湖北省鄂东南省级示范高中2025届高三上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省鄂东南省级示范高中2025届高三上学期期中联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知，，则( )
A.B.2C.D.
3．设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是( )
A.B.C.D.
5．在中，点D，E分别为，边上的中点，点F满足，则( )
A.B.C.D.
6．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为( )()
A.B.C.D.
7．已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，，，…，，记它们的和为，则( )
A.B.C.D.
8．已知定义在R上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是( )（注：）
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．设四个复数，，，在复平面内对应点、、、在同一个圆上，则下述结论正确的是( )
A.与互为共轭复数B.点在第二象限
C.复数的虚部是D.
10．已知两个正数a，b满足，则下述结论正确的是( )
A.B.C.D.
11．已知函数，若不等式对任意都成立，则实数a的值可以为( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知函数的最小正周期是，则的值为______.
13．已知两个单位向量，满足，则向量和的夹角为______.
14．设数列的前n项和为，若是以a为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数t，使得数列也成等差数列，则实数a的取值范围是______.
四、解答题
15．记是等差数列的前n项和，，且，，成等比数列.
（1）求和；
（2）若，求数列的前20项和.
16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，.
（1）求的面积；
（2）若，求b
17．已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点，将射线按逆时针方向旋转后于单位圆O交于点，，.
（1）若，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当函数的最大值是时，求m的值.
18．已知为函数的极小值点.
（1）求c的值；
（2）设函数，若对，，使得，求k的取值范围.
19．已知正实数构成的集合
（1）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合A具有性质P.
①当，时，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；
②设集合，其中数列为等比数列，且公比为2，判断集合A是否具有性质P并说明理由.
（2）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合A具有性质.设集合A具有性质且中的所有元素能构成等差数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由，解得，
，又，
.
故选：B.
2．答案：C
解析：由，得，而，
因此，所以.
故选：C
3．答案：A
解析：由可得，，，
由可得或，
故能得到，同时也无法推出，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4．答案：B
解析：因为，在上均单调递减，
则在上单调递减，
对A，可得.
因为幂函数在上单调递增，所以，
且函数在上连续不间断，则在上无零点，故A错误；
对B，因为在上单调递减，
则，则，且函数在上连续不间断，
故在上存在零点，故B正确；
对C，因为，且函数在上连续不间断，
则上无零点，故C错误；
对D，计算，
且函数在上连续不间断，则在上无零点，故C错误；
故选：B.
5．答案：D
解析：依题意，，而，
所以
故选：D
6．答案：B
解析：如图，设球的半径为R，
则，，
所以由题，又，
故
，
所以，即该球体建筑物的高度约为.
故选：B.
7．答案：B
解析：由，则或，
解得或，
所以，，，，…，，
所以
，故B正确.
故选：B
8．答案：C
解析：，故
所以，
函数的对称中心为，
函数往左平移2个单位得到函数，
故函数的对称中心为，所以，
取可得，，
对于A，在区间上单调递减，故，
且，
所以，故A错误：
对于B，在区间上单调递减，对称中心为，
故，且在区间上单调递减，
则，，故B错误；
对于C，结合在区间上单调递减，
故，故C正确：
对于D，因为，
取可得，又，
所以，所以，
因为函数的对称中心为，故，
所以
因为，
故，
且，，即，
结合在区间上单调递减，故，故D错误.
故选：C
9．答案：BCD
解析：对于，其对应点.
对于，其对应点.
对于，其对应点.
对于，其对应点.
对于选项A，，，它们实部不同，不是共轭复数，所以选项A错误.
对于选项B，对于，所以点在第二象限，选项B正确.
对于选项C，，，
.
其虚部是，选项C正确.
对于选项D，，，，在同一个圆上.
设圆的方程为.
将代入方程得，即①.
将代入方程得，即②.
将代入方程得，即③.
用②-①可得：
即解得.
将代入①和③，①变为，③变为.
用③-①可得：，解得.
将，代入，可得.
所以圆的方程为.
将代入，得到，即，
，解得.
，.
则，即，所以选项D正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：对于A，由，得，因此，A正确；
对于B，由，得，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，取，，满足，而，C错误；
对于D，由，得，，
则，D正确.
故选：ABD
11．答案：AC
解析：依题意，函数的图象恒在的图象及上方，
作函数和的图象，
当时，如上左图所示，观察图知在R上不恒成立，不合题意；
当时，如上右图所示，观察图知，当且仅当，成立时，恒成立，即当时，，
令，，求导得，
当时，，当时，，
函数在上递减，在上递增，
因此，所以实数a的取值范围是，a的值可以为AC.
故选：AC
12．答案：2
解析：
，
所以，.
故答案为：2.
13．答案：
解析：因为向量，为单位向量，所以，，
又，所以，所以，
所以，
，
所以，
又，所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：依题意，，则，
由数列为等差数列，得，
且是n的一次式，
而对任意正整数n，不恒成立，因此对恒成立，
即，解得，所以实数a的取值范围是.
故答案为：
15．答案：（1）；；
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d，则，
由，得，
即，解得，
所以，.
（2）由（1）知，，又，则
因此，
所以.
16．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）在中，依题意，，，，
则，即，
由余弦定理得，整理得，，由，
得，则，
所以的面积.
（2）由正弦定理，
得，
则，所以.
17．答案：（1）；
（2）或.
解析：（1）由三角函数定义，得，，
，
由，得，则，
因此，的取值范围是.
（2）由（1）及已知，得，，
令
，，
①当时，在上单调递减，，则；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
，不符合题意；
③当时，在单调递增，
，
则，所以或.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）函数的定义域为R，求导得，
依题意，，解得或，
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极小值点，符合题意，则；
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极大值点，不符合题意，
所以.
（2）由（1）知，函数在，上单调递增，在上单调递减，因此，
①当时，对，，使得，
因此，符合题意，则；
②当时，，取，对，有，不符合题意；
③当时，函数，求导得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，则，
若对，，使得，只需，即，解得，所以k的取值范围为.
19．答案：（1）①集合A不具有性质P，集合B具有性质P，理由见解析；②集合A具有性质P，理由见解析；
（2）存在，最大值为4.
解析：（1）①集合A不具有性质P，集合B具有性质P：
，中元素个数不具有性质P；
，中元素个数具有性质P.
②若集合A具有性质P，设，
假设当时有成立，则有，
等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则不成立，
因此中元素个数，所以集合A具有性质P.
（2）不妨设，
则在集合中，，
又中的所有元素能构成等差数列，设公差为d，
则，
即，于是，
当时，，，，是集合A中互不相同的4项，
从而中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，
当时，，即，，成等差数列，且公差也为d，
则中的元素从小到大的前三项为，，，且第四项只能是或，
（i）若第四项为，则，从而，
于是，中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾；
（ii）若第四项为，则，有，
而，即，于是，
因此中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，则，
取，，则集合A具有性质，
所以集合A中的元素个数存在最大值，最大值为4.