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高一数学第三次月考卷(湘教版2019必修第一册第1~4章)2024-2025学年高中上学期第三次月考.zip
展开1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.测试范围:湘教版+前四章,集合与逻辑10%+不等式16%+函数30%+指对函数44%。
5.难度系数:0.65。
第一部分(选择题 共58分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=x∈N∣0≤x2≤9,B=x∈N∣0≤x≤10,则A∩B=( )
A.x∣0≤x≤9B.1,2,3
C.x∣0≤x≤3D.0,1,2,3
【答案】D
【详解】由题意可得:A=x∈N∣0≤x2≤9=0,1,2,3,
B=x∈N∣0≤x≤10=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
所以A∩B=0,1,2,3.
故选:D.
2.命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定为( )
A.∀x∈R,x2+x+1≤0B.∀x∉R,x2+x+1≤0
C.∃x0∉R,x02+x0+1>0D.∃x0∈R,x02+x0+1≤0
【答案】D
【详解】命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定为:“∃x0∈R,x02+x0+1≤0”.
故选:D
3.函数fx=3−x+lgx−1的定义域为( )
A.x|x≥3B.x|x<1C.x1≤x≤3D.x|1
【详解】3−x≥0x−1>0⇒x≤3x>1,
所以函数fx=3−x+lgx−1的定义域为x|1
4.如果对于任意实数x,x表示不超过x的最大整数,例如π=3,0.6=0,−1.6=−2,那么“x−y<1”是“x=y”的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】对于x−y<1,如x=−0.4,y=0.5,
则x−y=−0.4−0.5=0.9<1,x=−0.4=−1,y=0.5=0,
此时x≠y.
对于x=y,则x,y∈n,n+1,n∈Z,
则x∈n,n+1,−y∈−n−1,−n,
则x−y∈−1,1,x−y<1.
“x−y<1”是“x=y”的必要不充分条件.
故选:B
5.下列区间内存在方程x3=2x的根的是( )
A.−2,−1B.(0,1)C.1,2D.2,3
【答案】C
【详解】令Fx=x3−2x,显然函数Fx在R上连续,因F1F2=(−1)×4=−4<0,
故 Fx在区间1,2上存在零点,即方程x3=2x在区间1,2上有实数根.
如图,作出函数y=x3和y=2x的图象,由图可知y=x3和y=2x有两个交点,
因x=−1,x3=1>2x=12,x=0,x3=0<2x=1,即F−1F0<0,
所以Fx在区间−1,0上存在零点,即方程x3=2x在区间−1,0上有实数根,
由选项可知只有C项符合题意.
故选:C.
6.函数f(x)=2xx2+1的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】函数f(x)=2xx2+1的定义域为R,且f−x=−2x−x2+1=−2xx2+1=−f(x),
所以f(x)=2xx2+1为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除A、B;
又当x>0时fx>0,故排除C.
故选:D
7.已知函数fx=21+x,x≥0−21−x,x<0,则不等式f2−x>fx的解集为( )
A.−∞,−1B.−∞,1
C.−1,+∞D.1,+∞
【答案】B
【详解】当x≥0时,y=21+x单调递增,当x<0时,y=−21−x单调递增,且在分界点处−21−0<21+0,
所以函数fx在定义域上单调递增,
所以f2−x>fx⇔2−x>x,得x<1,
所以不等式的解集为−∞,1.
故选:B
8.已知定义在R上的函数fx为偶函数,且fx在区间(−∞,0]上是增函数,记a=flg512,b=flg1215,c=f1215,则a,b,c的大小关系是( )
A.a
【详解】由函数y=fx为R上的偶函数,且在−∞,0上是增函数,
则该函数在[0,+∞)上为减函数,且有fx=fx,
则a=flg512=flg52,b=flg1215=flg25,c=f1215,
因为lg52
即lg52<1215
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数fx=x,下列说法错误的是( )
A.fx是偶函数B.fx是奇函数
C.fx在0,+∞上是减函数D.fx在−∞,0上是减函数
【答案】BC
【详解】易知函数fx的定义域为R,且f−x=−x=x=fx,所以fx是偶函数,故A正确,B错误;
当x≥0时,fx=x=x=x12,此时fx单调递增且过原点,
由函数为偶函数作出图像如下:
由图像可得fx在0,+∞上是增函数,在−∞,0上是减函数,故C错误,D正确;
故选:BC.
10.已知a,b,c∈R,下列命题为真命题的是( )
A.若bB.若b>a>0>c,则ca
D.若a>b>c>0,则ab>a+cb+c
【答案】BD
【详解】对于选项A,当c=0时,b⋅c2=a⋅c2,故A错误;
对于选项B,ca−cb=c(b−a)ab,因为b>a>0> c,所以(b−a)>0,ab>0,
所以ca−cb=c(b−a)ab<0,即ca
因为c>b>a>0,所以c−a>0,c−b>0,a−b<0,
所以ac−a−ac−b=a(a−b)(c−a)(c−b)<0,即ac−a
又因为a>b>c>0,所以a−b>0,b+c>0,所以(a−b)cb(b+c)>0,即ab>a+cb+c,故D正确.
故选:BD.
11.已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+12.且f12=0,当x>12时,f(x)>0,则下列结论正确的是( )
A.f(0)=−12B.f(−1)=32C.f(x)为增函数D.f(x)+12为奇函数
【答案】ACD
【详解】函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+12,
令x=y=0,可得f(0)=2f(0)+12,即有f(0)=−12,故A正确;
由f12=0,可得f(1)=2f12+12=12,
f(1−1)=f(1)+f(−1)+12,即−12=12+f(−1)+12,可得f(−1)=−32,故B错误;
令y=−x,则f(x−x)=f(x)+f(−x)+12=−12,即f(x)+12+f(−x)+12=0,
则函数f(x)+12为奇函数,故D正确;
令x=12,y=−12,可得f(0)=f12+f−12+12=f−12+12=−12即f−12=−1,
当x>12时,f(x)>0,即x−12>0,fx−12=f(x)+f−12+12=f(x)−12>−12,
设x1
则f(x)在R上递增,故C正确.
故选:ACD.
第二部分(非选择题 共92分)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.函数f(x)=ax−3+2x(a>0, a≠1)的图象恒过的定点为 .
【答案】3,7
【详解】令x−3=0,解得x=3,且f(3)=7,
所以函数f(x)的图象恒过的定点为3,7.
故答案为:3,7.
13.已知2x=24y=3,则3y−xxy的值为 .
【答案】−1
【详解】∵2x=24y=3,
∴x=lg23,y=lg243,
∴ 1x=lg32,1y=lg324,
∴ 3y−xxy=3x−1y=3lg32−lg324=lg38−lg324=lg313=−1.
故答案为:−1
14.已知实数a,b满足−1【答案】3−1
【详解】因为−10,b−1>0,
因为a+b=2,所以a+1+b−1=2,
由a+b=2,所以1a+1+3ab−1=1a+1+32−bb−1=1a+1+3b−1−3.
所以1a+1+3b−1−3=121a+1+3b−1a+1+b−1−3
=121+3+b−1a+1+3a+1b−1−3≥124+2b−1a+1⋅3a+1b−1−3=2+3−3=3−1,
当且仅当b−1a+1=3a+1b−1,即a=−2+3,b=4−3时,等号成立.
故答案为:3−1
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)计算
(1)21412−(−π)0+338−23−(1.5)−2
(2)lg327+lg25+lg4−7lg72+lg42
【详解】(1)21412−(−π)0+338−23−(1.5)−2=9412−1+278−23−32−2
=322×12−1+323×−23−232=32−1+32−2−49
=32−1+232−49=12
(2)lg327+lg25+lg4−7lg72+lg42=12lg333+lg25×4−2+12lg22
=32+2−2+12=2
16.(15分)
对于二次函数y=ax2+bx+ca≠0,若∃x0∈R,使得ax02+bx0+c=x0成立,则称x0为二次函数y=ax2+bx+ca≠0的不动点.
(1)求二次函数y=x2+2x−2的不动点;
(2)若二次函数y=2x2−2+ax+a−1有两个不相等的不动点x1,x2,且x1,x2>0,求x2x1+x1x2的最小值.
【详解】(1)令x2+2x−2=x,可得x2+x−2=0,
可得x−1x+2=0,解得x1=−2,x2=1,
所以二次函数y=x2+2x−2的不动点为−2和1.
(2)二次函数y=2x2−2+ax+a−1有两个不相等的不动点x1,x2,且x1,x2>0,
则方程2x2−2+ax+a−1=x有两个不相等的正实数根,
即方程2x2−3+ax+a−1=0有两个不相等的正实数根,
所以Δ=(3+a)2−8a−1>0,且x1+x2=3+a2,x1x2=a−12,
因为x1,x2>0,即a−12>0,解得a>1,可得a−1>0,
所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=x1+x22−2x1x2x1x2=3+a22−a+1a−12=a2+2a+132a−1
=(a−1)2+4a−1+162a−1=a−12+8a−1+2≥2a−12⋅8a−1+2=6,
当且仅当a−12=8a−1,即a=5时等号成立,
所以x1x2+x2x1的最小值为6.
17.(15分)
已知函数fx=lgax+2+lga4−x,0(1)求函数fx的单调减区间;
(2)若函数fx在区间0,3的最小值为−2,求实数a的值;
(3)证明fx的图象是轴对称图形.
【详解】(1)由x+2>04−x>0得−2
令t=x+24−x=−x−12+9,该函数在−2,1单调递增,
而ft=lgat,0所以fx的单调减区间为−2,1
(2)fx=lgax+24−x,x∈0,3,令t=x+24−x=−x−12+9
当0≤x≤3时,5≤t≤9,因为0所以fxmin=lga9=−2,即a−2=9,所以a=13,综上得a=13.
(3)证明:f2−x=lga4−x+lga2+x=fx
所以fx关于直线x=1对称.
18.(17分)
已知函数y=φx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是y=φa+x−b是奇函数,给定函数fx=x−6x+1.
(1)求函数fx图象的对称中心;
(2)用定义证明fx在区间0,+∞上的单调性;
(3)已知函数gx的图象关于点1,1对称,且当x∈0,1时,gx=x2−mx+m.若对任意x1∈0,2,总存在x2∈1,5,使得gx1=fx2,求实数m的取值范围.
【详解】(1)设函数fx图象的对称中心为a,b,则fa+x+fa−x−2b=0,
即x+a−6x+a+1+−x+a−6−x+a+1−2b=0,
整理得a−bx2=a−ba+12−6a+1,
于是a−b=a−ba+12−6a+1=0,解得a=b=−1,
所以fx的对称中心为−1,−1.
(2)任取x1,x2∈0,+∞,且x1
所以x1−x2<0且1+6x1+1x2+1>0,
所以fx1−fx2<0,即fx1
(3)由题意得:gx的值域是fx值域的子集,
由(2)知fx在1,5上单调递增,故fx的值域为−2,4,
于是原问题转化为gx在0,2上的值域A⊆−2,4,
①当m2≤0即m≤0时,gx在0,1上单调递增,
同时gx=x2−mx+m的图象恒过对称中心1,1,
可知gx在1,2上也单调递增,故gx在0,2上单调递增,
又g0=m,g2=2−g0=2−m,故A=m,2−m,
∵m,2−m⊆−2,4,∴m≥−22−m≤4,解得m≥−2,又m≤0,故此时−2≤m≤0;
②当0
故此时A=ming2,gm2,maxg0,g2−m2,
欲使A⊆−2,4,只需g2=2−g0=2−m≥−2gm2=−m24+m≥−2,且g0=m≤4g2−m2=2−gm2=m24−m+2≤4,
解不等式得:2−23≤m≤4,又0
由对称性知gx在0,2上单调递减,于是A=2−m,m,
∵2−m,m⊆−2,4,故2−m≥−2m≤4,解得m≤4,又m≥2,故此时2≤m≤4,
综上,实数m的取值范围是−2,4.
19.(17分)
已知函数fx的定义域为D,若存在常数k(k>0),使得对D内的任意x,都有fx=fkx,则称fx是“反比例对称函数”.设fx=lg2x·lg816x,gx=ax+16ax−m.
(1)判断函数fx=lg2x⋅lg816x是否为“反比例对称函数”,并说明理由;
(2)当a=1时,若函数fx与gx的图像恰有一个交点,求m的值;
(3)当a>1时,设ℎx=fx−gx,已知ℎx在0,+∞上有两个零点x1,x2,证明:x1x2<16.
【详解】(1)fx=lg2x·lg816x是“反比例对称函数”,理由如下:
由题可知fx=lg2x·lg816x=13lg2x·lg216x,
可知f16x=13lg216x·lg2x,
所以fx=f16x,
故fx是“反比例对称函数”.
(2)由题可知,x>0,此时gx=x+16x−m,
因为函数fx与gx的图像恰有一个交点,即fx−gx=0有一个解,
得13lg2x·lg216x−x−16x+m=0⇒m=x+16x−13lg2x·lg216x,
令Hx=x+16x−13lg2x·lg216x,得m=Hx仅有一个解,
显然H16x=16x+x−13lg216x·lg2x=Hx,
因为m=Hx,则有m=H16x,
要使m=Hx仅有一个解,
只需x=16x⇒x=4,或x=−4(舍)
所以m=H4=203.
(3)不妨先设a=1,
由题可知ℎx=13lg2x·lg216x−x−16x+m,
显然ℎ16x=16x+x−13lg216x·lg2x+m=ℎx,
已知ℎx有两个零点,x1,x2,则两个零点满足x1=16x2,
此时x1x2=16,
即,函数fx=lg2x·lg816x与函数gx=x+16x−m,的两个交点横坐标满足x1x2=16;
可知fx=lg2x·lg816x=43lg2x−13lg2x2利用复合函数单调性可知,
当x∈0,4时,fx单调递增;
x∈4,+∞时,fx单调递减;
由对勾函数性质可知gx=x+16x−m ,
在x∈0,4时,此时gx单调递减;
在x∈4,+∞时,此时x单调递増;
得两函数示意图
当a>1,此时gx=ax+16ax−m,
相当于函数gx=x+16x−m⇒gax=ax+16ax−m,
故所有的横坐标缩小为原来的1a倍;
故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小,故x1x2<16.
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