湖北省华大新高考联盟2025届高三上学期11月期中联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖北省华大新高考联盟2025届高三上学期11月期中联考数学试卷（Word版附答案），共16页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知抛物线，若函数，则的解集为等内容，欢迎下载使用。
数学
命题：华中师范大学考试研究院
本试题卷共4页，共19题。满分150分，考试用时120分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。
2.选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。
3.非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。
4.考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A.1B.3C.7D.15
2.已知（其中为虚数单位）是关于的方程的一个根，则在复平面内，所对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知向量，，若，则（ ）
A.2B.3C.D.
4.小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（ ）
A.144B.120C.84D.116
5.已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，第一象限的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为点，若，且点在直线上，则直线的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.
6.已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值可能为（ ）
A.B.1C.3D.5
7.若函数，则的解集为（ ）
A.B.C.D.
8.已知正方体的表面积与体积之比为6，若，，则四面体的体积的最大值为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列四棱锥的所有棱长都相等，，，，，是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则直线不与平面垂直的是（ ）
A.B.
C.D.
10.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则（ ）
A.的最小正周期为
B.
C.将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则在上的值域为
D.若函数，则在上有6个零点
11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，则（ ）
A.若，则
B.若过右焦点，且，，则椭圆的离心率为
C.若过右焦点.且，，则椭圆的离心率为
D.若，，且椭圆上存在一点，使得，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分、共15分。
12.定义：已知平面向量，表示夹角为的两个单位向量，为平面上的一个定点，为平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则______.
13.将一组嵌套模型一一拆分之后所得的图形如下所示，若图中每个小正方体的外接球的表面积为，则以此类推，第10个图形的体积为______.
14.某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知不与轴垂直且过的直线与双曲线交于，两点，若，，且，求证：.
16.（15分）
某公司有意在小明、小红、小强、小真这4人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试且采用积分制，其中小明和小红通过初试的概率均为，小强和小真通过初试的概率均为，小明和小红通过复试的概率均为，小强和小真通过复试的概率均为，通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，本次面试满分为10分，且初试未通过者不能参加复试.
（1）若从这4人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率；
（2）若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为，求的分布列以及数学期望.
17.（15分）
已知圆柱如图所示，其中正方形为轴截面，点，为圆上异于，且同侧的点，且，点为线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面与平面夹角的正切值为，求的值.
18.（17分）
已知函数，的导函数为，且.
（1）讨论的单调性；
（2）若为的极大值点，求实数的取值范围；
（3）若为锐角，比较和的大小关系，并说明理由.
19.（17分）已知有序数组，，分别为：，：，：，若它们之间满足：①；②；则称为的双覆盖数组.为的单覆盖数组.
（1）有序数组，分别为：8，5，4，，：，，，2，若为的双覆盖数组，求，，，的值.
（2）已知为的单覆盖数组，其中又可记为.
（i）判断满足条件的的个数为奇数个还是偶数个，并给出说明过程.
（ii）判断是否能成为的单覆盖数组.若是，写出所有满足条件的双覆盖数组；若不是，说明理由.
机密★启用前（新高考卷）
华大新高考联盟2025届高三11月教学质量测评
数学参考答案和评分标准
一、选择题
1.【答案】B
【命题立意】本题考查集合的运算、集合间的关系、不等式的解法，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
【解析】依题意，，故，则有3个真子集，故选B.
2.【答案】A
【命题立意】本题考查复数的运算、复数的几何意义，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】方法一 依题意，，
故解得
则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.
方法二 易知方程的解为，则，即解得则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.
3.【答案】D
【命题立意】本题考查平面向量的基本概念、平面向量的坐标运算、平面向量的数量积及其应用，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
【解析】依题意，，故，解得，故，故选D.
4.【答案】B
【命题立意】本题考查排列组合，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.
【解析】若选的数字只有一个1，此时有两个偶数，则不同的排列方法有种；
若选的数字有两个1，则不同的排列方法有种.
故共有种不同的设置方法，故选B.
5.【答案】C
【命题立意】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】依题意，得，设，则，而，且，故，则，解得，故直线的倾斜角为，故选C.
6.【答案】B
【命题立意】本题考查余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】依题意，得，故，则，
因为为锐角，所以.
依题意，，而
故，故，
则，故选B.
7.【答案】A
【命题立意】本题考查函数的单调性与对称性，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】依题意，，易知在上单调递减，且，故的图象关于中心对称，
则为奇函数且单调递减，
故
，故选A.
8.【答案】C
【命题立意】本题考查空间线面的位置关系，考查数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
【解析】依题意，，解得.如图所示，过点作，过点作，，且与交于点，设，，
则，，，
，
故，当且仅当时，取到最大值，故选C.
二、选择题
9.【答案】BCD
【命题立意】本题考查空间线面的位置关系，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】B中直线平面；C、D中与不垂直，故直线平面不成立.故选BCD.
10.【答案】ACD
【命题立意】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】依题意，，故A正确；
，故，，记，则，
故，则①.
而②，联立①②可得，故B错误；
，故当时，，，
故，C正确；
，在直角坐标系中分别作出，的图象如图所示，观察可知，它们在上有6个交点，即在上有6个零点，故D正确.故选ACD.
11.【答案】ACD
【命题立意】本题考查椭圆的方程、椭圆的性质、直线与椭圆的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】若，则，故A正确；
设，则，，，
在中，，解得，
在中，，则，故B错误；
设，则，又因为，所以，
由椭圆的定义知，得.
又，即点为短轴端点，
故在中，，
在中，，
解得，故C正确；
设，，则，则，
因为点，，均在椭圆上，故，，，
因为，故，故，
联立故，
显然，，，
故，解得，故正确.
故选ACD.
三、填空题
12.【答案】.
【命题立意】本题考查向量的数量积及其应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.
【解析】依题意，，则.
13.【答案】2648.
【命题立意】本题考查数列的通项公式，考查数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
【解析】设小正方形的边长为，则，解得.故第10个图形的体积为2648.
14.【答案】.
【命题立意】本题考查概率的基本公式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.
【解析】记“一号列车准点到站”为事件，“二号列车准点到站”为事件，则，，
，故，
则，则，
故，
而，即，故，
则.
四、解答题
15.【命题立意】本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】（1）依题意，
解得，故双曲线的方程为.
（2）依题意，得，设直线的方程为，，，
联立整理得，
因此当时，，，，
则，即
故直线：，
令，得，则，
故，
故.
16.【命题立意】本题考查相互独立事件的概率、全概率公式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.
【解析】（1）记选出小明、小红参加面试为事件，选出小明、小红或小强、小真各一人参加面试为事件，选出小强、小真参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于16分为事件，
则，，，
（2）的可能取值为0，6，10，12，16，20，
故，，
，，
，.
故的分布列为：
则.
17.【命题立意】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】（1）因为，故，
而平面，平面，故平面.
取线段的中点，连接，，
则，，故，
故四边形为平行四边形，则.
而平面，平面，故平面.
而，平面，平面，
故平面平面.
（2）如图，连接，因为是圆的直径，所以，过点作圆柱的母线，则平面，所以，，互相垂直，以为原点，，，的方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，，，则，则，，，
所以，.
设为平面的法向量，
令，解得所以为平面的一个法向量.
易知为平面的一个法向量.
因为平面与平面夹角的正切值为，故夹角的余弦值为，
所以，化简得，
而，解得（舍去），则.
18.【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】（1）依题意，有，
当时，，在上单调递增；
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）依题意，，
当时，易知，由（1）可知，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，不符合题意，舍去；
当时，，且，
由（1）可知，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以是函数的极小值点，不符合题意；
当时，，，，在上单调递增，故无极值点，不符合题意；
当时，，且；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，是的极大值点，符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
（3）结论：.
要证，
即证，
即证，
即证，，
因为，，
即证当时，.
即证当时，.
令，由（2）可知，当时，，
故，则，
令，则，
所以在上单调递增，故，即，
两式相加可得，，
即.
19.【解析】（1）由，可得
则
（2）（i）依题意，设为的双覆盖数组，
构造数组：；
记，
所以当时，，，
且.
因为，
所以也是的双覆盖数组，
一方面，因为，，
所以.
另一方面，假设，因为，所以，
所以，与矛盾，所以，
故满足条件的的个数为偶数个.
（ii）假设是的双覆盖数组.
由题意得，，
相加得，即，
当时，，与矛盾，
故不能成为的单覆盖数组.
当时，能成为的单覆盖数组.
当时，，又因为，，
所以有两种可能：.
故有四种情况：，，，.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
D
B
C
B
A
C
BCD
ACD
ACD
0
6
10
12
16
20