湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合,,则集合B的真子集个数为( )
A.5B.6C.7D.8
2．若,则“”是“”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3．已知，求( )
A.B.C.D.
4．下列说法错误的是( )
A.若随机变量、满足且，则
B.已知随机变量～，若,，则
C.若事件A、B相互独立，则
D.若A、B两组成对数据的相关系数分别为、，则A组数据的相关性更强
5．某市高二年级期中联考的数学成绩,若,,则( )
A.B.C.D.
6．已知,则( )
A.B.C.D.
7．将函数，的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线C.若曲线C始终为函数图象，则的最大值为( )
A.B.C.D.1
8．阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”.现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量( )
A.大于B.等于C.小于D.无法确定
二、多项选择题
9．已知函数的最小正周期为,则下列结论中正确的是( )
A.的图像关于点对称B.的图像关于直线对称
C.在上单调递增D.在区间上的值域为
10．若平面向量,,其中n,,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则与同向的单位向量为
C.若,且与的夹角为锐角,则实数m的取值范围为
D.若,则的最小值为4
11．已知函数，则下列结论正确的是( )
A.的单调递增区间是
B.的值域为R
C.
D.若，，，则
三、填空题
12．已知复数,,且,则_____________.
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是________.
14．已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数a的最小值是________.
四、解答题
15．已知中,,,,点D满足,点E在线段上移动（包含端点）.
(1)若,求实数的值;
(2)求的取值范围.
16．在中，a，b，c为角A，B，C对应的边，S为的面积.且.
（1）求A；
（2）若，求内切圆半径的最大值.
17．已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）曲线在处的切线方程为，证明：.
18．不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个,将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验,若两次均摸到彩球,则试验成功并终止试验,否则在袋子中添加一个相同的白球,然后进行下一次试验.
(1)若最多只能进行3次试验,设试验终止时进行的次数为随机变量X,求X的分布列与数学期望;
(2)若试验可以一直进行下去,第i次试验成功的概率记为,求证：.
19．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明时，；
（3）若对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可知,所以集合B的真子集个数为个.
故选：C.
2．答案：B
解析：当时,,
当时,即,即,
则有或,
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为，
所以，解得.
故选：A
4．答案：D
解析：对于A：因为且，所以，故A正确；
对于B：随机变量，则，，解得：，故B正确；
对于C：若事件A、B相互独立，则，
所以，故C正确；
对于D：若A、B两组成对数据的相关系数分别为、，
因为，所以B组数据的相关性更强，故D错误.
故选：D
5．答案：D
解析：因为,且,,
所以,
故选：D.
6．答案：A
解析：
,
,
,
故选：A.
7．答案：A
解析：令原函数为，即，求导得，
当时，，函数在上单调递增，，，
函数，的图象上点处切线斜率由1逐渐增大到2，记时的点为P，
令函数图象在P处的切线倾斜角为，则，
曲线C在除端点P外的任意一点处的切线垂直于x轴时，则曲线C上存在两点，其横坐标相同，
而曲线C始终为函数图象，因此，而，
则，
所以的最大值为.
故选：A.
8．答案：A
解析：设天平左臂长为，右臂长为，且，
，，
，，
故选：A.
9．答案：BCD
解析：,由于最小正周期为,故,故,
对于A, ,故的图像关于点对称,A错误,
对于B,,的图像关于直线对称,故B正确,
对于C,当时,,故在上单调递增,C正确,
对于D,时,,故,故,D正确,
故选：BCD.
10．答案：BCD
解析：对于A,,则,解得,
则,,假设存在实数使得,则,方程无解,
则不存在,使,即,不共线,A错误;
对于B,,则,解得,即,,
,则与同向的单位向量为,B正确;
对于C,当时,,又与的夹角为锐角,
则,解得,且,即,C正确;
对于D,由,得,即,
则,
当且仅当,即,时取等号,D正确.
故选：BCD.
11．答案：BD
解析：的定义域为，
在定义域上恒成立，
所以的单调递增区间为，故A错误；
当x趋近于0时，趋于，
当x趋近于1，且在1的左侧时，趋于，
所以的值域为R，故B正确；
，
所以，
又，
所以，故C错误；
，
因为，所以，又，
所以，即，故D正确.
故选：BD.
12．答案：-1或3
解析：复数,,,
可得,,
则,,
整理得,,即
因为,所以,且,,
又因,故,解得,或.
故答案为：-1或3.
13．答案：/
解析：如图：
过C作于D.
因为，所以.
设，则
设，则
若，则；若，则；
当时，
（当且仅当即时取“”）.
所以
故答案为：
14．答案：
解析：令，则，所以，
令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故当时，取得最小值，
故当，即时，函数的最小值恰好为0，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以a的最小值为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1),
故,,则;
(2)设,,
则,
,
故
,
由,则.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，
所以，
由正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）设内切圆的半径为r，
则，
所以，
又，所以，
则，
由，得，
当且仅当时取等号，
所以，
即内切圆半径的最大值为.
17．答案：（1）极大值为，函数的极小值为；
（2）见解析
解析：（1），
令，得或，
所以函数的极大值为，函数的极小值为；
（2）由（1）可知，，且，
所以曲线在处的切线方程为，即，
要证明，即证明
设，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，，
所以，即，
所以，命题得证.
18．答案：(1)分布列见解析,数学期望为;
(2)证明见解析
解析：(1)X的可能值有1,2,3,
;
;
.
所以随机变量X的分布列为
.
(2)证明：因为,
,,,
所以
,,
经检验也满足上式,
所以.
19．答案：（1）增区间为，减区间为；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1），
当时，；当时，，
的增区间为，减区间为.
（2）令，，
当时，；当时，，
当时，，即，
原不等式等价于，
为上的减函数，，
只需证明即，
令，
当时，，当时，，
原不等式成立.
（3）当时，由（2）知又，
，
原不等式在上恒成立.
当时，令.
，
在内必有零点，设为，则，，
，
，而，
综上所述实数m的取值范围是.
x
2
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
X
1
2
3
P