福建省福州市闽侯县第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份福建省福州市闽侯县第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了 已知，则“成立”是“成立”的， 设，，则下列不等式中正确的是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则集合A的真子集有（ ）个.
A. 7B. 15C. 31D. 63
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求集合A的元素个数，进而求真子集个数.
【详解】由题意可知：集合，共5个元素，
所以集合A的真子集有个.
故选：C.
2. 命题：，，则命题的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据特称命题的否定可直接得到结果.
【详解】由特称命题的否定知：命题的否定为，.
故选：C.
3. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解
【详解】对于A：的定义域为，且，
所以为偶函数，当时，由一次函数的性质可知，
在上单调递减，
即在上单调递减，故A错误；
对于B：的定义域为，且，所以为奇函数，故B错误；
对于C：的定义域为，且，
所以为偶函数，当时，，
由指数函数的性质可知，在上单调递增，故C正确；
对于D：的定义域为，且，
所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；
故选：C.
4. 已知，则“成立”是“成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分析】分别解出不等式以及，即可得出答案.
【详解】解可得，.
由可得，，解得.
所以，“成立”是“成立”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 设，，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数的单调性可得A错误；由的单调性可得B错误；作差可得C正确，取可得D错误；
【详解】对于A，由在上是增函数可得，故A错误；
对于B，由在上是减函数可得，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：C.
6. 已知不等式对任意都成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况讨论，当时则，即可求出参数的取值范围，从而得解.
【详解】解：因为不等式对任意都成立，
当时恒成立，
当时，解得，
综上可得；
故选：D
7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】先根据奇函数的性质求出时，的解析式.进而分，，三种情况，结合奇函数的性质，求解不等式，即可得出答案.
【详解】，则，.
又是定义在上的奇函数，
所以，，
所以，.
由可得，，解得，所以；
当时，由可得，，解得，所以；
当时，根据奇函数的性质，可知，满足.
综上所述，不等式的解集是或.
故选：D.
8. 已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断出函数的单调性，由此列不等式组来求得的取值范围.
【详解】由于对任意实数，都有成立，
所以在上单调递增，所以，解得.
故选:C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 和表示同一个函数
B. 函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 函数的值域为
D. 定义在上的函数满足，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A，利用相同函数的条件，即可求解；选项B，根据抽象函数的定义域的求法，即可求解；选项C，因为，再利用反比例函数的性质，即可求解；选项D，根据条件，利用方程思想，即可求解.
【详解】对于选项A，因为的定义域为，的定义域为，所以与不是同一个函数，故选项A不正确；
对于选项B，对于，令，则，得到，
所以，即的定义域为，所以选项B正确；
对于选项C，因为，所以，即函数的值域为，所以选项C正确；
对于选项D，由，可得，
由，可解得，所以选项D正确；
故选：BCD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的最大值为
B. 函数的最小值为
C. 已知，则的最小值为3
D. 若正数满足，则的最小值是4
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式及“1”的妙用，对选项逐一分析检验即可.
详解】对于A，，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为3.
故B错误；
对于C，因为，，，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为3.故C正确；
对于D，因为，，，所以，
则，
当且仅当即时等号成立，此时，
所以的最小值为4.故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 为R上的减函数D. 为偶函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】令即可判断A；由递推关系判断B；利用单调性定义判断C；令代入已知递推式，结合奇偶性定义判断D.
【详解】令得，故A正确；
，故B正确；
设，则，
所以，故C正确；
令，则，所以是奇函数，故D错误．
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则___________.
【答案】4
【解析】
【分析】代入计算，先求出，进而计算出答案.
【详解】，.
故答案为：4.
13. 若幂函数在上单调递增，则实数________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和单调性求得.
【详解】是幂函数，所以，
解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意.
当时，在上单调递增，符合题意.
所以的值为.
故答案为：
14. 已知定义在R上的奇函数与偶函数满足. ，若，恒成立，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先由函数和奇偶性得出函数和的解析式，代入将问题转化为.
对恒成立，令，由单调性得出的范围，再由的单调性求得的最大值，根据恒等式的思想可求得实数的取值范围.
【详解】因为是奇函数，所以，
是偶函数，所以.
因为，
所以，即，
所以，.
所以，对恒成立，
又因为，恒成立，
因此将不等式整理得：
令，则在上单调递增，
所以，
所以，
根据基本不等式解得：当且仅当时等号成立；
所以
所以
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求值：；
（2）已知，求值：.
【答案】（1）3；（2）6
【解析】
【分析】（1）利用指数运算性质化简求值即可；
（2）结合指数运算性质，利用完全平方和公式求解即可.
【详解】（1）原式.
（2）由，而，
则，故.
16. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用集合交、并、补运算求集合；
（2）由题设，讨论、分别求参数范围，最后取并集.
【小问1详解】
由题设，则，
或，则.
【小问2详解】
由，
若时，，满足；
若时，；
综上，.
17. 函数是定义在上的奇函数，且.
（1）判断在上的单调性，并用定义证明；
（2）解关于t的不等式.
【答案】（1）增函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质求b，由可得a，然后利用单调性定义证明即可；
（2）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，结合定义域求解可得.
【小问1详解】
由函数是定义在上的奇函数，
得，解得，
经检验，时，，
所以是上的奇函数，满足题意，
又，解得，故，.
函数在上为增函数.证明如下：
且，
则，
因为，
所以，，，，
所以，即，
所以在上为增函数.
【小问2详解】
因为为奇函数，所以，
不等式可化为，即，
又在上是增函数，所以，解得，
所以关于t的不等式解集为.
18. 安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克）与施肥量单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元）．
（1）求函数的解析式
（2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少
【答案】（1）；
（2）千克，最大利润是元．
【解析】
分析】（1）利用利润公式直接求解即可；
（2）分段求解，时，利用二次函数的性质求解最值；时，利用基本不等式求解最值．
【小问1详解】
根据题意知
，
整理得；
【小问2详解】
当时，，
由一元二次函数图象可知在时取得最大值，
当时，
,
当且仅当，即时等号成立，
，的最大值是，
当单株施肥量为千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是元．
19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，．
（1）求的值；
（2）设函数．
（ⅰ）证明：函数的图像关于点对称；
（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．
【解析】
【分析】（1）由函数的图像关于点对称，可得；
（2）（ⅰ）证明即可；（ⅱ）由在的值域为，设在上的值域为A，问题转化为，先求解，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可.
【小问1详解】
因为函数的图像关于点对称，
则，
令，可得．
【小问2详解】
（ⅰ）证明：由，
得，
所以函数的图像关于对称．
（ⅱ），
则在上单调递增，
所以的值域为，
设在上的值域为A，
对任意，总存在，使得成立，
则，
当时，，
函数图象开口向上，对称轴为，且，
当，即，函数在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，，
所以，
所以，由，可得，解得．
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
结合对称性可得或，
因为，所以，，
又，，
所以，，
所以当时，成立．
当，即时，函数在上单调递减，
由对称性可知在上单调递减，因为，，
所以，所以，由，
可得，解得．
综上所述，实数a的取值范围为．