北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程教案

这是一份北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程教案，共43页。

第二章　一元二次方程1　认识一元二次方程第1课时　一元二次方程的定义1．理解和掌握一元二次方程的定义，会判断一个方程是不是一元二次方程．2．了解一元二次方程的一般形式、二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数．3．能根据具体情境，列出一元二次方程．重点理解和掌握一元二次方程的相关概念．难点能根据具体情境，列出一元二次方程．一、情境导入课件出示教材第31页图2－1，提出问题：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？教师：你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？让学生指出对应的三部分，引导学生分析所提问题满足的条件，列出相应的方程．二、探究新知1．教师：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？学生独立完成，找出等式．教师：观察等式102＋112＋122＝132＋142，你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？学生尝试解决，在难以找到的情况下，归结为方程去解决．2．课件出示教材第31页图2－2，提出问题：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m．那么梯子的底端滑动多少米？引导学生设未知数，列出适合条件的方程．3．教师：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8－2x)(5－2x)＝18，x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2，(x＋6)2＋72＝102.教师：这些方程有哪些共同特点？类比一元一次方程的定义，你能总结出一元二次方程的定义吗？学生小组讨论，派代表陈述观点，教师进一步讲解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次项的次数为2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项，a为二次项的系数，b为一次项的系数．三、举例分析例1　把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．例2　从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．学生独立完成，教师点评．四、练习巩固教材第32页“随堂练习”第1题．五、小结1．通过本节课的学习，你学会了什么？还有哪些困惑？2．一元二次方程的定义是什么？六、课外作业教材第32页习题2.1第1，2题．本节课通过丰富的问题情境引入一元二次方程的定义，学习中注意深刻理解定义的内涵：一元二次方程的组成；一元二次方程的成立条件等．在教学中，让学生经历提出问题到解决问题的过程，体会其中的数学思想方法．教学中有意识地提高学生对实际问题和方法的理解，鼓励学生从多角度思考问题，这有利于提高学生的思维能力和解决问题的能力．第2课时　用估算法求一元二次方程的近似解 1．能根据实际问题求一元二次方程的近似解．2．经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力．3．进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，体验学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识．重点经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解．难点探索一元二次方程的近似解．一、情境导入教师：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：(8－2x)(5－2x)＝18，即2x2－13x＋11＝0；(x＋6)2＋72＝102，即x2＋12x－15＝0.上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中x的值吗？这节课我们一起来研究一元二次方程的解．二、探究新知教师：对于前一节课第一个问题，你能设法估计四周末铺地毯部分的宽度x(m)吗？课件出示一元二次方程(8－2x)(5－2x)＝18，提出问题：(1)x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流．(2)根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？(3)完成下表：　　(4)你知道所求的宽度x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流．分析：因为x表示的是所求的宽度，学生能意识到x不可能小于0；学生大多数能够从实际情况出发，意识到当x大于4或当x大于2.5时，将分别使地毯的长或宽小于0，不符合实际情况；学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现，当x＝1时，代数式2x2－13x＋11的值等于0；所求的宽度为1 m.教师：在前一节课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x＋6)2＋72＝102，把这个方程化为一般形式为x2＋12x－15＝0.引导学生思考以下问题：(1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？(2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？(4)x的整数部分是几？十分位是几？学生思考后指名回答，教师进一步讲解：在此题中，梯子滑动的距离x＞0是显而易见的，在下图中，求得BC＝6 m，而BD＜10 m，因此CD＜4 m．所以x的取值范围是0＜x＜4.学生完成下面的表格：　　教师：没能在这些整数取值中找到方程的解，但却通过表格分析发现，当x的取值是1和2时，所对应代数式的值是－2和13，而且随着x的取值越大，相应代数式的值也越大．因此若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和2之间．从而确定x的整数部分是1.教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解．学生可能有以下的做法．甲同学的做法：　　所以1＜x＜1.5.进一步计算：　　所以1.1＜x＜1.2.因此x的整数部分是1，十分位是1.乙同学的做法： 　　所以1.1＜x＜1.2.因此x的整数部分是1，十分位是1.注意：对于这两种做法，教师要及时地给与肯定和鼓励，并可将二者加以比较．教师：在解决某些实际问题的时候，可以根据实际情况确定出方程的解的大致范围，进而估算出一元二次方程的近似根．一般采用“夹逼法”．采用“夹逼法”求近似值的一般步骤：(1)将方程变为一元二次方程的一般形式；(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围；(3)根据方程的解的大致范围，在这个范围内取一个整数值，然后把这个值代入方程左边的代数式进行验证，看是否能使方程左边代数式的值为0，如果为0，则这个数是方程的解；如果不为0，则再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数，这个数就是方程的解的整数部分；(4)保留整数部分不变，小数部分可参照整数部分的方法进行，以此类推可得出该方程更准确的近似根．三、练习巩固五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和．你能求出这五个整数分别是多少吗？四、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．利用“夹逼法”求近似解的一般步骤是什么？五、课外作业教材第35页习题2.2第1～3题．本节课通过日常生活中丰富有趣的问题情境让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型，体会“夹逼”数学思想在现实生活中随处可见，让学生真正经历“夹逼”数学思想解题的过程，从而更好地理解“夹逼”思想解一元二次方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．由学生探索交流，分析此种方法的优缺点，从而概括出这种方法的实质及解题步骤，这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念．学生亲身经历了知识的形成过程，不但改变了以往学生死记硬背的学习方式，而且在教学活动中培养了学生自主探索、合作交流等良好的学习习惯．本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，在此过程中，教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学．2　用配方法求解一元二次方程第1课时　用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 1．理解配方法的意义，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程．2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．让学生在独立思考与合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．重点用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程．难点了解并掌握用配方求解一元二次方程．一、复习导入1．如果一个数的平方等于4，则这个数是________，若一个数的平方等于7，则这个数是________．2．一个正数有几个平方根？它们具有怎样的关系？3．用字母表示完全平方公式．二、探究新知1．课件出示问题：(1)你能解哪些特殊的一元二次方程？(2)你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？x2＝5；　2x2＋3＝5；　x2＋2x＋1＝5；(x＋6)2＋72＝102.(3)上节课，我们研究梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2＋12x－15＝0，你能仿照上面几个方程的解题过程，求出x的精确解吗？你认为用这种方法解这个方程困难在哪里？(合作交流)学生独立完成，讨论交流后发现第(3)问等号的左端不是完全平方式，不能直接化成(x＋m)2＝n (n≥0)的形式，教师引导学生思考如何解决这样的方程问题．2．课件出示：填上适当的数，使下列等式成立：x2＋12x＋________＝(x＋6)2；x2－6x＋________＝(x－3)2；x2＋8x＋________＝(x＋________)2；x2－4x＋________＝(x－________)2.学生思考后指名回答．教师：上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2＋ax的式子如何配成完全平方式？学生小组讨论交流，引导学生发现：要把形如x2＋ax的式子配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方，即加上eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq \s\up12(2).三、举例分析例1　解方程：x2＋8x－9＝0.(师生共同解决)解：可以把常数项移到方程的右边，得x2＋8x＝9.两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得x2＋8x＋42＝9＋42，即(x＋4)2＝25.两边开平方，得x＋4＝±5，即 x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.例2　解决梯子底部滑动问题：x2＋12x－15＝0.(仿照例1，学生独立解决)解：移项，得x2＋12x＝15.两边同时加上62，得x2＋12x＋62＝15＋36，即(x＋6)2＝51.两边开平方，得x＋6＝±eq \r(51).所以x1＝eq \r(51)－6，x2＝－eq \r(51)－6，但因为x表示梯子底部滑动的距离，所以x2＝－eq \r(51)－6 不合题意舍去．所以梯子底部滑动了(eq \r(51)－6)米．教师：用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？小组合作交流，引导学生归纳：我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．四、练习巩固解下列方程：(1)x2－10x＋25＝7；(2)x2－14x＝8；(3)x2＋3x＝1；(4)x2＋2x＋2＝8x＋4.五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．什么叫配方法？3．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是什么？(1)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(2)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x＋h)2＝k(k>0)的形式；(3)用直接开平方法解变形后的方程．六、课外作业教材第37～38页习题2.3第1～3题．本节课在教学过程中，采用了由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比、合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究并发现结论，教师作为学生学习的引导者、合作者、促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动．同时，我认识到教师不仅要教给学生知识，还要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习．第2课时　用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程1．经历配方法求解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能．2．经历用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想．3．能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力．重点会用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．难点能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．一、复习导入1．用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么？2．填上适当的数，使下列等式成立：(1)x2＋2x＋________＝(x＋________)2；(2)x2－4x＋________＝(x－________)2；(3)x2＋________＋36＝(x＋________)2；(4)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；(5) x2－x＋________＝(x－________)2.3．比较下列两个一元二次方程的联系与区别．(1)x2＋6x＋8＝0；(2)3x2＋18x＋24＝0.教师：同学们可以发现方程(2)的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式，那么如何解这类方程呢？这节课我们一起来探究．二、探究新知课件出示：解方程：3x2＋8x－3＝0.教师：如何把这个方程转化为符合上节课解题的基本形式？学生：根据等式的性质，将方程两边同除以3就可以把这个方程化为二次项系数为1的一元二次方程．学生尝试解这个方程，教师板书规范解答过程．解：方程两边都除以3，得x2＋eq \f(8,3)x－1＝0.移项，得x2＋eq \f(8,3)x＝1，配方，得x2＋eq \f(8,3)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq \s\up12(2)＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq \s\up12(2)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(25,9).两边开平方，得x＋eq \f(4,3)＝±eq \f(5,3)，所以x1＝eq \f(1,3)，x2＝－3.三、举例分析例　一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h＝15t－5t2，小球何时能达到10 m高？解：根据题意得15t－5t2＝10.方程两边都除以－5，得t2－3t＝－2，配方，得t2－3t＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4).两边开平方，得t－eq \f(3,2)＝±eq \f(1,2).所以t1＝2，t2＝1.四、练习巩固1．教材第39页“随堂练习”．2．印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数共多少，两队猴子在一起．”大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题．解：设猴子的总数是x，由题意可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)x))eq \s\up12(2)＋12＝x.解得x1＝16，x2＝48.答：这群猴子可能是16只，也可能是48只．五、小结1．用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？2．利用一元二次方程解决实际问题的思路是什么？六、课外作业1．教材第40页习题2.4第1，3题．2．一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p(毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系：p＝0.01x2＋0.05x＋107.如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱，那么她的年龄大概是多少？3．用配方法探究方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的解法．本节课作为用配方法求解一元二次方程的第二节课，主要是以习题训练为主．所以我依照书上的例题为重点展示了用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤；将书上的“做一做”转化成一个例题，让学生体会利用一元二次方程解决实际问题的意义；另外在作业中配套了一道血压方面的数学问题，学生可以体会到一元二次方程与我们的现实生活息息相关．3　用公式法求解一元二次方程第1课时　用公式法求解一元二次方程 1．能正确地推导出一元二次方程的求根公式，会用公式法解一元二次方程，能利用一元二次方程解决有关的实际问题．2．理解判别式的概念，会用判别式判断方程的根的情况．3．体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，体会从一般到特殊的思维方式，养成严谨、认真的科学态度和学风．重点用公式法解一元二次方程．难点用配方法推导求根公式的过程．一、复习导入用配方法解下列方程：(1)2x2＋3＝7x；(2)3x2＋2x＋1＝0.学生独立完成，指名板演．(1)2x2＋3＝7x.解：将方程化成一般形式2x2－7x＋3＝0.两边都除以一次项系数2，得x2－eq \f(7,2)x＋eq \f(3,2)＝0.配方，得x2－eq \f(7,2)x＋(eq \f(7,4))2－eq \f(49,16)＋eq \f(3,2)＝0，即(x－eq \f(7,4))2－eq \f(25,16)＝0.移项，得(x－eq \f(7,4))2＝eq \f(25,16).两边开平方，得x－eq \f(7,4)＝±eq \f(5,4)，即x＝eq \f(7,4)±eq \f(5,4).所以x1＝3，x2＝eq \f(1,2).(2)3x2＋2x＋1＝0.解：两边都除以一次项系数3，得x2＋eq \f(2,3)x＋eq \f(1,3)＝0.配方，得x2＋eq \f(2,3)x＋(eq \f(1,3))2－eq \f(1,9)＋eq \f(1,3)＝0，即(x＋eq \f(1,3))2＋eq \f(2,9)＝0.移项，得(x＋eq \f(1,3))2＝－eq \f(2,9).因为－eq \f(2,9)<0，所以原方程无解．二、探究新知1．一元二次方程的求根公式课件出示：用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．学生独立完成，并针对自己在推导过程中出现的问题在小范围内自由研讨．最后由师生共同归纳、总结，得出一元二次方程的求根公式．解：两边都除以一次项系数a，得x2＋eq \f(b,a)x＋eq \f(c,a)＝0.教师：为什么可以两边都除以二次项系数a?学生：因为a≠0.配方，得x2＋eq \f(b,a)x＋(eq \f(b,2a))2－eq \f(b2,4a2)＋eq \f(c,a)＝0，即(x＋eq \f(b,2a))2－eq \f(b2－4ac,4a2)＝0.移项，得(x＋eq \f(b,2a))2＝eq \f(b2－4ac,4a2).教师：现在可以两边开平方吗？学生：不可以，因为不能保证eq \f(b2－4ac,4a2)≥0.教师：什么情况下可以两边开平方？学生讨论后回答：因为a≠0，所以4a2>0.要使eq \f(b2－4ac,4a2)≥0，只要 b2－4ac≥0即可．所以当b2－4ac≥0时，两边开平方，得 x＋eq \f(b,2a)＝±eq \r(\f(b2－4ac,4a2)).所以x＝－eq \f(b,2a)±eq \f(\r(b2－4ac),2a)，x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a).归纳：x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．2．一元二次方程的判别式教师：如果b2－4ac<0时，会出现什么问题？学生：方程无解．教师：如果b2－4ac＝0呢？学生：方程有两个相等的实数根．归纳：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，方程没有实数根．教师：由以上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．三、举例分析例1　解方程：(1)x2－7x－18＝0；(2)4x2＋1＝4x.引导学生根据以下步骤解方程：①确定a，b，c的值；②判断方程是否有根；③写出方程的根．例2　判断下列方程的根的情况：(1) 2x2＋3＝7x；(2)x2－7x＝20；(3)3x2＋2x＋1＝0；(4)9x2＋6x＋1＝0；(5)16x2＋8x＝3；(6) 2x2－9x＋8＝0.学生迅速演算或口算出b2－4ac，从而判断出根的情况．教师：第(3)题的判断，与第一环节中的第(2)题对比，哪种方法更简捷？教师：上述方程如果有解，请求出方程的解．学生独立完成，教师板书第(1)题．解方程：2x2＋3＝7x.先将方程化成一般形式，得2x2－7x＋3＝0.确定a，b，c的值　a＝2, b＝－7, c＝3.判断方程是否有根　∵b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝25>0，∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(7±\r(25),2×2)＝eq \f(7±5,4).写出方程的根　即x1＝3，x2＝eq \f(1,2).教师：与第一环节中的第(1)题对比，哪种解法更简捷？四、练习巩固教材第43页“随堂练习”第1～3题．五、小结1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？2．如何判断一元二次方程的根的情况？3．用公式法解方程应注意的问题是什么？4．你在解方程的过程中有哪些小技巧？六、课外作业1．教材第43页习题2.5第1～4题．2．一张桌子长4 m，宽2 m，台布的面积是桌面面积的2倍，铺在桌子上时，各边下垂的长度相同，求台布的长和宽．教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．本节课教师就根据学生的实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题．本节课不能仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力，帮助学生形成积极主动的求知态度．第2课时　用公式法解决一元二次方程的实际问题 1．会用公式法解决一元二次方程的实际问题．2．通过一元二次方程的建模过程，体会方程的根必须符合实际意义，增强应用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法．3．通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性．重点会用公式法解决一元二次方程的实际问题．难点能根据具体情境列出一元二次方程，体会方程的根必须符合实际意义．一、复习导入教师：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫．二、探究新知课件出示：在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品．在学生展示作品后，教师提出问题：(1)怎样知道你的设计是符合要求的？请说明理由？(2)以上哪些图形可以直接说明符合题目条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？引导学生重点分析图⑤，图⑥，图⑦.教师：如何设未知数？怎样列方程？学生独立思考，教师板书规范解题过程．图⑤的解答：解：设小路的宽为x m，由题意得(16－2x)(12－2x)＝16×12×eq \f(1,2).整理，得x2－14x＋24＝0.x2－14x＋49＝－24＋49， (x－7)2＝25. x1＝12，x2＝2.教师：你认为小路的宽为12 m和2 m都符合实际意义吗？图⑥的解答：解：设扇形的半径为x m，由题意得πx2＝16×12×eq \f(1,2)πx2＝96.x＝±eq \r(\f(96,π))≈±5.5.x1≈5.5，x2≈－5.5( 舍去)．指名板演图⑦的解题过程，教师点评．三、练习巩固在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？出示图②和图③提出问题：你认为哪一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？解：设金边的宽为x m，由题意得(90＋2x )(40＋2x) ×72%＝90 ×40.解得x1＝5，x2＝－70(舍去)．四、小结通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？五、课外作业教材第45页习题2.6第2～4题．本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题，以引导为主，层层深入，以问题串的形式指导学生懂得如何获得自己所需要的知识．在探究新知时，提出了这样的问题：在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？当学生将自己的设计方案展示在黑板上之后，接着提出问题：你的设计一定符合要求吗？怎样知道你的设计是符合要求的？以上图形哪些可以直接说明符合题目条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？从课堂上学生的活动来看，学生的热情、思维与探究并进.4　用因式分解法求解一元二次方程1．了解因式分解法的概念．2．会用因式分解法求解一元二次方程．3．通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想．重点用因式分解法求解一元二次方程．难点理解因式分解法求解一元二次方程的基本思想．一、复习导入1．用配方法求解一元二次方程的关键是什么？ 2．用公式法求解一元二次方程应先将方程化为什么形式？3．选择合适的方法解下列方程：(1)x2－6x＝7；　　(2)3x2＋8x－3＝0.二、探究新知1．课件出示：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？学生独自完成，教师巡视指导，选择不同解法的学生板演．学生A：设这个数为x，根据题意，可列方程x2＝3x，∴x2－3x＝0.∵a＝1，b＝－3，c＝0，∴ b2－4ac＝9.∴ x1＝0，x2＝3.∴这个数是0或3.学生B：设这个数为x，根据题意，可列方程x2＝3x，∴ x2－3x＝0.x2－3x＋(eq \f(3,2))2＝(eq \f(3,2))2，(x－eq \f(3,2)) 2＝eq \f(9,4)，∴ x－eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)或x－eq \f(3,2)＝－eq \f(3,2).∴ x1＝3，x2＝0.∴这个数是0或3.学生C：设这个数为x，根据题意，可列方程x2＝3x，∴x2－3x＝0.即x(x－3)＝0.∴x＝0或x－3＝0.∴x1＝0，x2＝3.∴这个数是0或3.学生D：设这个数为x，根据题意，可列方程x2＝3x，两边同时约去x，得∴x＝3，∴这个数是3.教师：同学们用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题？你认为哪种方法更合适？为什么？学生讨论交流后回答，教师点评，明确学生C的方法更合适，并进一步讲解：如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”．所以由x(x－3)＝0得到x＝0和x－3＝0时，中间应写上“或”字．我们再来看学生C解方程x2＝3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a·b＝0，则a＝0或b＝0，把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用因式分解法来解一元二次方程．三、举例分析例　解下列方程：(1)5x2＝4x；(2)x－2＝x(x－2)； (3)(x＋1)2－25＝0.分析：解方程(1)时，先把它化为一般形式，再用因式分解法求解方程．解：(1)原方程可变形为5x2－4x＝0，x(5x－4)＝0.x＝0或5x－4＝0.∴x1＝0，x2＝eq \f(4,5).分析：解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x－2)，所以把(x－2)看作整体，然后移项，再用因式分解法求解方程．解：(2)原方程可变形为 (x－2)－x(x－2)＝0，(x－2)(1－x)＝0.x－2＝0或1－x＝0.∴x1＝2 ，x2＝1.教师：解方程(2)时能否将原方程展开后再求解？学生：能，这样做会比较复杂，把(x－2)当作整体更简便．分析：解方程(3)时，因为右边是0，左边(x＋1)2－25可以把(x＋1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可因式分解．解：(3)原方程可变形为[(x＋1)＋5][(x＋1)－5]＝0，(x＋6)(x－4)＝0.x＋6＝0或x－4＝0.∴ x1＝－6，x2＝4.教师：这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知，一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主．教师：用因式分解法求解一元二次方程的思路是什么？步骤是什么？对于以上三道题你是否还有其他方法来解？四、练习巩固1．用因式分解法解下列方程：(1)(x＋2)(x－4)＝0；(2 )x2－4＝0； (3)4x(2x＋1)＝3(2x＋1)．2．一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数．五、小结1．用因式分解法求解一元二次方程的基本思路和关键是什么？2．在应用因式分解法时应注意什么问题？3．因式分解法体现了怎样的数学思想？六、课外作业教材第47～48页习题2.7第 1～3题．评价的目的是为了全面了解学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展．所以本节课在评价时注重关注学生能否积极主动地思考，能否清楚地表达自己的观点，及时发现学生的闪光点，给予积极肯定地表扬和鼓励，增强他们学习数学的兴趣和应用数学知识解决问题的意识，帮助学生形成积极主动的求知态度．本节课中应着眼于学生能力的发展，因此，其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学中应注意进一步渗透，才能更好地达到提高学生数学能力的目标．5　一元二次方程的根与系数的关系1．理解和掌握根与系数的关系，会利用根与系数的关系解决有关问题．2．在探究一元二次方程的根与系数的关系的过程中，培养学生的观察、思考、归纳概括能力．3．通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．重点理解和掌握一元二次方程的根与系数的关系．难点一元二次方程的根与系数关系的理解及应用．一、复习导入1．请说出解一元二次方程的四种解法(直接开方法、配方法、公式法、因式分解法)．2．解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，你发现每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？(1)x2－2x＝0；(2)x2＋3x－4＝0；(3)x2－5x＋6＝0.　　学生独立完成，教师巡视指导．二、探究新知1．探究一元二次方程的根与系数的关系课件出示：解出下列方程的根x1和x2，并计算x1＋x2和x1·x2的值.　　教师：观察表中x1＋x2与x1·x2的值，它们与一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？师生共同总结规律，教师板书．(学生的语言表达可能不是很到位，教师可以进行适当地引导和点拨，但不能代替学生表达)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1·x2＝eq \f(c,a).2．证明一元二次方程的根与系数的关系教师：刚才列举了部分方程发现两根之和、两根之积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程的根与系数都有这样的关系呢？学生先独立解决，再分组交流讨论发表看法．(教师板书)　证明：∵当Δ≥0时，由求根公式得x1＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)，∴x1＋x2＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac)－b－\r(b2－4ac),2a)＝－eq \f(b,a)，x1·x2＝eq \f(（－b）2－（b2－4ac）,4a2)＝eq \f(4ac,4a2)＝eq \f(c,a).三、举例分析例1　利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：(1)x2－7x＋1＝0；(2)x2＋14x－21＝0；(3)2x2＋x－3＝0；(4)x2－nx＋n－5＝0.解：(1)x1＋x2＝7，x1·x2＝1.(2)x1＋x2＝－14，x1·x2＝－21.(3)x1＋x2＝－eq \f(1,2)，x1·x2＝－eq \f(3,2).(4)x1＋x2＝n，x1·x2＝n－5.例2　已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值．解法一：因为关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(02－p×0＋q＝0，,（－3）2－p×（－3）＋q＝0.)) 解这个方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝－3，,q＝0.))所以p＝－3，q＝0.解法二：由x1＋x2＝p，x1·x2＝q，方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，可得0＋(－3)＝p，0×(－3)＝q.即得p＝－3，q＝0.四、练习巩固教材第50页“随堂练习”第1～3题． 五、小结1．通过这节课的学习，你有什么收获？2．一元二次方程的根与系数有什么关系？六、课外作业教材第51页习题2.8第1～4题．观察、归纳、证明是研究事物的科学方法．本节课在研究方程的根与系数的关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的方程，由此猜想一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系，最后对此猜想的正确性作出证明．这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值. 经历了本节课的教学，学生对一元二次方程的根与系数的关系的应用能基本掌握，但在寻求转化为两根之和与两根之积的过程中不要操之过急，例2可以在练习一定的习题后再给出来．在学法上采取自我探究和小组合作交流的学习方式，培养学生独立思考的能力以及与他人交流的意识，并应该坚持下去．6　应用一元二次方程第1课时　列一元二次方程解决几何与行程问题1．通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程．2．经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型．3．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．重点列一元二次方程解决实际问题．难点寻找实际问题中的等量关系．一、情境导入教师：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？课件出示教材第52页图2－7，提出问题：(1)在这个问题中，梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ (2)如果梯子的长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，这个距离是多少？学生分组讨论：怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？注意：涉及解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少．二、探究新知课件出示教材第52页例1.如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E外，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1 n mile)分析：此题难度较大，一定要给学生充分的时间去体会题意，分析题意，不能急于求成．在讲解过程中可逐步分解难点：①审清题意；②找准各条有关线段的长度关系；③建立方程模型，再求解．在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点：(1)要求DE的长，需要如何设未知数？(2)怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？(4)选定Rt△DEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即：速度等量：V军舰＝2×V补给船；时间等量：t军舰＝t补给船；三边数量关系：EF2＋FD2＝DE2.弄清图形中线段长表示的量：已知AB＝BC＝200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程．学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段DE，EF的长，根据勾股定理列方程求解，并判断解的合理性．教师：通过上面两道题的探究，应用一元二次方程解决实际问题有哪些步骤？引导学生总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤如下：(1)审题：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系；(2)设元：就是设未知数，根据题意，选择适当的未知量，并用字母(x)表示出来，设元又分直接设元和间接设元；(3)列方程：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的一元二次方程；(4)解方程：求出所列方程的解；(5)验根：检验未知数的值是否符合题意；(6)写出答案．三、举例分析例1　一个直角三角形的斜边长为7 cm，一条直角边比另一条直角边长1 cm，那么这个直角三角形的面积是多少？例2　如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？图①　　　图②例3　在宽为20 m，长为32 m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)把耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田面积为570 m2，问道路应为多宽？分析：三个例题的设计从简单问题入手，例1通过勾股定理解决直角三角形边长问题；例2构造了一个可变的直角三角形，解决面积问题；例3也是面积问题，在这个问题中通常设道路宽为x m，其中两条长为20 m，一条长为32 m，但要注意道路的交叉部分．引导学生通过转变图形进行思考：若将图中的三条道路分别向上和向右平移到如图所示的位置，应怎样列方程求解？结果一样吗？哪种方法更简单？四、巩固练习1．在一块正方形的钢板上裁下宽为20 cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4 800 cm2.求原正方形钢板的面积. 2．有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？3．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？五、小结1．列方程解决实际问题的关键是什么？2．列方程解决实际问题的步骤有哪些？3．列方程时应注意哪些问题？六、课外作业1．教材第53～54页习题2.9第3，4题．2．一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20eq \r(10)海里的圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船航行到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向的B处，且AB＝100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．本课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，学生在七、八年级已经进行过方程应用的训练，对于方程的实际应用并不陌生．虽然学生已经进行了一定的训练，但本课对学生而言还是有一定的难度．本课采用启发式、问题讨论式、合作学习相结合的方式，引导学生从已有的知识和生活经验出发，以教材提供的素材为基础，引导学生对旧知识进行迁移，找出解决问题的新途径和方法；学生之间的合作交流、互助学习，能更好地调动学生的学习积极性，可以更好地根据学生的实际情况进行调整，更符合学生的认知规律．无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，更好地进行学习指导．第2课时　列一元二次方程解决利润问题1．通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决利润问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程．2．经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型．3．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．重点列一元二次方程解决利润问题．难点寻找实际问题中的等量关系．一、复习导入1．列方程解决实际问题的一般步骤是什么？审：审清题意，已知什么，求什么，已知与未知之间有什么关系；设：设未知数，语句要完整，有单位(统一)的要注明单位；列：找出等量关系，列方程；解：解所列的方程；验：是否是所列方程的根；是否符合题意；答：答案也必需是完整的语句，注明单位且要贴近生活．2．列方程解决实际问题的关键是什么？3．请同学们回忆并回答与利润相关的知识？进价：有时也称成本价，是商家进货时的价格；标价：商家在出售时，标注的价格；售价：消费者购买时真正花的钱数；利润：商品出售后，商家所赚的部分；打折：商家为了促销所采用的一种销售手段，打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售．二、探究新知课件出示：(1)新华商场销售某种冰箱，每台进价为2 500元，销售价为2 900元，那么卖一台冰箱商场能赚多少钱？(2)新华商场销售某种冰箱，每台进价为2 500元．调查发现：当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；那么商场平均每天能赚多少钱？(3)新华商场销售某种冰箱，每台进价为2 500元．调查发现：当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？(本题在教材的基础上做了改动，降低难度)分析：本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定的难度．所以，教学时采用列表的形式分析其中的数量关系．本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000元．如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为(29－x)元．　　填完上表后，就可以列出一个方程，进而解决问题了．当然，解题思路不应拘泥于这一种，在利用上述方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法．如求定价为多少，直接设每台冰箱的定价应为x元，应如何解决？三、举例分析例　某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？请你利用方程解决这一问题．解：设这种台灯的售价应定为x元．根据题意得[600－10(x－40)](x－30)＝10 000.解这个方程得x1＝50，x2＝80(舍去)．600－10(x－40)＝600－10×(50－40)＝500(个)．答：台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个．四、练习巩固1．教材第55页“随堂练习”．2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？五、小结通过这两节课的学习，你能简要说明利用方程解决实际问题的关键和步骤吗？有哪些收获？解决实际问题的关键：寻找等量关系．步骤：①整体地、系统地审清问题；②寻找问题中的“等量关系”；③正确求解方程并检验根的合理性．六、课外作业教材第55页习题2.10第1～4题．设未知数(未知量成了已知量)，带着未知量去“翻译”题目中的有关信息，然后将这些含有的量表示成等量关系，就是实际问题的解题策略．无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学．课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度．x00.511.522.52x2－13x＋11x01234x2＋12x－15－15－2133049x11.52x2＋12x－15－25.2513x1.11.21.31.4x2＋12x－15－0.590.842.293.76x1.11.21.31.41.51.61.7x2＋12x－15－0.590.842.293.765.256.768.29方程x1x2x1＋x2x1·x2方程x1x2x1＋x2x1·x2x2＋4x－4＝0x2－2x－5＝06x2＋x－2＝02x2－5x＋1＝0每天的销售量/台每台的销售利润/元总销售利润/元降价前降价后