广东省东莞市东华初级中学 2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省东莞市东华初级中学 2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30B．27C．35D．40
3．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝36°，AB＝AC，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A．36°B．54°C．72°D．108°
4．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝a，AC＝b，则AB的长是（ ）
A．2bB．bC．aD．2a
5．（3分）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CDD．以上答案都不对
6．（3分）计算：（﹣ab2）3＝（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么，从这个多边形的对角线的条数是（ ）
A．9条B．54条C．27条D．6条
8．（3分）四边形ABCD中，AB＝BC＝5，∠B＝60°，CD＝7，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜10B．2＜AD＜12C．1＜AD＜5D．1＜AD＜6
9．（3分）如图所示，AP平分∠BAC，点M，N分别在边AB，AC上，如果添加一个条件，即可推出AM＝AN，那么下面条件不正确的是（ ）
A．PM＝PNB．∠APM＝∠APNC．MN⊥APD．∠AMP＝∠ANP
10．（3分）如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（ ）
A．160°B．140°C．130°D．125°
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，a）与点Q（b，3）关于x轴对称，则a+b的值为 ．
12．（3分）已知2x＝6，4y＝5，那么2x+2y的值是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是 ．
14．（3分）如图∠A＝40°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 ．
15．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E．若∠DBC＝15°，则∠A＝ ．
16．（3分）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别是AC和BC上的中点，点F是BD上的一个动点，当CF+EF取到最小值时，∠FCB的度数是 ．
三、解答题（本题共9小题，共52分）
17．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
18．（4分）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC，求证：△ABC≌△ADE．
19．（4分）尺规作图：已知∠AOB及边OB上有一点Q．
求作：点P，使PO＝PQ，且P到OA、OB的距离相等．（不要求写作法，保留作图痕迹）
20．（5分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且AE＝AF，求证：∠EDB＝∠FDC．
21．（6分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．
22．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是边AB的中点，点E、F分别在边BC、AC上，且EF＝EC，DF＝DA．
求证：点D在∠BEF的平分线上．
23．（7分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）将△ABC沿y轴翻折，则翻折后点A的对应点的坐标是 ．
（2）若△DBC与△ABC全等，请画出符合条件的△DBC（点D与点A重合除外），并直接写出点D的坐标．
24．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
25．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且△ABE≌△CAD，线段AD与线段BE相交于F．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若连接CF，且CF⊥BE．求证：2AF＝BF．
2023-2024学年广东省东莞市东华初级中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30B．27C．35D．40
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝30，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝36°，AB＝AC，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A．36°B．54°C．72°D．108°
【分析】根据等腰三角形的性质和垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝36°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝a，AC＝b，则AB的长是（ ）
A．2bB．bC．aD．2a
【分析】先求出∠A＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝a，
∴AB＝2BC＝2a．
故选：D．
【点评】考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，关键是求出∠A＝30°．
5．（3分）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CDD．以上答案都不对
【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，则可得AB垂直平分CD．
【解答】解：∵AC＝AD，
∴点A在CD的垂直平分线上，
∵BC＝BD，
∴点B在CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．
故选：C．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（3分）计算：（﹣ab2）3＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝（﹣）3•a3•（b2）3＝﹣a3b6，
故选：B．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则是解题关键．
7．（3分）一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么，从这个多边形的对角线的条数是（ ）
A．9条B．54条C．27条D．6条
【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于140°，
∴每个外角是180°﹣140°＝40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°＝9，
∴这个多边形所有对角线的条数是：n（n﹣3）÷2＝9×（9﹣3）÷2＝27．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的外角和及对角线的知识点，找出它们之间的关系是本题解题关键．
8．（3分）四边形ABCD中，AB＝BC＝5，∠B＝60°，CD＝7，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜10B．2＜AD＜12C．1＜AD＜5D．1＜AD＜6
【分析】连接AC，先根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等得出AC的长，最后根据三角形三边关系定理即可求出AD的取值范围．
【解答】解：如图，连接AC，
∵AB＝BC＝5，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝5，
在△ACD中，CD﹣AC＜AD＜CD+AC，
∴7﹣5＜AD＜7+5，
∴2＜AD＜12，
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握这些定理是解题的关键．
9．（3分）如图所示，AP平分∠BAC，点M，N分别在边AB，AC上，如果添加一个条件，即可推出AM＝AN，那么下面条件不正确的是（ ）
A．PM＝PNB．∠APM＝∠APNC．MN⊥APD．∠AMP＝∠ANP
【分析】根据已知条件结合三角形全等的判定方法，验证各选项提供的条件是否能证△APM≌△APN即可．
【解答】解：∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，
A、由∠BAP＝∠CAP，PM＝PN，AP＝AP，不能判定△APM≌△APN，
∴不推出AM＝AN，故选项A符合题意；
B、由∠BAP＝∠CAP，AP＝AP，∠APM＝∠APN，能判定△APM≌△APN（ASA），
∴AM＝AN，故选项B不符合题意；
C、∵MN⊥AP，
∴∠APM＝∠APN＝90°，
又由∠BAP＝∠CAP，AP＝AP，能判定△APM≌△APN（ASA），
∴AM＝AN，故选项C不符合题意；
D、由∠BAP＝∠CAP，AP＝AP，∠AMP＝∠ANP，能判定△APM≌△APN（AAS），
∴AM＝AN，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（ ）
A．160°B．140°C．130°D．125°
【分析】连接CO，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OC，进而得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：连接CO，
∵∠AOB＝140°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°，
∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°，
∵O是三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCA+∠OCB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝55°，
∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，a）与点Q（b，3）关于x轴对称，则a+b的值为 ﹣5 ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点P（﹣2，a）与点Q（b，3）关于x轴对称，
∴b＝﹣2，a＝﹣3，
∴a+b＝﹣3﹣2＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．（3分）已知2x＝6，4y＝5，那么2x+2y的值是 30 ．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出结果．
【解答】解：∵2x＝6，4y＝5，
∴2x+2y
＝2x•22y
＝2x•（22）y
＝2x•4y
＝6×5
＝30．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是 12 ．
【分析】作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得DE＝DC＝3，然后根据三角形的面积公式计算S△ABD．
【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝×8×3＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
14．（3分）如图∠A＝40°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 220° ．
【分析】根据三角形内角和定理及对顶角的性质得∠BFC+∠DHE＝∠AFH+∠AHF＝140°，∠B+∠C＝180°﹣∠BFC，∠D+∠E＝180°﹣∠AHF，由此可得出∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【解答】解：如图所示：
在△AFH中，∠A＝40°，
∴∠AFH+∠AHF＝180°﹣∠A＝140°，
∵∠BFC＝∠AFH，∠DHE＝∠AHF，
∴∠BFC+∠DHE＝∠AFH+∠AHF＝140°，
在△BCF中，∠B+∠C＝180°﹣∠BFC，
在△DEH中，∠D+∠E＝180°﹣∠AHF，
∴∠B+∠C+∠D+∠E＝360°﹣（∠BFC+∠DHE）＝220°．
故答案为：220°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．
15．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E．若∠DBC＝15°，则∠A＝ 50° ．
【分析】设∠A＝x，由DE垂直平分线AB得到AD＝BD，从而证得∠ABD＝∠A＝x，所以∠ABC＝15+x，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和列方程求解．
【解答】解：设∠A＝x，
∵DE垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x，
∴∠ABC＝15°+x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝15°+x，
在△ABC中，根据三角形内角和等于180°得，
15°+x+15°+x+x＝180°，
解得x＝50°．
故答案为：50°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题时注意方程思想的应用．
16．（3分）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别是AC和BC上的中点，点F是BD上的一个动点，当CF+EF取到最小值时，∠FCB的度数是 30° ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到BD⊥AC，推出BD垂直平分AC，得到点C与点A关于BD对称，连接AE交BD于F，则此时CF+EF的值最小，根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝30°，AE⊥BC，求得∠CFE＝∠CAF+∠ACF＝60°，得到∠FCB＝30°．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，点D是AC和BC上的中点，
∴BD⊥AC，
∴点C与点A关于BD对称，
连接AE交BD于F，则此时CF+EF的值最小，
∵BD垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∵点E是BC上的中点，
∴∠CAE＝∠BAC＝30°，AE⊥BC，
∴∠ACF＝∠CAF＝30°，∠AEC＝90°，
∴∠FCB＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共52分）
17．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
n﹣2＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
18．（4分）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC，求证：△ABC≌△ADE．
【分析】先根据∠BAE＝∠DAC得到∠BAC＝∠DAE，结合AB＝AD，AC＝AE即可证明△ABC≌△ADE．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE，
即∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．
19．（4分）尺规作图：已知∠AOB及边OB上有一点Q．
求作：点P，使PO＝PQ，且P到OA、OB的距离相等．（不要求写作法，保留作图痕迹）
【分析】∠AOB的平分线和OQ的垂直平分线，两直线相交于点P，作∠AOB外角平分线交OQ的垂直平分线于点P′．
【解答】解：如图，点P和点P′为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
20．（5分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且AE＝AF，求证：∠EDB＝∠FDC．
【分析】连接AD，易证Rt△AED≌Rt△AFD，可得∠ADE＝∠ADF，根据等腰三角形三线合一性质即可求得∠EDB＝∠FDC．
【解答】证明：连接AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD．（HL）
∴∠ADE＝∠ADF，
∵∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠EDB＝∠FDC．
【点评】本题考查了全等三角形判定，考查了全等三角形对应角相等性质，本题中求证Rt△AED≌Rt△AFD是解题的关键．
21．（6分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．
【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB＝OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE＝DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
【解答】证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．
22．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是边AB的中点，点E、F分别在边BC、AC上，且EF＝EC，DF＝DA．
求证：点D在∠BEF的平分线上．
【分析】连接ED，利用三角形的内角和和角平分线的性质解答即可．
【解答】证明：连接ED，
∵EF＝EC，DF＝DA，
∴∠C＝∠CFE，∠A＝∠AFD，
∵∠B＝90°，
∴∠C+∠A＝90°，
∴∠CFE+∠AFD＝90°，
∴∠DFE＝90°，
∵AD＝DB，
∴DB＝DF，
∴点D在∠BEF的平分线上．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是利用三角形的内角和和角平分线的性质解答．
23．（7分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）将△ABC沿y轴翻折，则翻折后点A的对应点的坐标是 （2，3） ．
（2）若△DBC与△ABC全等，请画出符合条件的△DBC（点D与点A重合除外），并直接写出点D的坐标．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出翻折后的△A′B′C′，写出A′点的坐标即可；
（2）画出△DBC，并写出D点坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示：（2，3）；
（2）如图所示；D1（﹣5，3），D2（﹣2，﹣3），D3（﹣5，﹣3）．
【点评】本题考查的是轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
24．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD＝BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数．
（2）由△CBD的周长为20，推出AC+BC＝20，根据AB＝2AE＝12，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．
（2）∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵BC+BD+DC＝20，
∴AD+DC+BC＝20，
∴AC+BC＝20，
∵AB＝2AE＝12，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
25．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且△ABE≌△CAD，线段AD与线段BE相交于F．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若连接CF，且CF⊥BE．求证：2AF＝BF．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝∠C，进而得AB＝BC，则AB＝AC＝BC，由此可得出结论；
（2）延长AD到P，使FP＝BF，连接BP，CP，先证明∠BFP＝60°得△FBP是等边三角形，则BF＝BP＝FP，∠FBP＝∠BPF＝60°，再证明△ABF和△CBP全等得AF＝CP，∠CPB＝∠AFB＝120°，然后通过计算得∠FPC＝60°，∠CFP＝30°，∠FCP＝90°，进而得FP＝2CP，由此即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵△ABE≌△CAD，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C，
∴AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）延长AD到P，使FP＝BF，连接BP，CP，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝60°，
∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BFP＝∠ABE+∠BAF＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°，
又∵FP＝BF，∠BFP＝60°，
∴△FBP是等边三角形，
∴BF＝BP＝FP，∠FBP＝∠BPF＝60°，
∴∠ABC＝∠FBP＝60°，
∴∠ABF+∠FBC＝∠FBC+∠CBP，
∴∠ABF＝∠CBP，
在△ABF和△CBP中，
，
∴△ABF≌△CBP（SAS），
∴AF＝CP，∠CPB＝∠AFB＝180°﹣∠BFP＝120°，
∴∠FPC＝∠CPB﹣∠BPF＝120°﹣60°＝60°，
∵CF⊥BE，∠BFP＝60°，
∴∠CFP＝90°﹣∠BFP＝30°，
∴∠FCP＝180°﹣（∠FBC+∠CFP）＝90°，
在Rt△FPC中，∠CFP＝30°，
∴FP＝2CP，
∴BF＝2AF，
即2AF＝BF．
【点评】本题考查了全等三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键