江苏省常州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省常州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．经过两点，的直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．抛物线的准线方程为,那么抛物线的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
3．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数( )
A.B.-4C.4D.
4．已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为( )
A.1B.2C.3D.4
5．过抛物线焦点F直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为，则的值为( )
A.3B.2C.D.
6．如图,已知,分别是椭圆的左,右焦点,现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M,N.若过点的直线是圆的切线,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的右顶点，线段的垂直平分线交双曲线于点P，其中，则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
8．设直线l：，圆C：，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使，则m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．设a为实数，直线，，则( )
A.当时，不经过第一象限B.的充要条件是
C.若，则或D.恒过点
10．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长､短轴长､焦距分别为，，，则( )
A.B.C.D.
11．已知F为椭圆的左焦点，直线，与椭圆C交于A、B两点，，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则( )
A.的最小值为2
B.的面积的最大值为
C.直线的斜率为
D.为直角
三、填空题
12．点与点关于直线l：对称，则的值为_________．
13．已知点，，点P满足直线的斜率之积为，则的最小值为_________．
14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，则点P的轨迹为圆，设其圆心为C，已知直线l：经过定点M，则的面积的最大值为_________．
四、解答题
15．已知直线的方程为，若在x轴上的截距为，且.
(1)求直线与的交点坐标；
(2)已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求的方程.
16．已知圆：，圆：，直线：，：．
(1)若圆与圆相内切，求实数m的值；
(2)若，被圆所截得的弦的长度之比为，求实数n的值．
17．已知双曲线C：的一条渐近线为，且一个焦点到渐近线的距离为2．
(1)求双曲线方程；
(2)过点（的直线l与双曲线左、右两支分别交于两点，动点M满足，求点M的轨迹方程．
18．如图，已知抛物线C：的焦点F，且经过点，．
(1)求A点的坐标；
(2)直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值．
19．《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数．设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”．
(1)若，求曲线H的方程；
(2)若“齐备直线”：与曲线H相交于A，B两点，点M为曲线H上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，试判断是否存在，使得取得最小值？说明理由；
(3)若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且N为线段ST的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点．
参考答案
1．答案：C
解析：由题意知，经过的直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，则，
所以，即直线的倾斜角为.
故选：C
2．答案：D
解析：抛物线的准线方程为,可得,解得,
所以抛物线即,即的焦点坐标为.
故选：D.
3．答案：A
解析：双曲线方程化为标准形式为，
则有，.
由题设知，，
解得.
4．答案：D
解析：圆方程配方得,圆心,,
圆关于直线对称,
可知直线过圆心,即,解得,
故,
则圆心与点的距离为1,
则圆C中以为中点的弦长为.
故选:D
5．答案：C
解析：
6．答案：A
解析：因为过点的直线圆的切线,,,所以.
由椭圆定义可得,可得椭圆的离心率.
故选:A
7．答案：C
解析：
设段的中点为M,
则
又
则
即
故选:C
8．答案：B
解析：直线上任意一点,点P,Q是圆C上两点,
当分别与圆C相切时,最大,当运动到与圆心C之间的距离最小时,即时,最大,
圆的圆心坐标,半径为,
由点到直线距离公式,得圆心到直线的距离
当时,,
解得,
的取值范围为
故选：B
9．答案：AB
解析：
10．答案：ABD
解析：由题意可知，，
可得，所以A正确；
，所以B正确；
可得，.
则
.
则.所以D正确.
故选ABD.
11．答案：BCD
解析：设椭圆C的右焦点，
由椭圆对称性知线段，互相平分于点O，
则四边形为平行四边形，如图，则，
有
，
当且仅当，即时取“=”，A不正确；
设，，则，
当且仅当，即时取“=”，
即，因，垂足为E，
则，B正确；
因，有，由椭圆对称性可得，而，
则直线的斜率，C正确；
设，由及得，，
即，
直线，的斜率，有，
而，
于是得，有，所以为直角，D正确.
故选：BCD.
12．答案：2
解析：点与点关于直线对称,
解得
故答案为:2
13．答案：-7
解析：由题意可得:设,
因为点,
所以,
因为直线PA,PB的斜率之积为,
所以,
即,
所以,
所以
,
所以的最小值为-7.
故答案为:-7.
14．答案：
解析：
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)因为，直线的方程为，
设的方程为，因为在x轴上的截距为，
所以，，即.
联立得
所以直线与的交点坐标为.
(2)因为在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，
故当过原点时，的方程为.
当不过原点时，设的方程为，
又直线经过与的交点，所以，得，
所以的方程为.
综上，的方程为或.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题设可得，，
因为圆与圆相内切，
故，其中，
解得.
(2)到的距离为，
到的距离为，
故，
解得.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为双曲线渐近线的方程为：，则，
而焦点到渐近线的距离为2，
故（c为半焦距），故，
故，
故双曲线方程为：.
(2)由题设可得l的斜率必定存在，
设直线，，
由
可得，
因为直线l与双曲线左、右两支分别交于两点，
故，
故，
又，
而，
因，
故，
所以，
故，故，代入后可得，
因为，故，
故M的轨迹方程为：.
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由抛物线定义知：，
则，故，
又在抛物线上，
则，可得，
故.
(2)设，，
由(1)知：，
所以，，
又，故，
所以，
因为的斜率不为零，
故设直线，
联立，
整理得，且，
所以，，
则，
，
综上，，
当时，过定点；
当时，过定点，
即共线，不合题意；
所以直线过定点，
又，故D在以为直径的圆上，
而中点为，
即为定值，得证.
19．答案：(1)证明见解析
(2)4
(3)证明见解析
解析：(1)当时，定直线l：，比值为：.
设，则点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，
即，
两边平方，整理得：，
即为曲线H的方程.
(2)因为动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数，
所以，
整理得，
即，即为曲线H的方程.
设，
则，
得，
当且仅当即时，等号成立，
所以存在使得取得最小值4.
(3)由(2)知，当时，曲线H：，
双曲线的渐近线方程为：，
如图：
设，
则，
解得，
即，
所以，
代入双曲线方程，
得，
整理得，
即，
解得或.
当时，，若，
则，
，
消去y得，方程有唯一的解，
同理，若，得，方程有唯一的解，
故直线与曲线H有且仅有一个公共点N；
当时，，
消去y得，
，方程有唯一的解，
故直线与曲线H有且仅有一个公共点N.
综上，直线与曲线H有且仅有一个公共点N.