福建省莆田市仙游县第二教研片区2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省莆田市仙游县第二教研片区2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(考试时间:120分钟 满分:150分)
命题人：盖尾中学 郭志龙 审题人：度尾中学 林俊喜
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请把答案填在答题卷的相应位置.
1. 经过点（1，－1）且一个方向向量为（1，）的直线l的方程是（ ）
A. 3x+2y－1＝0B. 3x+2y+1＝0C. 2x+3y+1＝0D. x－2y－3＝0
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率k的值，代入点斜式方程，求出直线方程即可.
【详解】直线l的一个方向向量为（1，），且经过（1，－1），
故直线l的斜率k＝，
故直线方程为：y+1＝（x－1），即3x+2y－1＝0，
故选：A.
2. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 内切B. 外切C. 相交D. 相离
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心距，与两半径的和差比较可得．
【详解】圆心，圆心为，半径为，
圆标准方程为，圆心为，半径为．
，显然，所以两圆相交．
故选：C．
3. 已知直线与平行，则实数a的值为
A. －1或2B. 0或2C. 2D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行，列方程，求的a的值.
【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．
经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．
∴a=-1．
故选D
【点睛】对于直线
若直线
4. 等差数列中，则公差（ ）
A. 4B. 3C. -4D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】在等差数列中，
所以有．
故选：B．
5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（ ）
A. 12里B. 24里C. 48里D. 96里
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，此人天中每天走的路程是公比为的等比数列，再根据等比数列的前项和公式及通项公式求解即可.
【详解】由题意可得，此人天中每天走的路程是公比为的等比数列，
设这个数列为，前项和为，
则，解得，
所以，
即该人第三天走的路程为48里.
故选：C.
6. 已知数列，，且，则（ ）
A. B. 2C. -2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据递推公式，可得数列是周期为的数列，从而可解.
【详解】根据题意，，
则，
所以数列是周期为的数列，
则.
故选：A
7. 已知正项等比数列，若=9，则（ ）
A. 6B. 12C. 15D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】由可得，由于，所以，
故选：B.
8. 已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】易知点为圆外一点，利用点到圆心的距离加半径，即为的最大值.
详解】将代入，得，
所以点为圆外一点，易知圆心坐标，半径，
所以，
则的最大值为：，
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 请把答案填在答题卷的相应位置.
9. 设数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 数列等比数列
C.
D. 若，则数列bn的前10项和为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，可得，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，依次可判断A、B、C，再由裂项相消法判断D.
【详解】当时，由，得，解得，
当时，，
即，
即数列为以为首项，以为公比的等比数列，
则，，，所以A、C错误，B正确；
又，
数列bn的前10项和为：
，D正确.
故选：BD
10. 已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的圆心为B. 点在圆内
C. 圆的半径为5D. 点在圆内
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答.
【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确；
由，得点在圆内，B正确；
由，得点在圆外，D错误.
故选：ABC
11. 设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（ ）
A. B.
C. D. 当时，n的最小值为13
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，即，
又，解得，B错误；
对于C，由，得，C正确；
对于D，由选项C知，是递减数列，，而，
因此当时，n的最小值为13，D正确.
故选：ACD
三.填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）
12. 点到直线：的距离是______
【答案】
【解析】
【分析】直接代入点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点到直线：的距离是.
故答案为：.
13. 数列前项和记为，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据即可求解，代入验证即可.
【详解】当时，，
当也符合上式，
故
故答案为：
14. 求过点且与圆相切的直线方程为______.
【答案】x＝4或3x+4y＝0
【解析】
【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，
由题意得，
解得k＝，此时直线方程为3x+4y＝0，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4
此时圆心 到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.
故答案为：x＝4或3x+4y＝0.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请把答案填在答题卷的相应位置.
15. 已知，在中，
（1）求边的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由直线的两点式方程化简得.
（2）首先得中点，然后结合点坐标，由两点式化一般式即可得解.
小问1详解】
边过两点
由两点式，得，即，
故边的方程是．
【小问2详解】
设的中点为，
则，，
所以，
又边的中线过点，
所以，即，
所以边上的中线所在直线的方程为．
16. 已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，数列为以为公差，以为首项的等差数列，即可得通项公式；
（2）利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
根据题意，数列满足，
即，
所以根据题意，数列为以为公差的等差数列，
又，则，
所以；
【小问2详解】
根据题意，，
所以数列的前n项和为：.
17. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则：
（1）求圆C的方程．
（2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程；
（2）利用几何法，先求圆心到直线距离，再利用勾股定理求半弦长即可得.
【小问1详解】
因为和，线段的中点为0,2，且，
则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上，
又已知圆心在轴上，令，得，
故圆心为，半径，
则圆圆C的方程为.
【小问2详解】
由圆心2,0到直线的距离，.
故线段的长度为.

18. 已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合与之间的关系可得，利用等差中项可得数列为等差数列，进而求；
（2）由（1）可得，利用错位相减法运算求解.
【小问1详解】
因为，即，则，
两式相减并整理得，则，
两式相减整理得，
所以数列为等差数列．
当时，，所以．
设等差数列的公差为，
因为，解得，
所以．
【小问2详解】
由（1）可得，则，
则，
可得，
所以．
19. 已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．
（1）判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；
（2）已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；
（3）证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”．
【答案】（1）数列是“凹数列”，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）计算出，故满足“凹数列”的定义；
（2）利用等差数列通项公式得到，由题意得对任意恒成立，化简得到，得到答案；
（3）先证明出必要性，放缩得到，故，再证明充分性，取，则有，即，所以为“凹数列”.
【小问1详解】
因为，则，
又，故，即，数列是“凹数列”．
【小问2详解】
因为等差数列bn的公差为，
所以，
因为数列是凹数列，
所以对任意恒成立，
即
所以，即，
因为，
解得．
所以的取值范围为．
【小问3详解】
先证明必要性：
因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即，
所以对任意的，当时，有
，
所以，
又，
所以．必要性成立，
再证明充分性：
对于任意的，当时，有，
取，则有，
即，所以为“凹数列”.
【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.