山西省吕梁市2025届高三上学期11月期中阶段性测试数学试卷(含答案)

这是一份山西省吕梁市2025届高三上学期11月期中阶段性测试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数,则( )
A.2B.C.1D.
3．下列函数中,既是奇函数又是减函数的是( )
A.B.C.D.
4．已知数列的各项均不为0,设甲:;乙:数列是等比数列,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知满足,,且向量在向量上的投影向量为,则( )
A.B.C.D.2
6．如图,设矩形的周长为8cm,把沿向折叠,折过去后交于点P,记的周长为l,面积为S,则的最大值为( )
A.B.C.D.
7．已知函数是定义在R上的奇函数,且为偶函数,当时,,则下列结论中正确的是( )
A.B.C.D.
8．当时,曲线与的交点个数为4个,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题正确的是( )
A.
B.
C.在等差数列中,,,,则
D.在等差数列中,为其前n项和,若,,则
10．若实数x,y满足,则( )
A.B.C.D.
11．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.若,则
B.有两个零点
C.
D.若,,,则
三、填空题
12．已知向量,,且,则______.
13．对于数列,定义数列为数列的“和数列”,若,数列的“和数列”的通项公式为,则数列的前21项和______.（结果保留指数形式）
14．在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则的取值范围为______.
四、解答题
15．已知函数,且的最小正周期为.
（1）将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,若是偶函数,求的最小值;
16．已知函数.
（1）证明:曲线是轴对称图形;
（2）若函数在上有三个零点,求实数a的取值范围.
17．民族要复兴,乡村需振兴.为响应国家号召,我市城市规划管理局拟将某乡村一三角形区域规划成休闲度假区,通过文旅赋能乡村经济发展.度假区按如图所示规划为三个功能区:区域规划为露营区,区域规划为休闲垂钓区,区域规划为自由活动区.为安全起见,预在鱼塘四周围筑护栏.已知,,,P为内一点,.
（1）当时,求护栏的长度（的周长）;
（2）若,求;
（3）为了容纳更多游客,露营区的面积要尽可能大,求露营区面积的最大值.
18．已知函数.
（1）令,求的单调区间;
（2）若存在,使得,求证:.
19．对于无穷数列,“若存在,必有”,则称数列具有性质.
（1）若数列满足判断数列是否具有性质?是否具有性质?
（2）把（1）中满足性质的t从小到大一一列出,构成新的数列,若,求证:;
（3）对于无穷数列,设,若数列具有性质,求集合中元素个数的最大值.（写出表达式即可,结论不需要证明）
参考答案
1．答案：D
解析：因为,
又,所以.
故选:D.
2．答案：A
解析：复数,所以.
故选:A.
3．答案：C
解析：选项A中是偶函数,BCD三选项中函数都是奇函数;
在和上都是减函数,但在定义域内不是减函数,B错;
结合幂函数性质知是减函数,C正确;
中,设,则,而,
因此,即,是增函数,D错.
故选:C.
4．答案：B
解析：验证甲是否能推出乙,甲的意思是该数列隔项成等比数列,
甲可构造数列1,2,1,4,1,8,1,16,1,…,
显然甲推不出乙,验证乙是否能推出甲,
因为数列是等比数列,所以,,
所以,
所以乙能推出甲,所以甲是乙的必要不充分条件.
故选:B.
5．答案：C
解析：在中,令,过A作于,,
由向量在向量上的投影向量为,得,
解得,则,由,得
,解得,由,
得,即,因此,
在中,.
故选:C
6．答案：A
解析：因为矩形的周长为8cm,
设,则,故,得,
因为,,,
所以,设,则,,
所以的周长为,
在直角中,由勾股定理得,解得,
则,所以,
令,则,,
所以,
当且仅当,即,时,等号成立,
所以的最大值为.
故选:A.
7．答案：D
解析：偶函数,,即,
即函数关于对称,
又为奇函数,,
故,即的最小正周期为4,
对A,的最小正周期为4,,
又关于对称,,
当时,,则,
即,故A错;
对B,的最小正周期为4,,
又关于对称,,
当时,,
即,故,故B错;
对C,当时,,易知在上单调递增,
又关于对称,,
,,即,
故,故C错误;
对D,,
且,
故,故D对.
故选:D.
8．答案：B
解析：由,如图所示,画出在时的图象,
对于,,,
令,得,,得,,
由与的图象有4个交点,
由图知,解得,故B正确.
故选:B.
9．答案：AC
解析：A选项,
,A选项正确.
B选项,
,所以B选项错误.
C选项,在等差数列中,,,,
设等差数列的公差为d,则,
两式相减得,所以,
则,所以,C选项正确.
D选项,设等差数列的公差为d,则,
即,两式相减得,
所以,所以D选项错误.
故选:AC
10．答案：ACD
解析：对于A,可化为,,
（当且仅当时取等号）,
,
,
,选项A正确.
对于B,由得,
,
,选项B错误.
对于C,由得,
,
（当且仅当时取等号）,
,
,
,选项C正确.
D.由得,
,
.
由得,
,
,选项D正确.
故选:ACD.
11．答案：BCD
解析：A选项,定义域为,
,
故在,上单调递减,
不妨取,此时满足,但,
,,A错误;
B选项,由A选项知,,上单调递减,
其中,,
,,
由零点存在性定理可知,存在,,使得,
故有两个零点,B正确;
C选项,,
而,
故,C正确;
D选项,,
又,,
且,,,结合C选项知,,
则,D正确.
故选:BCD
12．答案：1
解析：由向量,,
则,
又,则,解得,
故答案为:1
13．答案：.
解析：因为,数列的“和数列”的通项公式为,
所以数列,
,
故答案为:.
14．答案：
解析：由题意,因为,即,
由正弦定理可得,,
所以或,,
又,,,
,
,解得,
,
又因为,
令,则,,
根据对勾函数的性质,函数在上单调递增,
所以,
所以则的取值范围为,
故答案为:.
15．答案：（2）若,,求的值.
（1）
（2）
解析：（1）
,
由于的最小正周期为,所以,
所以,
将函数的图象向右平移个单位长度,
得到函数,
由于是偶函数,所以,,,
由于,所以时,取得最小值为.
（2）,,
由于,,,
所以,
所以
.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由函数,定义域为R,
则,
因此可得,
故函数的图象关于,即曲线是轴对称图形.
（2）由,
若函数在上有三个零点,
则方程在上有三个实根,
即在上有三个实根,
令,则与的图象在上有三个交点,
又,
当或时,,
则在和上单调递减,
当时,,则在上单调递增,
又,,
,,
因此可得的图象如图所示,
结合图象,要使与的图象在上有三个交点,
则实数a的取值范围为.
17．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）在中,由正弦定理得,即,
解得,而为锐角,则,,,
在中,由余弦定理得,即,
所以的周长,即护栏的长度为.
（2）令锐角,则,,
在中,由正弦定理得,则,
在中,由正弦定理得,则,
于是,即,
整理得,因此,所以.
（3）设,则,
在中,由正弦定理得,则,
于是的面积
,而,
则当,即时,,
所以露营区面积的最大值为.
18．答案：（1）当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减
（2）证明见详解
解析：（1）,,
当时,恒成立,
所以在单调递增;
当时,恒成立,
所以在上单调递增;
当时,,存在两根,,
因为,所以,
所以时,,所以单调递增,时,,单调递减,
所以当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减
（2）,解得,解得,
则在上单调递减,在上单调递增,所以,
因,令,,
所以,所以,
所以,所以,
所以,
所以,所以只需证明即可,
所以只需证明,
令,,
令,函数定义域为,
,当时,,当时,
在上单调递增,在上单调递减,
所以,所以,所以,
所以,
所以在上单调递增,所以,得证.
19．答案：（1）数列不具有性质,具有性质;
（2）证明见解析;
（3）集合T中元素个数的最大值为.
解析：（1）因为,
当时,均为奇数,
故若存在,
由题意可得,,,与为偶数矛盾,
所以数列不具有性质;
因为,,且,,
故数列具有性质;
（2）因为,
,为偶数,
时,均为奇数,故由题设条件知t不可能为奇数,
又,,
令,
则;
（3）因为数列具有性质,所以一定存在一组最小的m,k,且,
满足,即,
由性质的定义可得,,…,,,
所以数列中,从第k项开始的各项呈现周期性规律,,…,为一个周期中的各项,
所以数列中最多有个不同的项,
所以T中最多有个元素.
又若当,,且数列为周期数列,最小正周期为,
则,,…,,
该数列具有性质,
若,,,,,时,,
不妨设,则,所以,
此时等式右侧为奇数,左侧为偶数,矛盾,
所以若或,则,
所以集合中含有个元素.
所以集合T中元素个数的最大值为.