福建省泉州市四校2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试卷(含答案)

这是一份福建省泉州市四校2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．命题无论x取何实数,必有,则为( )
A.,都有B.,都有
C.,使得D.,使得
2．设集合,,则( )
A.B.C.D.
3．已知函数,则( )
A.B.C.0D.1
4．已知函数在R上单调递增,则的单调减区间为( )
A.B.C.D.
5．已知是奇函数,当时,且,又,则( )
A.25B.C.D.
6．若,,则m,n不能满足的条件为( )
A.m为奇数,n为偶数B.m为偶数,n为奇数
C.m,n均为奇数D.m,n均为偶数
7．已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.
C.D.
8．已知偶函数的定义域为,且当时,（为不超过x的最大整数）.则关于x的不等式的整数解的个数为( )
A.2023B.2024C.2026D.2027
二、多项选择题
9．下列各组函数是同一个函数的是( )
A.与
B.与
C.与
D.,与,
10．已知,都有.下列各式一定成立的是( )
A.B.
C.D.
11．已知函数,.下列说法正确的是( )
A.为奇函数
B.
C.,使得
D.,都有
三、填空题
12．根式化为分数指数幂的形式为___________.
13．集合,,则的一个充分不必要条件为____________.（用m表示）
14．对于,满足恒成立,则a的取值范围为____________.
四、解答题
15．已知集合,.
(1)当,求;
(2)当且,求a的范围.
16．已知直角三角形中,,.设两直角边长分别为a,b.斜边上的定点D到两直角边,的距离分别为1,2.
(1)求三角形的面积最小值;
(2)用表示三角形的周长,并求其最小值.
17．已知函数.
(1)判断函数在的单调性,并用定义证明;
(2)求函数在的值域.
18．已知函数具有性质（为常数且）,则称该函数为“倒装函数”.
(1)请在以下三个函数中找出“倒装函数”,求出对应的的值并说明理由;
①;
②;
③.
(2)已知函数.
（i）证明：;
（ii）讨论方程的实根的个数.
19．有限集A中元素均为正整数,设A中的元素.当,都存在,使得,则称A中的元素是“完全可拆”;当,,则称A中的元素是“完全不可拆”.
(1)判断集合,且中的元素是“完全可拆”或“完全不可拆”,并说明理由;
(2)若,,且A中的元素“完全可拆”,求n的最小值;
(3)若为奇数,且A中的元素“完全不可拆”,求n的最大值（用N表示）.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意可知,命题,,该命题为全称量词命题,
故,使得,
故选：D.
2．答案：A
解析：由,即,所以,即,
由,即,等价于,解得或,
所以,
所以.
故选：A.
3．答案：C
解析：因为,则,
所以,,
故选：C.
4．答案：B
解析：因为函数在R上单调递增,所以在R上单调递增,
设,
由,解得或,
所以在上单调递减,
所以的单调减区间为.
故选：B.
5．答案：C
解析：因为函数是奇函数,当时,且,
则,即,所以,,
所以,当时,,故,
故选：C.
6．答案：A
解析：对于A：因为,当m为奇数,n为偶数时,,此时无意义,不合题意,故A错误;
对于B：因为,当m为偶数,n为奇数时,,此时,符合题意,故B正确;
对于C：因为,当m为奇数,n为奇数时,,此时,符合题意,故C正确;
对于D：因为,当m为偶数,n为偶数时,,此时,符合题意,故D正确;
故选：A
7．答案：D
解析：因为在定义域R上单调递减且过点,
定义域为,在定义域上单调递增且过点,
在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下：
所以与有且仅有一个交点,且交点的横坐标属于,又,
所以,又,所以,
因为,所以,
综上可得.
故选：D.
8．答案：C
解析：因为是偶函数,当时,,
所以,当时,,
关于x的不等式,
当时,,
当,时,不等式不成立,
当时,则,不等式成立,
当时,则,不等式成立,
当时,则,不等式成立,
当时,由和,的图象可知,不等式不成立,
所以不等式的整数解有3个,
当时,,
此时,不等式成立,
又,则在时,
不等式的整数解有2023个,
所以关于x的不等式的整数解的个数为2026个.
故选：C.
9．答案：BC
解析：对于A,两个函数的定义域均为R,因为,则两者对应关系不同,故A错误;
对于B,两个函数的定义域均为R,两者对应关系相同,故B正确;
对于C,两个函数的定义域均为,又,两者对应关系相同,故C正确;
对于D,两个函数的定义域相同,两者对应关系不相同,故D错误;
故选：BC.
10．答案：BCD
解析：因为,都有,
对于A,令,,则,故A错误;
对于B,因为,则,
因为,所以,故B正确;
对于C,,则,
因为,则,
,当且仅当,即时,等号成立,
所以,则,故C正确;
对于D,因为,又,
所以,则,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：函数,的定义域均为R,
且,,
所以为偶函数,为奇函数,
则,
所以为奇函数,故A正确;
因为,,
所以,故B错误;
因为,所以,
所以不存在,使得,故C错误;
因为与在定义域R上单调递增,所以在定义域R上单调递增,
又,所以,都有,故D正确;
故选：AD.
12．答案：
解析：.
故答案为：.
13．答案：（m的范围为集合的真子集即可）
解析：因为集合,,且,则,
故使得的一个充分不必要条件为“”.
故答案为：（m的范围为集合的真子集即可）.
14．答案：
解析：因为,,所以,
当时,,所以,
所以恒成立;
当时,的图象恒在的图象下方,
又,
则由,得,
则,即,解得或,
则由,得,
则,即,解得或,
因为,所以,
综上,a的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由已知,
,
当时,,
所以.
(2)因为,即,
当时,,,则,
所以,则,解得,
则,得,
因为,所以,解得,
综上,a的范围为.
16．答案：(1)4
(2)三角形的周长为;三角形的周长的最小值为10.
解析：(1)由已知,过点D作到两直角边,的垂线,垂足分别为E,F,
则,,,,
所以,则,
设,则,
所以,,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,
所以三角形的面积最小值为4;
(2)在直角三角形中,,,则,
由(1),,,,,,
所以三角形的周长为
,
因为,所以,
令,,则,
则
,
当且仅当,即时,等号成立,
所以三角形的周长的最小值为10.
17．答案：(1)函数在上单调递减,证明见解析
(2)
解析：(1)函数在上单调递减,证明如下：
任取、且,
则
,
因为,则,,,
因为,,则,可得,
所以,即,
所以函数在上是减函数.
(2)任取、,且,即,则,
,可得,且,,,
所以,即,
所以函数在上为增函数,
故当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,
又因为,,所以,,
因此函数在的值域为.
18．答案：(1)①③不是,②是,且
(2)（i）证明见解析;（ii）答案见解析
解析：(1)对于①,若函数为“倒装函数”,则,
且,整理可得,该等式不恒成立,
所以,函数不是“倒装函数”;
对于②,若函数为“倒装函数”,则,
且,整理可得恒成立,
所以,,所以,函数为“倒装函数”;
对于③,若函数为“倒装函数”,则,
即,整理可得,该等式不恒成立,
所以,函数不是“倒装函数”.
(2)（i）因为函数的定义域为R,
,则函数为奇函数,
且,要证,只需证当时,即可.
当时,
,
令,因为,则,
则,
由对勾函数的单调性可知,函数在上单调递增,
函数在上单调递减,所以,函数在单调递减,
所以,,
即当时,,
因此,对任意的,;
（ii）由对勾函数的单调性可知,函数在上单调递减,在上单调递增,
函数在单调递减,
由复合函数的单调性可知,函数在上单调递增,在上单调递减,
又因为函数为奇函数,所以,函数在单调递减,在上单调递增,
且当时,;当时,.
作出函数的图象如下图所示：
由图可知,当或时,直线与函数的图象无交点,
此时,方程无实根;
当时,直线与函数的图象只有一个公共点,
此时,方程只有一个根;
当或时,直线与函数的图象有两个公共点,
此时,方程有两个实根.
故当或时,方程的根的个数为0;
当时,方程的根的个数为1;
当或时,方程的根的个数为2.
19．答案：(1)A中的元素是“完全可拆”;B中的元素是“完全不可拆”
(2)9
(3)
解析：(1)集合,
因为,,,
满足定义,所以A中的元素是“完全可拆”;
集合且,
设任意,,则,,其中,,且,,,
则,
故B中的元素是“完全不可拆”.
(2)由题意,,,则,,
又A中的元素是“完全可拆”,
可知,都存在,使得,
则,（）
且,由A中元素均为正整数,.
所以,,.
①当时,,
由,,,,,
,,.
所以A中的元素是“完全可拆”,此时,;
②下面证明,不符合题意.
若,即集合满足,,且A中的元素是“完全可拆”,.
由上已知,,.
故由,可知,故;
依此类推,可知,,,,.
因为,
若,则,故不可能.
若,则,则,所以,;
若,
若,则,故不可能.
若,则,,所以,,
同理,由,;
又因为为奇数,故也不成立,即不存在满足题意的.
故不存在这样的集合A满足,,
故.
同理依次可得,若,均不存在这样的集合A,满足.
综上所述,n的最小值为9.
(3)由题意,A中的元素,则,.
A中元素均为正整数,则,又N为奇数,即.
①先证明：若集合A中的的元素“完全不可拆”,为奇数,则.
预备结论：集合A中的的元素“完全不可拆”,对任意,,
若,则.下面用反证法证明该结论成立.
证明：假设,
因为N为奇数,所以,即.
由A中的元素是“完全不可拆”,则当,,
因为,,且,
所以,这与矛盾.
故假设错误,所以若,则,得证.
①先证明：若集合A中的的元素“完全不可拆”,,则.
由上所证结论可知,将（N为奇数,且）这N个自然数分组：
,,,,,
前组数中每组至多1个是集合A的元素,
又,故集合A中至多个元素.
即若,则,得证.
②给出集合,即,
集合A满足,且.
下面证明A中的元素“完全不可拆”.
证明：,,且,
则,,
,故A中的元素“完全不可拆”.
综上所述,n的最大值为.