四川省雅安中学2024-2025学年九年级上学期期中教学质量评估数学试题

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一、选择题（每小题4分，共32分）
1． B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A 7.D 8.D
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9． 2 ．
10． ﹣1 ．
11． 3：5 ．
12． ．
13． 30
三、解答题（共48分）
14．（12分）按要求解下列方程：
（1）x2﹣7x+10＝0（因式分解法）；
（2）3x2﹣2x﹣1＝0（求根公式法）；
（3）x2+2x﹣1＝0（配方法）．
解：（1）x2﹣7x+10＝0，
∴（x﹣5）（x﹣2）＝0， 分
∴x﹣5＝0或x﹣2＝0， 分
∴x1＝5，x2＝2； 分
（2）3x2﹣2x﹣1＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， 分
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）＝4+12＝16＞0， 分
∴x＝＝， 分
∴x1＝﹣，x2＝1； 分
（3）x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1， 分
x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2， 分
∴x+1＝，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． 分
15．解：（1）如图所示：△OA1B1即为所求； 分
（2）如图所示：△OA2B2即为所求； 分
（3）△OA2B2的面积＝×5×（2+2）＝10． 分
M（5，0），或M（1，2），或M（-1，-2）。 分
16．：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，
∴△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDH， 分
设AB＝x，BC＝y
∴， 分
解得． 分
答；这棵古松的高约为10.2米 . 分
17．解：（1）本次被调查的学生有：70÷35%＝200（人），
扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：＝72°，
故答案为：200，72°； 分
（2）条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为：200﹣40﹣70﹣30＝60（人），
故答案为：60；
补全条形统计图如下：
分
（3）画树状图如下：
分
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为＝． 分
18．解：（1）∵Δ＝（8+k）2﹣4×8k
＝（k﹣8）2， 分
∵（k﹣8）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取任何实数，方程总有实数根； 分
（2）∵x1+x2＝8+k，x1•x2＝8k，， 分
（x1+x2）2＝x+x+2x1•x2，
∴（8+k）2＝68+16k， 分
解得：k＝±2； 分
（3）解方程x2﹣（8+k）x+8k＝0得x1＝k，x2＝8， 分
①当腰长为5时，则k＝5，
∵5+5＞8，
周长＝8+5+5＝18； 分
②当底边为5时，
∴k＝8，
∵5+8＞8，
∴周长＝5+8+8＝21． 分
四、填空题（每小题4分，共20分）
19． ．
20． ．
21.
22． 10 ．
23．①③④ ．（全对给4分，答对一个给1分，答对2个给2分）。
五、解答题（共30分）
24．解：（1）因为销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，当上涨a元时，销售量减少10a个，可得出销售量为（400﹣10a）个．
故答案为（400﹣10a）个． 分
（2）解：设上涨了a元，根据题意得
（40+a﹣30）（400﹣10a）＝6000， 分
整理得a2﹣30a+200＝0，
解得a1＝10，a2＝20，
由于要尽量让利消费者，故a＝10，
则销售单价为40+10＝50（元）．
答：销售单价应定为50元． 分
（3）解：设销售单价为x元，根据题意得
30×[400﹣10（x﹣40）]≤9000， 分
解得x≥50．
答：销售单价至少应定为50元． 分
25．解：（1）x2﹣6x+14＝x2﹣6x+9+5＝（x﹣3）2+5，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+5≥5，
∴当x＝3时，代数式x2﹣6x+14有最小值是5，
故答案为：3，5； 分
（2）m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25＝（m﹣n）2﹣4（m﹣n）+4+21＝（m﹣n﹣2）2+21，
∵（m﹣n﹣2）2≥0，
∴（m﹣n﹣2）2+21≥21，
∴当m﹣n＝2时，多项式m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25有最小值是21； 分
（3），
由题意得，AQ＝x，BP＝x，则BQ＝3﹣x，CP＝4﹣x， 分
S△QPD＝S长方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△QBP﹣S△CDP＝3×4﹣×x×4﹣×（3﹣x）×x﹣×3×（4﹣x）＝x2﹣2x+6＝（x2﹣4x）+6＝（x2﹣4x+4）+4＝（x﹣2）2+4，即S＝（x﹣2）2+4， 分
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+4≥4，
∴当x＝2时，S有最小值是4． 分
26．（
．
解：（1）∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∠ACO＝∠CBO，
∴△AOC∽△COB，
∴，
∵OA＝1，OB＝4，
∴OC＝2，点C坐标为（0，﹣2）， 分
∴直线BC的解析式为； 分
（2）①设点D的坐标为．
如图1所示，作SD∥y轴，AK∥y轴，分别交直线BC于点S、点K． 分
∵，
∴，
∵∠OHK＝∠SHD，∠HAK＝∠HDS，
∴△AHK∽△DHS，
∴＝＝，
∵A（﹣1，0），D，
∴，，
∴，
∴＝，则m＝，
∴D1（，﹣）． 分
如图2所示，作SD∥y轴，HT∥y轴，分别交x轴于点S、点T．
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵SD∥y轴，HT∥y轴，
∴∠DSA＝∠HTA，∠HAS＝∠HAT，
∴△ADS∽△AHT，
∴，
∵A（﹣1，0），D，
∴，
∴代入得，
∴．
综上所述，满足条件的点D坐标为（，﹣）或（，）； 分
（3）如图3﹣1中，当∠NBM＝90°时，设直线BN交y轴于点D．
∴直线l2∥BC，
∴直线l2的解析式为y＝x，
∵直线l1交y轴于点K（0，﹣6），
∴OK＝6，
∵△BOD∽△KOB，
∴＝，
∴＝，
∴OD＝，
∵直线BN的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴（，）． 分
如图3﹣2中，
由，解得，
∴G（6，3），
取点P（0，7），连接PG，PB，交PB交直线l2于点N，作NM⊥BG于点M，则BG＝，PG＝2，PB＝，
∴PB2＝PG2+BG2，
∴∠PGB＝90°，tan∠PBG＝2，
∵tan∠CAB＝2，
∴tan∠NBM＝tan∠CAB，
∴∠NBM＝∠CAB，
∴△BNM∽△ABC，
∵直线PB的解析式为y＝﹣x+7，
由解得，
∴N（，）， 分
如图3﹣3中，取BK的中点L（2，﹣3），J（﹣4，1），连接BL，JL，JL 交直线l2于点N，作NM⊥BK于M，
同法可证，△NMB∽△BCA，
∵直线BJ的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴N（，）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（，）或（，）或（，）．分