福建省福州市闽侯县第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（原卷版）-A4

这是一份福建省福州市闽侯县第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（ ）
A B.
C. D.
3. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A B. C. D.
5. 已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，点，点，点A满足，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，角，，所对的边为，，，且，．又点，，都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 过点）且在轴、轴上截距相等的直线方程为
B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C. 圆与圆恰有三条公切线，则
D. 已知圆，过点向圆引两条切线为切点，则直线方程为
10. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点,分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A. 点P到右焦点的距离的最大值为9，最小值为1
B. 的最小值为
C. 若，则的面积为
D. 直线与直线斜率乘积为定值
11. 已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（）
A. 直线与平面所成角的正弦值范围为
B. 点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C. 点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知为中点，当和最小时，为的中点
第二部分（非选择题 共92分）
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 点关于直线的对称点坐标是______.
13. 已知是棱长为1正四面体.若点满足，其中，则的最小值为______.
14. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则______.若“黄金椭圆”的两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则______.
三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.
（1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；
（2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.
16. 已知圆C：，直线l恒过点
（1）若直线l与圆C相切，求l方程；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
17. 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为，
（1）求椭圆的方程；
（2）不过原点O的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程．
18. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，．
（1）证明：；
（2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值．
19. 已知动点与点的距离和它到直线：的距离的比是.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知定点，若，是轨迹上两个不同动点，直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由.