(b+c)>0，即ab>a+cb+c，故D正确.
故选:BD.
11．已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+12．且f12=0，当x>12时，f(x)>0，则下列结论正确的是（ ）
A．f(0)=−12B．f(−1)=32C．f(x)为增函数D．f(x)+12为奇函数
【答案】ACD
【详解】函数f(x)的定义域为R，对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+12，
令x=y=0，可得f(0)=2f(0)+12，即有f(0)=−12，故A正确；
由f12=0，可得f(1)=2f12+12=12，
f(1−1)=f(1)+f(−1)+12，即−12=12+f(−1)+12，可得f(−1)=−32，故B错误；
令y=−x，则f(x−x)=f(x)+f(−x)+12=−12，即f(x)+12+f(−x)+12=0，
则函数f(x)+12为奇函数，故D正确；
令x=12,y=−12，可得f(0)=f12+f−12+12=f−12+12=−12即f−12=−1，
当x>12时，f(x)>0，即x−12>0,fx−12=f(x)+f−12+12=f(x)−12>−12，
设x10，即有fx2=fx2−x1+fx1+12>−12+fx1+12=fx1，
则f(x)在R上递增，故C正确．
故选：ACD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数f(x)=ax−3+2x(a>0, a≠1)的图象恒过的定点为 ．
【答案】3,7
【详解】令x−3=0，解得x=3，且f(3)=7，
所以函数f(x)的图象恒过的定点为3,7.
故答案为：3,7.
13．已知2x=24y=3，则3y−xxy的值为 .
【答案】−1
【详解】∵2x=24y=3，
∴x=lg23，y=lg243，
∴ 1x=lg32，1y=lg324，
∴ 3y−xxy=3x−1y=3lg32−lg324=lg38−lg324=lg313=−1．
故答案为：−1
14．已知实数a，b满足−1【答案】3−1
【详解】因为−10，b−1>0，
因为a+b=2，所以a+1+b−1=2，
由a+b=2，所以1a+1+3ab−1=1a+1+32−bb−1=1a+1+3b−1−3.
所以1a+1+3b−1−3=121a+1+3b−1a+1+b−1−3
=121+3+b−1a+1+3a+1b−1−3≥124+2b−1a+1⋅3a+1b−1−3=2+3−3=3−1，
当且仅当b−1a+1=3a+1b−1，即a=−2+3,b=4−3时，等号成立.
故答案为：3−1
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）计算
(1)21412−(−π)0+338−23−(1.5)−2
(2)lg327+lg25+lg4−7lg72+lg42
【详解】（1）21412−(−π)0+338−23−(1.5)−2=9412−1+278−23−32−2
=322×12−1+323×−23−232=32−1+32−2−49
=32−1+232−49=12
（2）lg327+lg25+lg4−7lg72+lg42=12lg333+lg25×4−2+12lg22
=32+2−2+12=2
16．（15分）
对于二次函数y=ax2+bx+ca≠0，若∃x0∈R，使得ax02+bx0+c=x0成立，则称x0为二次函数y=ax2+bx+ca≠0的不动点.
(1)求二次函数y=x2+2x−2的不动点；
(2)若二次函数y=2x2−2+ax+a−1有两个不相等的不动点x1,x2，且x1,x2>0，求x2x1+x1x2的最小值.
【详解】（1）令x2+2x−2=x，可得x2+x−2=0，
可得x−1x+2=0，解得x1=−2,x2=1，
所以二次函数y=x2+2x−2的不动点为−2和1.
（2）二次函数y=2x2−2+ax+a−1有两个不相等的不动点x1,x2，且x1,x2>0，
则方程2x2−2+ax+a−1=x有两个不相等的正实数根，
即方程2x2−3+ax+a−1=0有两个不相等的正实数根，
所以Δ=(3+a)2−8a−1>0，且x1+x2=3+a2,x1x2=a−12，
因为x1,x2>0，即a−12>0，解得a>1，可得a−1>0，
所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=x1+x22−2x1x2x1x2=3+a22−a+1a−12=a2+2a+132a−1
=(a−1)2+4a−1+162a−1=a−12+8a−1+2≥2a−12⋅8a−1+2=6，
当且仅当a−12=8a−1，即a=5时等号成立，
所以x1x2+x2x1的最小值为6.
17．（15分）
已知函数fx=lgax+2+lga4−x，0(1)求函数fx的单调减区间;
(2)若函数fx在区间0,3的最小值为−2，求实数a的值;
(3)证明fx的图象是轴对称图形.
【详解】（1）由x+2>04−x>0得−2于是fx=lgax+24−x
令t=x+24−x=−x−12+9，该函数在−2,1单调递增，
而ft=lgat,0所以fx的单调减区间为−2,1
（2）fx=lgax+24−x，x∈0,3，令t=x+24−x=−x−12+9
当0≤x≤3时，5≤t≤9，因为0所以fxmin=lga9=−2，即a−2=9，所以a=13，综上得a=13．
（3）证明：f2−x=lga4−x+lga2+x=fx
所以fx关于直线x=1对称.
18．（17分）
已知函数y=φx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是y=φa+x−b是奇函数，给定函数fx=x−6x+1．
(1)求函数fx图象的对称中心；
(2)用定义证明fx在区间0,+∞上的单调性；
(3)已知函数gx的图象关于点1,1对称，且当x∈0,1时，gx=x2−mx+m．若对任意x1∈0,2，总存在x2∈1,5，使得gx1=fx2，求实数m的取值范围．
【详解】（1）设函数fx图象的对称中心为a,b，则fa+x+fa−x−2b=0，
即x+a−6x+a+1+−x+a−6−x+a+1−2b=0，
整理得a−bx2=a−ba+12−6a+1，
于是a−b=a−ba+12−6a+1=0，解得a=b=−1，
所以fx的对称中心为−1,−1.
（2）任取x1,x2∈0,+∞，且x1fx1−fx2=x1−6x1+1−x2−6x2+1=x1−x21+6x1+1x2+1，
所以x1−x2<0且1+6x1+1x2+1>0，
所以fx1−fx2<0，即fx1所以fx=x−6x+1在0,+∞上单调递增.
（3）由题意得：gx的值域是fx值域的子集，
由（2）知fx在1,5上单调递增，故fx的值域为−2,4，
于是原问题转化为gx在0,2上的值域A⊆−2,4，
①当m2≤0即m≤0时，gx在0,1上单调递增，
同时gx=x2−mx+m的图象恒过对称中心1,1，
可知gx在1,2上也单调递增，故gx在0,2上单调递增，
又g0=m，g2=2−g0=2−m，故A=m,2−m，
∵m,2−m⊆−2,4，∴m≥−22−m≤4，解得m≥−2，又m≤0，故此时−2≤m≤0；
②当0又gx过对称中心1,1，故gx在1,2−m2上单调递增，2−m2,2上单调递减，
故此时A=ming2,gm2,maxg0,g2−m2，
欲使A⊆−2,4，只需g2=2−g0=2−m≥−2gm2=−m24+m≥−2，且g0=m≤4g2−m2=2−gm2=m24−m+2≤4，
解不等式得：2−23≤m≤4，又0③当m2≥1即m≥2时，gx在0,1上单调递减，在1,2上也单调递减，
由对称性知gx在0,2上单调递减，于是A=2−m,m，
∵2−m,m⊆−2,4，故2−m≥−2m≤4，解得m≤4，又m≥2，故此时2≤m≤4，
综上，实数m的取值范围是−2,4.
19．（17分）
已知函数fx的定义域为D，若存在常数k(k>0)，使得对D内的任意x，都有fx=fkx，则称fx是“反比例对称函数”．设fx=lg2x·lg816x,gx=ax+16ax−m．
(1)判断函数fx=lg2x⋅lg816x是否为“反比例对称函数”，并说明理由；
(2)当a=1时，若函数fx与gx的图像恰有一个交点，求m的值；
(3)当a>1时，设ℎx=fx−gx，已知ℎx在0,+∞上有两个零点x1,x2，证明：x1x2<16．
【详解】（1）fx=lg2x·lg816x是“反比例对称函数”，理由如下：
由题可知fx=lg2x·lg816x=13lg2x·lg216x，
可知f16x=13lg216x·lg2x，
所以fx=f16x，
故fx是“反比例对称函数”.
（2）由题可知，x>0，此时gx=x+16x−m，
因为函数fx与gx的图像恰有一个交点，即fx−gx=0有一个解，
得13lg2x·lg216x−x−16x+m=0⇒m=x+16x−13lg2x·lg216x，
令Hx=x+16x−13lg2x·lg216x，得m=Hx仅有一个解，
显然H16x=16x+x−13lg216x·lg2x=Hx，
因为m=Hx，则有m=H16x，
要使m=Hx仅有一个解，
只需x=16x⇒x=4，或x=−4（舍）
所以m=H4=203.
（3）不妨先设a=1，
由题可知ℎx=13lg2x·lg216x−x−16x+m，
显然ℎ16x=16x+x−13lg216x·lg2x+m=ℎx，
已知ℎx有两个零点，x1,x2，则两个零点满足x1=16x2，
此时x1x2=16，
即，函数fx=lg2x·lg816x与函数gx=x+16x−m，的两个交点横坐标满足x1x2=16；
可知fx=lg2x·lg816x=43lg2x−13lg2x2利用复合函数单调性可知，
当x∈0,4时，fx单调递增；
x∈4,+∞时，fx单调递减；
由对勾函数性质可知gx=x+16x−m ，
在x∈0,4时，此时gx单调递减；
在x∈4,+∞时，此时x单调递増；
得两函数示意图
当a>1，此时gx=ax+16ax−m，
相当于函数gx=x+16x−m⇒gax=ax+16ax−m，
故所有的横坐标缩小为原来的1a倍；
故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小，故x1x2<16.
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：湘教版+前四章，集合与逻辑10%+不等式16%+函数30%+指对函数44%。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A=x∈N∣0≤x2≤9,B=x∈N∣0≤x≤10，则A∩B=（ ）
A．x∣0≤x≤9B．1,2,3
C．x∣0≤x≤3D．0,1,2,3
【答案】D
【详解】由题意可得：A=x∈N∣0≤x2≤9=0,1,2,3，
B=x∈N∣0≤x≤10=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
所以A∩B=0,1,2,3.
故选：D.
2．命题“∀x∈R，x2+x+1>0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x2+x+1≤0B．∀x∉R，x2+x+1≤0
C．∃x0∉R，x02+x0+1>0D．∃x0∈R，x02+x0+1≤0
【答案】D
【详解】命题“∀x∈R，x2+x+1>0”的否定为：“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”.
故选：D
3．函数fx=3−x+lgx−1的定义域为（ ）
A．x|x≥3B．x|x<1C．x1≤x≤3D．x|1
【详解】3−x≥0x−1>0⇒x≤3x>1，
所以函数fx=3−x+lgx−1的定义域为x|1
4．如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数，例如π=3，0.6=0，−1.6=−2，那么“x−y<1”是“x=y”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】对于x−y<1，如x=−0.4,y=0.5，
则x−y=−0.4−0.5=0.9<1，x=−0.4=−1,y=0.5=0，
此时x≠y.
对于x=y，则x,y∈n,n+1,n∈Z，
则x∈n,n+1,−y∈−n−1,−n，
则x−y∈−1,1,x−y<1.
“x−y<1”是“x=y”的必要不充分条件.
故选：B
5．下列区间内存在方程x3=2x的根的是（ ）
A．−2,−1B．(0,1)C．1,2D．2,3
【答案】C
【详解】令Fx=x3−2x，显然函数Fx在R上连续，因F1F2=(−1)×4=−4<0，
故 Fx在区间1,2上存在零点，即方程x3=2x在区间1,2上有实数根．
如图，作出函数y=x3和y=2x的图象，由图可知y=x3和y=2x有两个交点，
因x=−1,x3=1>2x=12，x=0,x3=0<2x=1，即F−1F0<0，
所以Fx在区间−1,0上存在零点，即方程x3=2x在区间−1,0上有实数根，
由选项可知只有C项符合题意.
故选：C.
6．函数f(x)=2xx2+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数f(x)=2xx2+1的定义域为R，且f−x=−2x−x2+1=−2xx2+1=−f(x)，
所以f(x)=2xx2+1为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；
又当x>0时fx>0，故排除C.
故选：D
7．已知函数fx=21+x,x≥0−21−x,x<0，则不等式f2−x>fx的解集为（ ）
A．−∞,−1B．−∞,1
C．−1,+∞D．1,+∞
【答案】B
【详解】当x≥0时，y=21+x单调递增，当x<0时，y=−21−x单调递增，且在分界点处−21−0<21+0，
所以函数fx在定义域上单调递增，
所以f2−x>fx⇔2−x>x，得x<1，
所以不等式的解集为−∞,1.
故选：B
8．已知定义在R上的函数fx为偶函数，且fx在区间(−∞,0]上是增函数，记a=flg512，b=flg1215，c=f1215，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a
【详解】由函数y=fx为R上的偶函数，且在−∞,0上是增函数，
则该函数在[0,+∞)上为减函数，且有fx=fx，
则a=flg512=flg52，b=flg1215=flg25，c=f1215，
因为lg52
即lg52<1215
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数fx=x，下列说法错误的是（ ）
A．fx是偶函数B．fx是奇函数
C．fx在0,+∞上是减函数D．fx在−∞,0上是减函数
【答案】BC
【详解】易知函数fx的定义域为R，且f−x=−x=x=fx，所以fx是偶函数，故A正确，B错误；
当x≥0时，fx=x=x=x12，此时fx单调递增且过原点，
由函数为偶函数作出图像如下：
由图像可得fx在0,+∞上是增函数，在−∞,0上是减函数，故C错误，D正确；
故选：BC.
10．已知a,b,c∈R，下列命题为真命题的是（ ）
A．若b
D．若a>b>c>0，则ab>a+cb+c
【答案】BD
【详解】对于选项A，当c=0时，b⋅c2=a⋅c2，故A错误;
对于选项B，ca−cb=c(b−a)ab，因为b>a>0> c，所以(b−a)>0,ab>0，
所以ca−cb=c(b−a)ab<0，即ca
因为c>b>a>0，所以c−a>0,c−b>0,a−b<0，
所以ac−a−ac−b=a(a−b)(c−a)(c−b)<0，即ac−a
又因为a>b>c>0，所以a−b>0,b+c>0，所以(a−b)cb(b+c)>0，即ab>a+cb+c，故D正确.
故选:BD.
11．已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+12．且f12=0，当x>12时，f(x)>0，则下列结论正确的是（ ）
A．f(0)=−12B．f(−1)=32C．f(x)为增函数D．f(x)+12为奇函数
【答案】ACD
【详解】函数f(x)的定义域为R，对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+12，
令x=y=0，可得f(0)=2f(0)+12，即有f(0)=−12，故A正确；
由f12=0，可得f(1)=2f12+12=12，
f(1−1)=f(1)+f(−1)+12，即−12=12+f(−1)+12，可得f(−1)=−32，故B错误；
令y=−x，则f(x−x)=f(x)+f(−x)+12=−12，即f(x)+12+f(−x)+12=0，
则函数f(x)+12为奇函数，故D正确；
令x=12,y=−12，可得f(0)=f12+f−12+12=f−12+12=−12即f−12=−1，
当x>12时，f(x)>0，即x−12>0,fx−12=f(x)+f−12+12=f(x)−12>−12，
设x1
则f(x)在R上递增，故C正确．
故选：ACD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数f(x)=ax−3+2x(a>0, a≠1)的图象恒过的定点为 ．
【答案】3,7
【详解】令x−3=0，解得x=3，且f(3)=7，
所以函数f(x)的图象恒过的定点为3,7.
故答案为：3,7.
13．已知2x=24y=3，则3y−xxy的值为 .
【答案】−1
【详解】∵2x=24y=3，
∴x=lg23，y=lg243，
∴ 1x=lg32，1y=lg324，
∴ 3y−xxy=3x−1y=3lg32−lg324=lg38−lg324=lg313=−1．
故答案为：−1
14．已知实数a，b满足−1
【详解】因为−1
因为a+b=2，所以a+1+b−1=2，
由a+b=2，所以1a+1+3ab−1=1a+1+32−bb−1=1a+1+3b−1−3.
所以1a+1+3b−1−3=121a+1+3b−1a+1+b−1−3
=121+3+b−1a+1+3a+1b−1−3≥124+2b−1a+1⋅3a+1b−1−3=2+3−3=3−1，
当且仅当b−1a+1=3a+1b−1，即a=−2+3,b=4−3时，等号成立.
故答案为：3−1
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）计算
(1)21412−(−π)0+338−23−(1.5)−2
(2)lg327+lg25+lg4−7lg72+lg42
【详解】（1）21412−(−π)0+338−23−(1.5)−2=9412−1+278−23−32−2
=322×12−1+323×−23−232=32−1+32−2−49
=32−1+232−49=12
（2）lg327+lg25+lg4−7lg72+lg42=12lg333+lg25×4−2+12lg22
=32+2−2+12=2
16．（15分）
对于二次函数y=ax2+bx+ca≠0，若∃x0∈R，使得ax02+bx0+c=x0成立，则称x0为二次函数y=ax2+bx+ca≠0的不动点.
(1)求二次函数y=x2+2x−2的不动点；
(2)若二次函数y=2x2−2+ax+a−1有两个不相等的不动点x1,x2，且x1,x2>0，求x2x1+x1x2的最小值.
【详解】（1）令x2+2x−2=x，可得x2+x−2=0，
可得x−1x+2=0，解得x1=−2,x2=1，
所以二次函数y=x2+2x−2的不动点为−2和1.
（2）二次函数y=2x2−2+ax+a−1有两个不相等的不动点x1,x2，且x1,x2>0，
则方程2x2−2+ax+a−1=x有两个不相等的正实数根，
即方程2x2−3+ax+a−1=0有两个不相等的正实数根，
所以Δ=(3+a)2−8a−1>0，且x1+x2=3+a2,x1x2=a−12，
因为x1,x2>0，即a−12>0，解得a>1，可得a−1>0，
所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=x1+x22−2x1x2x1x2=3+a22−a+1a−12=a2+2a+132a−1
=(a−1)2+4a−1+162a−1=a−12+8a−1+2≥2a−12⋅8a−1+2=6，
当且仅当a−12=8a−1，即a=5时等号成立，
所以x1x2+x2x1的最小值为6.
17．（15分）
已知函数fx=lgax+2+lga4−x，0
(2)若函数fx在区间0,3的最小值为−2，求实数a的值;
(3)证明fx的图象是轴对称图形.
【详解】（1）由x+2>04−x>0得−2
令t=x+24−x=−x−12+9，该函数在−2,1单调递增，
而ft=lgat,0
（2）fx=lgax+24−x，x∈0,3，令t=x+24−x=−x−12+9
当0≤x≤3时，5≤t≤9，因为0
（3）证明：f2−x=lga4−x+lga2+x=fx
所以fx关于直线x=1对称.
18．（17分）
已知函数y=φx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是y=φa+x−b是奇函数，给定函数fx=x−6x+1．
(1)求函数fx图象的对称中心；
(2)用定义证明fx在区间0,+∞上的单调性；
(3)已知函数gx的图象关于点1,1对称，且当x∈0,1时，gx=x2−mx+m．若对任意x1∈0,2，总存在x2∈1,5，使得gx1=fx2，求实数m的取值范围．
【详解】（1）设函数fx图象的对称中心为a,b，则fa+x+fa−x−2b=0，
即x+a−6x+a+1+−x+a−6−x+a+1−2b=0，
整理得a−bx2=a−ba+12−6a+1，
于是a−b=a−ba+12−6a+1=0，解得a=b=−1，
所以fx的对称中心为−1,−1.
（2）任取x1,x2∈0,+∞，且x1
所以x1−x2<0且1+6x1+1x2+1>0，
所以fx1−fx2<0，即fx1
（3）由题意得：gx的值域是fx值域的子集，
由（2）知fx在1,5上单调递增，故fx的值域为−2,4，
于是原问题转化为gx在0,2上的值域A⊆−2,4，
①当m2≤0即m≤0时，gx在0,1上单调递增，
同时gx=x2−mx+m的图象恒过对称中心1,1，
可知gx在1,2上也单调递增，故gx在0,2上单调递增，
又g0=m，g2=2−g0=2−m，故A=m,2−m，
∵m,2−m⊆−2,4，∴m≥−22−m≤4，解得m≥−2，又m≤0，故此时−2≤m≤0；
②当0
故此时A=ming2,gm2,maxg0,g2−m2，
欲使A⊆−2,4，只需g2=2−g0=2−m≥−2gm2=−m24+m≥−2，且g0=m≤4g2−m2=2−gm2=m24−m+2≤4，
解不等式得：2−23≤m≤4，又0
由对称性知gx在0,2上单调递减，于是A=2−m,m，
∵2−m,m⊆−2,4，故2−m≥−2m≤4，解得m≤4，又m≥2，故此时2≤m≤4，
综上，实数m的取值范围是−2,4.
19．（17分）
已知函数fx的定义域为D，若存在常数k(k>0)，使得对D内的任意x，都有fx=fkx，则称fx是“反比例对称函数”．设fx=lg2x·lg816x,gx=ax+16ax−m．
(1)判断函数fx=lg2x⋅lg816x是否为“反比例对称函数”，并说明理由；
(2)当a=1时，若函数fx与gx的图像恰有一个交点，求m的值；
(3)当a>1时，设ℎx=fx−gx，已知ℎx在0,+∞上有两个零点x1,x2，证明：x1x2<16．
【详解】（1）fx=lg2x·lg816x是“反比例对称函数”，理由如下：
由题可知fx=lg2x·lg816x=13lg2x·lg216x，
可知f16x=13lg216x·lg2x，
所以fx=f16x，
故fx是“反比例对称函数”.
（2）由题可知，x>0，此时gx=x+16x−m，
因为函数fx与gx的图像恰有一个交点，即fx−gx=0有一个解，
得13lg2x·lg216x−x−16x+m=0⇒m=x+16x−13lg2x·lg216x，
令Hx=x+16x−13lg2x·lg216x，得m=Hx仅有一个解，
显然H16x=16x+x−13lg216x·lg2x=Hx，
因为m=Hx，则有m=H16x，
要使m=Hx仅有一个解，
只需x=16x⇒x=4，或x=−4（舍）
所以m=H4=203.
（3）不妨先设a=1，
由题可知ℎx=13lg2x·lg216x−x−16x+m，
显然ℎ16x=16x+x−13lg216x·lg2x+m=ℎx，
已知ℎx有两个零点，x1,x2，则两个零点满足x1=16x2，
此时x1x2=16，
即，函数fx=lg2x·lg816x与函数gx=x+16x−m，的两个交点横坐标满足x1x2=16；
可知fx=lg2x·lg816x=43lg2x−13lg2x2利用复合函数单调性可知，
当x∈0,4时，fx单调递增；
x∈4,+∞时，fx单调递减；
由对勾函数性质可知gx=x+16x−m ，
在x∈0,4时，此时gx单调递减；
在x∈4,+∞时，此时x单调递増；
得两函数示意图
当a>1，此时gx=ax+16ax−m，
相当于函数gx=x+16x−m⇒gax=ax+16ax−m，
故所有的横坐标缩小为原来的1a倍；
故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小，故x1x2<16.
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