广西初中名校2024-2025学年九年级上学期第二阶段素质评价（11月期中）数学试题 （解析版）-A4

这是一份广西初中名校2024-2025学年九年级上学期第二阶段素质评价（11月期中）数学试题 （解析版）-A4，共20页。

注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 抛物线的对称轴是（ ）
A. x轴B. y轴C. 直线D. 直线
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据抛物线的对称轴是直线，即轴，作答即可．
【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴是直线，即轴，
故选：B．
2. 已知，则下列结论一定成立的是（ ）
A. ，B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质．利用“两内项之积等于两外项之积”是解题的关键．
根据比例的基本性质以及合比性质进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．由，不一定得到，，故本选项错误；
B．由，不一定得到，故本选项错误；
C．由，可得；
由，可得，
∴，故本选项正确；
D．由，可得；
由，可得，故本选项错误．
故选：C．
3. 已知反比例函数，则下列点在该图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握和运用判断点是否在函数图象上方法是解决本题的关键．把各点的坐标分别代入解析式，即可一一判定．
【详解】解：A．当时，，故该点在此函数图象上，符合题意；
B．当时，，故该点不在此函数图象上，不符合题意；
C．当时，，故该点不在此函数图象上，不符合题意；
D．当时，，故该点不在此函数图象上，不符合题意．
故选：A．
4. 如图，在中，，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由，可得，证明，则，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5. 若反比例函数图象的每一支上，当时，．则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，依据题意，由反比例函数的图象与性质进行判断可以得解．
【详解】解：由题意，∵反比例函数图象的每一支上，
∵当时，，
∴y随x的增大而减小，
∴，
∴，
故选：D．
6. 如图，，，相交于点E，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．利用平行线证明三角形相似，得到相似三角形的周长比等于对应边的比求解即可．
【详解】解：，
，，
，
，
，，
，
设的三边分别为a、b、c，的三边分别为A、B、C，
则，
与的周长比；
故选：A．
7. 如图，是斜边上的高，，，则的长为（ ）
A. 13B. 14C. 16D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键．
根据题意，可得，，可证，得到，则有，由此即可求解．
【详解】解：∵是直角三角形，，是斜边上的高，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
故选：D ．
8. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据二次函数的图象与x轴有交点时，方程有解，进而可求解．
【详解】解：令（，a，b，c为常数），
当时，，
当时，，
时，二次函数的图象与x轴有一个交点，
即方程的一个解x的范围是，
故选C．
9. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性．先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴不等式的解集是．
故选：A．
10. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴的交点与的符号有关，可得答案．
【详解】解：∵二次函数的图象和轴有交点，
∴，且，
∴且，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，明确的符号决定了抛物线与x轴的交点个数是解题的关键．
11. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
根据已知及相似三角形的判定逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴即，
∴A，B，D都可判定，
选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似．
故选：C．
12. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 反比例函数的图象在二、四象限内，请写出一个满足条件的反比例函数表达式__________．
【答案】（答案不唯一，k小于0即可）
【解析】
【分析】反比例函数图像位于二四象限，只要满足k<0即可．
【详解】解：当反比例函数的图象在二、四象限内时．
k<0．
∴该函数可以为：．
故答案为：（答案不唯一，k<0即可）．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，当k＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限内；当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限内．
14. 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．
【答案】直线x＝2
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，计算横坐标的和除以2即可得到对称轴．
【详解】∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，
∴这两点一定关于对称轴对称，
∴对称轴是：x==2，
故答案为：直线x=2．
【点睛】此题考查了抛物线的性质，抛物线上两个点的纵坐标相等时，这两个点关于对称轴对称．
15. 已知线段，，则的比例中项是______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了线段的比，根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么 b 叫做 a 与 c 的比例中项．设线段 m，n 的比例中项为 x，根据比例中项的定义可知，，代入数据可直接求得 x的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【详解】解：设线段 m，n 的比例中项为 x，
∵x是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴，
即，
∴（负数舍去）．
故答案为：4．
16. 如图，在中，是中线，，，则线段的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了中线的性质，相似三角形有判定和性质，理解相似三角形的判定和性质是解答关键．
根据中线得到，由题意易得，最后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：是中线，，
．
，，
，
，
，
，
（负值舍去）．
故答案为：．
17. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度V（单位：）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时的速度为25，则所受阻力F为________N．
【答案】2400
【解析】
【分析】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键．
根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值．
【详解】解：设功率为，由题可知，即，
将，代入得，
解得，
∴反比例函数为：，
将代入得
得，
故答案为：2400．
18. 如图，在中，，，P是的中点，过点P的直线交于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则的长为________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似分情况讨论，分别根据对应边比例相等列方程求的长即可．
【详解】解：∵，P是的中点，
∴，
∵以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，，
∴当时，，即，解得；
当时，，即，解得；
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明或演算步骤．）
19. 如图，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于一点，其中点B的坐标为1,0，求点A的坐标和抛物线的解析式．
【答案】点A的坐标为，抛物线的解析式为
【解析】
【分析】本题主要待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的对称轴，对称性，掌握待定系数，二次函数图象的性质是解题的关键．
根据对称轴直线为，可得，根据A，B两点关于对称轴对称，可得，把代入，运用待定系数法即可求解．
【详解】解：∵对称轴为，
∴，
解得：，
∵ 抛物线与x轴相交于A，B两点，
∴A，B两点关于对称轴对称，且，
∴，
∵抛物线经过点B，
∴把1,0代入，
解得，．
∴抛物线解析式为，点A的坐标为．
20. 如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，2,1．
（1）若以点为位似中心在轴的左侧将缩放，使得相似比为：，求作；
（2）分别写出，两点的对应点，的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似图形的性质得出位似图形对应点的位置．
（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而即可画图；
（2）利用题（1）所画出的图形得出对应点的坐标．
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求；
【小问2详解】
解：∵，两点的坐标分别为，和的位似比为．
∴．
21. 某反比例函数的图象如图所示，点A是图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C，若长方形面积为12．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若，是该图象上的两点，比较m，n的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
（1）设点A的坐标为，根据反比例函数系数k的几何意义即可得出结论；
（2）首先由，得到在每个象限内，y随x的增大而增大，进而求解即可．
【小问1详解】
解：设点A的坐标为，
设反比例函数的解析式为．
∵长方形面积为12，
∴，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵，
∴．
22. 如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：________，________；
（2）判断与是否相似？并证明你的结论．
【答案】（1）；
（2），证明见解析
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出；
（2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出．
【小问1详解】
解：如图所示，取格点G，连接，，
由网格得，点G，A，C三点共线
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴
∴；
由勾股定理得，；
【小问2详解】
解：∵在中，，，，
∵在中，，，
∴
∴．
23. 如图，在矩形中，为上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点．
（1）求证：；
（2）若，，求折痕的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由矩形性质可得，由翻折的性质可得，进而推出，即可得证；
（2）由题意可知，，勾股定理得出，根据相似三角形的性质可得，再根据勾股定理计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：由矩形得．由折叠易得，
∴，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：在矩形中，．
在中，，
∴．
∵，
∴，即，
解得，；
在中，根据勾股定理得，．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
24. 如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与不等式，理解反比例函数的图象和性质是解答关键．
（1）将点代入中来求解；
（2）根据反比例函数和正比例函数的性质求出点的坐标，再利用对称轴求出点的坐标，最后利用三角形面积公式求解；
（3）根据反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 利用图象来求解不等式的解集．
【小问1详解】
解：把点代入得：
，
∴，
∴反比例函数的解析式为 ．
【小问2详解】
解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，
∴，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
∴．
∴．
【小问3详解】
解：反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，
所以根据图象得：不等式的解集为或．
25. 二次函数的图象经过点，，经过点B，且与二次函数交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点N是二次函数图象上一点（点N在上方），过N作轴，垂足为点P，交于点M，求的最大值及此时点N的坐标．
【答案】（1）
（2）的最大值为，
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式、求二次函数的最值等知识点．根据一次函数和二次函数表示出M、N的坐标是解题的关键．
（1）根据待定系数法求得的值即可解答；
（2）先根据待定系数法求得b得到直线的解析式，设，则，则，从而求得最大值．
【小问1详解】
解：二次函数的图象经过点，，
∴，．
∴二次函数的表达式为．
【小问2详解】
解：∵经过点，
∴，解得：．
∴．
设，则，
∴，
∴当时，有最大值为，
此时．
26. 科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：
这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
（1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．
【答案】（1）；（2）－1℃；（3）．
【解析】
【详解】解：（1）选择二次函数，设，
得，解得
∴关于的函数关系式是．
（2）由（1），得，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为50．
即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．
（3）由题意得：y＞25，
即：-x2-2x+49＞25，
x
3.23
3.24
3.25
3.26
0.03
0.09
温度/℃
……
－4
－2
0
2
4
4.5
……
植物每天高度增长量/mm
……
41
49
49
41
25
19.75
……