湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列举法表示集合A，再利用并集的定义求解即得．
【详解】依题意，集合，而，所以．
故选：D
2. 函数的定义域为（ ）
A B. C. D. 2,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式组即得解.
【详解】解：由题得.
所以函数的定义域为.
故选：C
3. 若则一定有
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
详解】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选
4. “m0时的解析式求得时的解析式，进而判定．
【详解】由得，故正确；
当时，，且存在使得，
则时，，，且当有,
∴在上有最大值为1，故正确；
若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；
若时，，则时，，，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
12. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则（ ）
A. 是奇函数B. 是增函数
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出，令可判断A；不妨设可得，根据是奇函数可判断B；令可得，根据单调性可判断CD.
【详解】对于A，令，则；令，则，
为奇函数，故A正确；
对于B，不妨设，则，
，在为增函数，又是奇函数，
在为增函数，故B正确；
对于CD，令，，则，，
故C错误D正确.
故选：ABD.
三、填空题（共4小题，每小题5分，总分20分）
13. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组即可确定函数的定义域.
【详解】函数有意义，则：，解得：，
据此可得：或，
即函数的定义域为：.
【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
14. 设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据不等式的解集求得，得到，再把对任意，恒成立，结合二次函数的性质，转化为恒成立，即可求解.
【详解】由函数，且不等式的解集为，
即是方程两个实数根，
可得，解得，所以，
又由，且，
当时，函数取得最大值，最大值为，
因为对任意恒成立，即恒成立，
解得或，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
15. 已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意不妨令，即可得，令，x∈−∞,0∪0,+∞，即可得到在0,+∞上单调递增，再由及奇偶性得到在0,+∞上的取值情况，从而得到的解集.
【详解】因为对任意的、且，都有成立，
不妨令，则，即，
所以，
令，x∈−∞,0∪0,+∞，
则当且时，，
所以在0,+∞上单调递增，
又函数y=fx是定义域为R的奇函数且，则，
所以，所以当时，gx0，
则当时，，当时，，
又为奇函数，所以当时，，当时，，
所以不等式的解集是.
故答案为：
16. 正实数，满足，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可.
【详解】依题意，因为，
所以，
所以，
即
，
当且仅当，即,故取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可.
四、解答题（共4小题，总分70分）
17. 已知函数，
（1）判断的奇偶性；
（2）用定义证明在0,+∞上为减函数.
【答案】(1)奇函数；(2)证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：
(1)首先确定函数定义域关于坐标原点对称，然后利用可说明是奇函数.
(2)利用函数单调性的定义设设是上的任意两数，且，讨论的符号即可证明函数在上为减函数.
试题解析：
（1）函数的定义域为，
又
∴是奇函数.
（2）证明：设是上的任意两数，且，
则
∵且，
∴
即.
∴在上为减函数.
点睛：判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．
18. 记函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合，
（1）求和；
（2）若，，且中只有三个整数元素，求实数p的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先分别求出函数、的定义域A、B，再利用交集、并集的定义可求出和．
（2）由，得到A与C的关系，即可求出实数的取值范围．
【小问1详解】
令，解得，
可知函数的定义域为集合；
令，解得，
可知函数的定义域为集合；
可得，所以.
【小问2详解】
因为，可知集合不是集合的子集，
由中只有三个整数元素可得，可知，
又因为，则，解得：，
所以实数p的取值范围为．
19. 已知福州地铁号线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为人；当时，载量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记地铁的载客量为.
（1）求的表达式，并求发车时间间隔为分钟时地铁的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元）.问：当地铁发车时间间隔多少时，该线路每分钟的净收益最大？
【答案】（1），发车时间间隔为分钟时地铁的载客量为人.
（2）当地铁发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大.
【解析】
【分析】（1）当时，设，由可求出的值，结合已知条件可得出函数的函数解析式，进而可求得的值；
（2）分、两种情况讨论，求出关于的函数解析式，利用基本不等式以及函数的单调性可求得的最大值及其对应的值，即可得出结论.
【小问1详解】
解：当时，设，则，解得.
由题意可得.
所以，发车时间间隔为分钟时地铁的载客量为（人）.
【小问2详解】
解：当时，
（元），
当且仅当时，等号成立；
当时，，此时函数单调递减，
则，当且仅当时，等号成立.
综上所述，当地铁发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大.
20. 某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元.
（1）写出与的函数关系式，并注明函数定义域；
（2）当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价.
【答案】（1）
（2）当左､右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为14400元
【解析】
【分析】（1）由题意可得屋子前面新建墙体长为米，进而可得函数解析式；
（2）根据（1）中函数解析式，利用基本不等式求最值.
【小问1详解】
由题意可知，总造价为元，左､右两面墙的长度均为米，
则屋子前面新建墙体长为米.
则.
所以.
【小问2详解】
因为，
所以.
当且仅当，即时，等号成立，
所以当左､右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元.