河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
2．关于空间向量，下列运算错误的是( )
A.B.
C.D.
3．已知椭圆的离心率为，且过点，则C的方程为( )
A.B.
C.D.
4．已知，，，若，，共面，则( )
A.0B.1C.2D.-1
5．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为( )
A.B.C.D.
6．已知椭圆，过点的直线l交C于A、B两点，且M是的中点，则直线l的斜率为( )
A.B.C.D.
7．若动圆过定点，且和定圆C：外切，则动圆圆心P的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
8．已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知抛物线的焦点为F，直线与C在第一象限的交点为P，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，下列结论正确的是( )
A.直线l过点FB.直线l的倾斜角为
C.D.是等边三角形
10．圆和圆的交点为A，B，点M在圆上，点N在圆上，则( )
A.直线的方程为
B.线段的中垂线方程为
C.
D.点M与点N之间的距离的最大值为8
11．若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，，分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，( )
A.若，则
B.存在点H，使得平面
C.线段长度的最小值是
D.存在点H，使得
三、填空题
12．若直线与互相垂直，则__________.
13．如图，在棱长为2的正方体中，F是的中点，则______________.
14．已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为P，且，记的离心率分别为，则______________.
四、解答题
15．已知在中，，，，记的外接圆为圆M.
(1)求圆M的标准方程；
(2)求过点A且与圆M相切的直线的方程.
16．如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，.
(1)证明：平面.
(2)求二面角的余弦值.
17．已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，过点F且与x轴垂直的直线交于两点，M是与的一个公共点，，.
(1)求与的标准方程；
(2)过点A且与相切的直线l与交于点，求.
18．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面.
(1)证明：.
(2)点D在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
19．已知O为坐标原点，双曲线左､右顶点分别为，圆过点，与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为D，且.
(1)求C的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线l与双曲线C的左､右两支的交点分别为Q，P，连接并延长，交双曲线C于点R，记直线与直线的交点为B，证明：点B在曲线上.
参考答案
1．答案：C
解析：双曲线标准方程为，
其渐近线方程是，
整理得．
故选：C
2．答案：D
解析：根据空间向量数量积的运算律可知：，，
均成立，
即A、B、C正确；
为与共线的向量，
为与共线的向量，
所以与不一定相等，故D错误．
故选：D
3．答案：A
解析：由题意可得
解得，
所以椭圆C的方程为.
故选：A
4．答案：D
解析：因为共面，
所以，
即，
则
解得.
故选：D
5．答案：C
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
则点.设抛物线的方程为，
由点可得，
解得，所以.
当时，，所以水面宽度为.
故选：C.
6．答案：A
解析：若线段轴，
则线段的中点在x轴上，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，
设、，
由题意可得，，
则，
两式相减可得，
所以，，
解得，
因此，直线的斜率为.
故选：A
7．答案：D
解析：定圆的圆心为，与关于原点对称.
设，由两圆外切可得，
所以,
所以P的轨迹为双曲线的右支.
设P的轨迹方程为，
则，
所以轨迹方程为.
故选：D
8．答案：B
解析：设，
则，，
因，
所以，
即，
所以点P在以为圆心，4为半径的圆上.
点P在直线上，
所以直线与圆有公共点，
则，解得
故选:B
9．答案：ABD
解析：抛物线的焦点为，
而，
所以直线l过点F，故A正确；
设直线l的倾斜角，
因为直线的斜率为，，
所以，即直线l的倾斜角为，故B正确；
因为，故C错误；
因为点P在抛物线上，由抛物线定义可知，，
又，
所以是等边三角形，故D正确.
故选：ABD
10．答案：ABD
解析：对于A，将两圆的方程作差，可得，
即直线的方程为，A正确.
对于B，圆，圆，
圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，，线段的中垂线经过和的圆心，
故线段的中垂线方程为，故B正确.
对于C，圆的圆心到直线的距离为，
故，C错误.
对于D，点M与点N之间的距离的最大值为，D正确.
故选：ABD
11．答案：ABC
解析：对于A：因为为直四棱柱，，
所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，连接PQ，
则，，，，，
故，，
所以，
即Q，B，N，P四点共面，
若，
则，解得，A正确；
对于B：过点H作，
交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，
过点A作的垂线，垂足即，连接，，
由题意可得，
则，，，，
故，，，，
易得是平面的一个法向量，若平面，
则，
即，
解得，符合题意，
所以存在点H，使得平面，B正确，
对于C：，
当时，取得最小值，最小值为，C正确.
对于D：若，
则，
得，无解，
所以不存在点H，使得，D错误.
故选：ABC
12．答案：1
解析：直线的斜率，
则直线的斜率，
解得.
故答案为：1
13．答案：6
解析：棱长为2的正方体中，
连接，则是边长为的等边三角形，
.
故选：
14．答案：2
解析：由题意可知，，
所以.
因为，
所以
即，
所以，
故答案为：2
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)直线的方程为，A、B的中点为，
所以线段的中垂线方程为，
直线的方程为，A、C的中点为，
线段的中垂线方程为.
直线与直线的交点为，
即圆M的圆心为.
点与点的距离为，
即圆M的半径为，
所以圆M的标准方程为.
(2)圆M的圆心为，，直线的斜率为，
所以切线斜率为，
所求切线方程为，
整理得.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)设，以A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则
即
令，则.
证明：.
因为，
所以，
平面，所以平面.
(2)易知为平面的一个法向量，且.
.
易得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
17．答案：(1)的标准方程为，的标准方程为
(2)
解析：(1)记，则抛物线的方程为，其准线方程为.
因为，所以
解得，则的标准方程为.
不妨设点M在第一象限，
记，
因为，
所以，解得.
因为，所以，
即.
由
解得
所以的标准方程为.
(2)不妨设点A在第一象限，则.
设直线.
联立
得.
由，
解得，则.
设.
联立
得，
则，
故.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：取的中点O，连接.
因为为等边三角形，所以.
因为为等腰直角三角形，且，所以.
因为平面平面，
所以平面，
所以.
(2)因为平面平面，平面平面平面，
所以平面.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，
则
.
设平面的法向量为，
则
即
令，则，
所以.
设直线与平面所成的角为，
则
，
当且仅当时，等号成立.
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)因为圆过点，
得，所以，.
在中，，
所以，
所以是等边三角形，.
双曲线一条渐近线的斜率为，
即，所以.
故C的方程为.
(2)证明点B在曲线上，
即证明点B在曲线上.
设直线，
则.
联立
得，
则.
直线的方程为，
直线的方程为
将直线与直线的方程变形可得,
即,
①+②得，
即，
即，
化简可得.
①-②得，
，
，
，
化简得.
将代入可得，
即点B在曲线上.