安徽省五校联考2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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命题学校：怀远一中 考试时间：2024年11月15日
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡上项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集与交集的定义，可得答案.
【详解】由题意可得，.
故选：C.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的运算律和坐标表示建立关于x的方程，解之即可求解.
【详解】由，得，即，
又，
所以，即，
解得.
故选：D
3. 阅读下段文字：已知“为无理数，若为有理数，则存在无理数，，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
A. 是有理数B. 存在无理数，，使得为有理数
C. 是无理数D. 对任意无理数，，都有为无理数
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断选项.
【详解】这段文字中，没有证明是有理数的条件，
也没有证明是无理数的条件，故AC错误；
这段文字，都说明了结论“存在无理数，使得为有理数”，
因此这段文字可以证明此结论，故B正确；
这段文字中只提及存在无理数，不涉及对任意无理数都成立的问题，故D错误.
故选：B
4. 由，可求得的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式以及二倍角的正弦公式化简可得出关于的二次方程，结合可得出的值.
【详解】因为，
又因为，则，
因为，，
则，
所以，，解得，
故选：B.
5. 已知且，函数，若存在，，使，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性得到不等式，解得即可.
【详解】当时单调递增，也单调递增，
要使存在，，使，只需，即，不等式无解；
当时单调递减，也单调递减，
要使存在，，使，只需，
，所以，解得，
即的取值范围是.
故选：A
6. 已知复数是关于的方程的一个根，若复数满足，复数在复平面内对应的点的集合为图形，则得周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，进而确定图形并求其周长.
【详解】由复数是关于的方程的一个根，得是该方程的另一根，
则，解得，
由，得，因此图形是以点为圆心，4为半径的圆，
所以得周长为.
故选：D
7. 逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角分别为，其中，则此山的高度为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据锐角三角函数可得，进而根据余弦定理即可求解.
【详解】解：如图，设点在地面上的正投影为点，

则，,
设山高，则，
在中，，
由余弦定理可得：，
整理得，
∴．
故选：D．
8. 若是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案.
【详解】根据题意，已知是奇函数，
当时，一定不是奇函数，故，
则有，且，变形可得，所以的根为，解可得，故，
又因为为奇函数，则有，即，即，所以，即，故.所以.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部为B. 复平面内对应的点位于第二象限
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据复数的概念判断A，由复数的几何意义判断B，通过复数的运算判断CD．
【详解】的虚部是，A错；
，
对应的点是在轴上，B错；
，所以，C正确；
，所以，D正确．
故选：CD．
10. 从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型）：
记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（ ）
A. 体力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的
B. 第462天时，智力曲线处于上升期、情绪曲线处于下降期
C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点
D. 存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点
【答案】BC
【解析】
【分析】观察图象，结合正弦函数周期判断．
【详解】由图象，体力的最小正周期是三个曲线中最小的，A错；
由图象，智力周期为33天，情绪周期为28天，相当于的起点，，相当于的中间点，B正确；
体力周期是23，只要是的公倍数都是它们的公共点横坐标，C正确；
智力曲线处于最高点的天数为，情绪曲线处于最高点的天数为，体力曲线处于最高点的天数为，只有情绪曲线是整数天处于最高点，另外两个曲线处于最高点的天数都不是整数，同样最低点也是如此，因此D错．
故选：BC．
11. 已知函数，，，，且，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，可得，利用导数结合函数图象推理判断BD；构造函数，利用导数结合函数图象推理判断AC.
【详解】依题意，，由，得，
则，
显然，有，而，
当时，在上递增；当时，在上递减，
函数，图象如图所示，
，得，BD正确；
令，则，
当时，在上递减；当时，在上递减；
因此当时，单调递减，当时，，
即，又，则，即，A正确；
而，则，即，C错误.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：由函数解析式的特征得出是解决本题的关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 平面四边形中，，，，，则______.
【答案】58
【解析】
【分析】由，两式相减得出．
【详解】,
又,，
所以，
所以，
故答案为：58．
13. 设函数，的图象关于直线和均对称，则的值可以是______．（写出两个值即可，少写或写错均不得分，如果多写按前两个值计分）
【答案】（答案不唯一，中的任意两个）
【解析】
【分析】利用正弦函数的性质可得，再利用和角的正弦可得，进而求出其所有值即得答案.
【详解】函数的周期，依题意，，即，
由的图象关于直线，得，
因此
，的值是集合中元素，可以取.
故答案为：，（答案不唯一， 中的任意两个）
14. 定义在0,+∞上的函数满足，当时，，若在区间0,m内有恰4个极大值点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得当时，利用导数讨论的单调性，求出极大值点，结合即可求解.
【详解】,
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
则，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在内有且仅有一个极大值点，
即.
因为在内有4个极大值点，则，
即的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据时的，归纳出时的，再利用导数研究的性质即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，中点，与交于点．
（1）令，，用，表示；
（2）求线段的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的线性运算求解；
（2）利用三点共线，三点共线，求得，同时证明是等边三角形，然后把平方可得．
【小问1详解】
∵，分别为，的中点，
∴；
【小问2详解】
设，
∵，分别为，的中点，
所以，
因为三点共线，三点共线，
所以，解得，
即，
由已知与平行且相等，因此是平行四边形，
所以，是等边三角形，
所以．
16. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求在上的值域．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出解析式.
（2）求出指定区间对应的相位范围，再结合正弦函数性质求出值域.
【小问1详解】
观察图象知，，，即，又，且0在的递增区间内，
则，，由，得，
解得，又且，解得，因此，
所以函数的解析式是.
【小问2详解】
由（1）知，，当时，，
而正弦函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，，
所以在上的值域为.
17. 已知函数，．
（1）函数在处与处切线分别为，，且直线，之间的距离为，求证；
（2）若为空集，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析．
（2），
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求得两切线方程，由平行线间距离公式求得距离，然后用分析法证明；
（2）转化为方程除0以外无其它实数解，先讨论和的情形，然后在时引入函数，求出，再对导函数求导，然后分和两类，结合零点存在定理说明是否有0以外的零点，从而得出结论．
【小问1详解】
由已知，，
，，，则，
方程为，即，
方程为，即，
则，
要证，即证，即证，即，也即证，
而，
所以成立．
【小问2详解】
由题意无实解，即无实数解，即除0以外无其它实数解，
时，方程为有无数解，不合题意，
时，，而，且时，，因此方程除0以外无其它实数解，满足题意，
时，方程化为，
设，则，
记，则，
当，即时，，是减函数，即是减函数，
又，所以时，，递增，时，，递减，
所以，时，，
所以方程除0以外无其它实数解，满足题意，
当时，有无数解，设锐角是它解，则，
时，，递增，
又，则时，则，即，
所以递增，而，所以，又，
所以在上有一个零点，即有不是0的根，不合题意，
综上，取值范围是.
18. 在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，．若，且.
（1）求；
（2）求的最大值；
（3）求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正、余弦定理可得，结合同角的平方关系计算即可求解；
（2）由（1）得，进而，结合基本不等式计算即可求解；
（3）由二次函数的最小值可得，进而转化为①或②，结合基本不等式与对勾函数的性质计算即可求解.
【小问1详解】
由题意知，，，
则，即，
又，所以，由，
得，由正弦定理得，
由，得，即，又，
所以，由，解得.
【小问2详解】
由（1）知，得，
所以，即，又为锐角，
所以，得，
当且仅当时，等号成立.
解得，所以，
即的最大值为；
【小问3详解】
令
，
当时，
，
由，得，
进而①或②，
因为，所以，
由①得，即，
又，
当且仅当即时，等号成立，
所以；
由②得，即，
由对勾函数的性质知，所以.
综上，实数的取值范围为.
19. 已知函数定义域为，．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“点”．
（1）求函数在定义域上的最大“点”；
（2）若函数在上不存在“点”，求的取值范围；
（3）设，且，，证明：在上的“点”个数不小于．
【答案】（1）0； （2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再求出其最大值点即可得解.
（2）根据给定条件，将问题等价转化为在上恒成立，再利用导数分类探讨求解.
（3）根据给定的定义，按“点”个数为0、为1、不小于2分类，并结合累加法思想论证即可.
【小问1详解】
函数的定义域为R，
则，由，得，
令，解得；令，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
即对，当时，都有，
所以函数在定义域上的最大“”点为0.
【小问2详解】
由函数0,1上不存在"点"，得在上恒成立，
求导得，令，
求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递减，
则，
因此函数在上单调递减，，符合要求；
当时，令，则，
①当，即时，，即在上单调递增，
则，函数在上单调递增，，不符合要求；
②当，即时，恒成立，函数在上单调递减，
则，函数在上单调递减，此时，符合要求；
③当，即时，若，若，
函数在上单调递减，在上单调递增，而，
若，则在上恒成立，在上单调递减，此时，
若，则存在，使得，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则要恒成立，只需，解得，
由，得，
由，得，
即当时，符合要求，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
若在上的"点"个数为0，则，符合要求；
若在上的"点"个数为，
令在上的"点"分别为，
其中，
若，则若，由，
则，即，
若，由题意，
于是，即，又，则，符合要求；
若，则，
由，则，
若，即，则，若，
依题意，，且，
又，因此，
即，，
即有，
即，
由，得，又，因此，
即在上"点"个数不小于，
所以在上的"点"个数不小于.
【点睛】关键点点睛：本题第2问，根据题意将问题等价转化为在上恒成立是关键.