2024年广东省深圳市深中联盟中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年广东省深圳市深中联盟中考数学模拟试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“祖”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A．繁B．荣C．昌D．盛
2．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）某校“校园之声”社团招新时，需考查应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目，布布的三个项目得分分别为85分、90分、92分．若评委按照应变能力占20%，知识储备占30%，朗读水平占50%计算加权平均数来作为最终成绩，则布布的最终成绩为（ ）
A．85分B．89分C．90分D．92分
4．（3分）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15B．65C．70D．115
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3B．10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2b2
C．2ab2•（﹣3ab）＝﹣6ab3D．（ab2）3＝ab6
6．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．在圆中，平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
B．顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形是菱形
C．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则
D．相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形
7．（3分）古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐5人，2车空出来；每车坐3人，多出10人无车坐．问人数和车数各多少？设共有x人，y辆车，则可列出的方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）为争创全国文明城市，我市开展市容市貌整治行动，增加了许多市民露营地．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图1），其截面示意图是轴对称图形（如图2），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳部分用绳子拉直，分别记为AC，AD，且AC＝AD＝2，∠CAD的度数为140°，则此时“天幕”的宽度CD是（单位：米）（ ）
A．4sin70°B．4cs70°C．2sin20°D．2cs20°
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（5，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①b＞0；②a+c＜b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④无论m为何值时，am2+bm≤4a+2b．其中正确个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B＝60°，动点P从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：4xy2﹣4xy+x＝ ．
12．（3分）a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣2a2+2a的值是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠DAE＝ 度．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，反比例函数，x＞0）的图象经过点C，交AB于点D，若sinB＝，S△OCD＝6，则k值为 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD的长，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，展开后，再将∠C折到∠DFE的位置，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则折痕DE＝ ．
三、解答题（本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：．
17．（7分）先化简，再从﹣1，0，中选取适合的数字求这个代数式的值．
18．（7分）某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据（单位：min），并对数据进行了整理、描述，部分信息如下：
a．每天在校体育锻炼时间分布情况：
b．每天在校体育锻炼时间在80≤x＜90这一组的是：80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，84，84，84，85，85，85，85，85，85，85，85，86，87，87，87，87，87，88，88，88，89，89，89，89，89．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m＝ ，n＝ ．
（2）若该校共有1000名学生，估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数；
（3）该校准备确定一个时间标准p（单位：min），对每天在校体育锻炼时间不低于p的学生进行表扬．若要使25%的学生得到表扬，则p的值可以是 ．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BE＝1，BF＝2，求AD的长．
20．（8分）2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍．
（1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？
（2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？
21．（9分）【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间．
素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
【项目任务】
任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高EF＝3米，距离喷水口OE＝4米．求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围．
任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（直接写出答案，精确到0.1米）．
22．（10分）【综合与实践】
【问题背景】
在四边形ABCD中，E是CD边上一点，延长BC至点F使得CF＝CE，连接DF，延长BE交DF于点G．
【特例感知】
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形时，
①求证：△BCE≌△DCF；
②当G是DF中点时，∠F＝ 度；
【深入探究】
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AB＝2，当G为DF的中点时，求CE的长；
【拓展提升】
（3）如图3，若四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，点H在BE的延长线上，且满足BE＝5EH，当△EFH是直角三角形时，请直接写出CE的长．
2024年广东省深圳市深中联盟中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分）
1．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“祖”与面“盛”相对，面“国”与面“荣”相对，面“繁”与面“昌”相对．
故选：D．
【点评】本题考查了正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
2．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称；熟练掌握知识点是解题的关键．
3．【分析】根据加权平均数的求法可以求得布布的最终成绩．
【解答】解：根据题意得：
85×20%+90×30%+92×50%＝90（分），
∴布布的最终成绩是9（0分）．
故选：C．
【点评】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
4．【分析】根据已知易得：AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC＝60°，再利用三角形内角和定理可得∠ACB＝70°，最后根据内错角相等，两直线平行可得当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，即可解答．
【解答】解：∵AB∥l，CD∥l，
∴AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
5．【分析】根据单项式的乘除法则，幂的乘方与积的乘方法则一一计算判断即可．
【解答】解：A、a3•a3＝a6，原计算错误，不符合题意；
B、10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2b2，正确，符合题意；
C、2ab2•（﹣3ab）＝﹣6a2b3，原计算错误，不符合题意；
D、（ab2）3＝a3b6，原计算错误，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是单项式的乘除法则，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上运算法则是解题的关键．
6．【分析】根据菱形的判定方法、相似图形、中点四边形和黄金分割点判断即可．
【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原命题是假命题；
B、顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直，原命题是假命题；
C、已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞AB，若AB＝2，则AC＝−1，原命题是假命题；
D、位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形，原命题是真命题；
故选：D．
【点评】此题考查了菱形的判定、命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法、相似图形、中点四边形的知识，难度不大．
7．【分析】根据每车坐5人，2车空出来，可列方程5（y﹣2）＝x，根据每车坐3人，多出10人无车坐可列方程3y+10＝x，即可得到相应的方程组．
【解答】解：根据题意，可列方程组为：．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
8．【分析】根据正弦的定义，即可求解．
【解答】解：∵AC＝AD＝2，对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，∠CAD的度数为140°，
∴CE＝DE，，
∵，
∴CE＝AC•sin∠CAE＝2⋅sin70°
∴CD＝2CE＝4sin70°，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，三线合一的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据x＝2即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；把解析式化成交点式即可判断③；根据函数的最值即可判断④．
【解答】解：∵抛物线的开口方向下，
∴a＜0；
∵对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
即b＝﹣4a＞0，
故结论①正确；
∵函数图象经过点（5，0），对称轴为直线 x＝2，
∴抛物线还过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，即a+c＝b，
故结论②不正确；
∵抛物线过点（﹣1，0），（5，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣5），
多项式ax2+bx+c可因式分解为 a （x+1）（x﹣5），
故结论③不正确；
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝2时，
y有最大值：y＝4a+2b+c，
∴无论m为何值时，
则有am2+bm+c≤4a+2b+c，
∴am2+bm≤4a+2b，
故结论④正确，
故选：B．
【点评】三题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数的表现形式，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质是解题的关键．
10．【分析】易得点P运动的路程为3x cm，点Q运动的路程为x cm．当0≤x≤1时，点P在线段BC上，点Q在线段AB上，过点Q作QE⊥BC于点E，求得QE的长度，然后根据面积公式可得y与x关系式；当点P在线段CD上时，1＜x≤2，BQ边上的高是AB和CD之间的距离，为，根据面积公式可得y与x之间的关系式；当点Q在线段AD上时，2＜x≤3，作出BQ边上的高，利用三角形的面积公式可得y与x的关系式．然后根据各个函数解析式可得正确选项．
【解答】解：∵点P的速度是3cm/s，点Q的速度为1cm/s，运动时间为x（s），
∴点P运动的路程为3x cm，点Q运动的路程为x cm．
①当0≤x≤1时，点P在线段BC上，点Q在线段AB上．
过点Q作QE⊥BC于点E，
∴∠BEQ＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠BQE＝30°．
∴BE＝x cm．
∴QE＝x cm．
∴S△BPQ＝BP•QE＝×3x•x＝x2（cm2）．
∴y＝x2（0≤x≤1）．
∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象，排除B；
②当1＜x≤2时，点P在线段CD上，点Q在线段AB上．
过点C作CF⊥AB于点F，则CF为△BPQ中BQ边上的高．
∴∠BFC＝90°．
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCF＝30°．
∵BC＝3cm，
∴BF＝cm．
∴CF＝cm．
∴S△BPQ＝BQ•CF＝x•＝x（cm2）．
∴y＝x（1＜x≤2）．
∴此段函数图象为y随x的增大而增大的正比例函数图象，故排除A；
③当2＜x≤3时，点P在线段AD上，点Q在线段AB上．
过点P作PM⊥AB于点M．
∴∠M＝90°．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
∵∠ABC＝60°，
∴∠MAP＝60°．
∴∠APM＝30°．
由题意得：AP＝（9﹣3x）cm．
∴AM＝cm．
∴PM＝cm．
∴S△BPQ＝BQ•PM＝x•＝（cm2）．
∴y＝．
∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象．
故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象．根据拐点得到各个自变量范围内的函数解析式是解决本题的关键．用到的知识点为：30°的直角三角形三边比是1：：2．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【分析】首先提取公因式x，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝x（4y2﹣4y+1）
＝x（2y﹣1）2，
故答案为：x（2y﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2﹣a﹣1＝0，再把2024﹣2a2+2a＝2024﹣2（a2﹣a），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2﹣x+1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1，
∴2024﹣2a2+2a＝2024﹣2（a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．【分析】利用基本作图得到DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，则DB＝DA，∠DAE＝∠DAC，所以∠DAB＝∠B＝40°，再利用三角形内角和计算出∠BAC＝90°，则∠DAC＝50°，从而得到∠DAE＝25°．
【解答】解：由作图痕迹得DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，
∴DB＝DA，∠DAE＝∠DAC，
∴∠DAB＝∠B＝40°，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAE＝×50°＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
14．【分析】连接CD，过点C作CH⊥x轴交于点H，根据三角比表示出点C的坐标，利用S△OCD的面积和菱形的性质求出菱形的面积，列出关于a的方程，解出a的值，利用反比例图象的性质求出k值．
【解答】解：如图，连接CD，过点C作CH⊥x轴交于点H，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠B＝∠COA，OC＝OA，
∴SinB＝Sin∠COA＝＝，
设CH＝2a，OC＝3a，OA＝3a，
在Rt△OCH中，
OH＝＝a，
∴C（a，2a），
∵S△ODC＝6，
∴S菱形OABC＝2S△ODC＝12，
∴OA×CH＝3a×2a＝6a2＝12，（a＞0），
解得a＝，
∴C（，2），
∵点C在反比例函数上，
∴k＝×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题以反比例函数为背景考查了反比例函数图象上点的坐标特征，考查学生反比例函数与几何的综合运用能力，掌握菱形的性质及直角三角形的边角关系，求出点C的坐标是解决问题的关键．
15．【分析】过点F作FG⊥AD于点G，交BC于点H，由矩形的性质得AD＝BC＝，可证明AB∥GH∥DC，DF＝AF＝QF，则＝＝＝1，求得AG＝DG＝BH＝CH＝，由折叠得DQ＝CQ，DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°，则DF＝AF＝QF＝DC＝2DQ，所以AQ＝2QF＝4DQ，由AD＝DQ＝，得DQ＝CQ＝1，则GH＝DC＝2DQ＝2，GF＝DQ＝，求得FH＝，再证明∠HFE＝∠GDF，则＝tan∠HFE＝tan∠GDF＝，求得HE＝，则CE＝CH﹣HE＝，所以DE＝＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：过点F作FG⊥AD于点G，交BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝，
∴AD＝BC＝，AD∥BC，AB∥CD，∠DGF＝∠FHE＝∠FHB＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，
∴AB∥GH∥DC，
∵F是AQ的中点，
∴DF＝AF＝QF，
∴＝＝＝1，
∴AG＝DG＝AD＝，BH＝CH＝BC＝，
由折叠得DQ＝CQ，DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°，
∴DF＝AF＝QF＝DC＝2DQ，
∴AQ＝2QF＝4DQ，
∴AD＝＝＝DQ＝，
∴DQ＝CQ＝1，
∵四边形CDGH是矩形，
∴GH＝DC＝2DQ＝2，GF＝DQ＝，
∴FH＝GH﹣GF＝2﹣＝，
∵∠HFE＝∠GDF＝90°﹣∠DFG，
∴＝tan∠HFE＝tan∠GDF＝，
∴HE＝＝＝，
∴CE＝CH﹣HE＝﹣＝，
∴DE＝＝＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝4×﹣2++1﹣3+9
＝8
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17．【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再从﹣1，0，中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝x（x+1），
∵x+1≠0，x≠0，
∴x≠﹣1，0，
∴x＝，
当x＝时，原式＝（+1）＝2+．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．【分析】（1）根据频率＝进行计算即可；
（2）求出样本中，体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数所占的百分比，进而总体中体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数所占的百分比，再由频率＝进行计算即可；
（3）求出体育锻炼时间在前25%的学生人数，再根据所列举出的数据进行判断即可．
【解答】解：（1）调查人数为：14÷14%＝100（人），m＝40÷100×100%＝40%，n＝100×11%＝11，
故答案为：40%，11；
（2）1000×（35%+11%）＝460（名），
答：该校1000名学生中每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生大约有460名；
（3）所调查的人数中，体育锻炼时间大于90分钟的有11人，在80≤x＜90的有35人，
根据所列举的数据可知，p＝86，
故答案为：86．
【点评】本题考查频数分布表，掌握频率＝是正确解答的前提．
19．【分析】（1）根据已知条件证得OD∥AC即可得到结论；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，构建矩形ODEH，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD＝EH，OH＝DE，
∵OF＝OB，
∴BH＝FH＝1，
∴OD＝EH＝EH＝2，
∴AB＝2OD＝4，OH＝＝，
∴DE＝OH＝，
∴BD＝＝2，
∴AD＝＝＝2．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质．解题的关键：（1）熟练掌握切线的判定；（2）利用勾股定理构建方程求出AH．
20．【分析】（1）设使用A材料生产的吉祥物的单价为x元/个，则使用B材料生产的吉祥物的单价为（x+50）元/个，利用数量＝总价÷单价，结合用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出使用A材料生产的吉祥物的单价，再将其代入（x+50）中，即可求出使用B材料生产的吉祥物的单价；
（2）设该学校此次购买y个使用B材料生产的吉祥物，则购买（50﹣y）个使用A材料生产的吉祥物，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设使用A材料生产的吉祥物的单价为x元/个，则使用B材料生产的吉祥物的单价为（x+50）元/个，
根据题意得：＝×4，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+50＝50+50＝100（元/个）．
答：使用A材料生产的吉祥物的单价为50元/个，使用B材料生产的吉祥物的单价为100元/个；
（2）设该学校此次购买y个使用B材料生产的吉祥物，则购买（50﹣y）个使用A材料生产的吉祥物，
根据题意得：50×0.9（50﹣y）+100×（1+20%）y≤3000，
解得：y≤10．
答：该学校此次最多可购买10个使用B材料生产的吉祥物．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．【分析】（1）抛物线经过的点A的坐标为（0，），点F的坐标为（4，3），点D的坐标为（8，0），设抛物线的解析式为：y＝ax2+x+c（a≠0），把点A、F、D的坐标代入抛物线，求得a，b，c的值，即可得到水柱所在抛物线的函数解析式；
（2）y取农民的身高，求得x的值即为这位农民与喷水口的水平距离，即可求得p的取值范围；
（3）薄膜所在平面可看成是一条直线，解析式可设为：y＝﹣x+b，求得此直线与抛物线相切时b的值，进而把直线向右平移0.1米，得到新的直线解析式，取y＝0，即可求得薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离．
【解答】解：任务一、设水柱所在抛物线的函数解析式为：y＝ax2+x+c（a≠0）．
由题意得：抛物线经过的点A的坐标为（0，），点F的坐标为（4，3），点D的坐标为（8，0）．
∴．
解得：．
∴水柱所在抛物线的函数解析式为：y＝﹣x2+x+；
任务二、当y＝1.75时，﹣x2+x+＝1.75．
x2﹣7.5x+6.5＝0，
（x﹣1）（x﹣6.5）＝0．
解得：x1＝1，x2＝6.5．
∴1＜p＜6.5．
任务三、
薄膜所在平面可看成是一条直线．
∵薄膜所在平面和地面的夹角是45°，
∴薄膜所在平面的直线解析式为：y＝﹣x+b．
当薄膜所在直线与水柱所在抛物线相切时，
．
∴﹣x+b＝﹣x2+x+．
x2﹣13.5x+（6b﹣4）＝0．
∵只有一个交点，
∴（﹣13.5）2﹣4×（6b﹣4）＝0．
24b＝198.25．
b≈8.3．
∴y＝﹣x+8.3．
∵喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米，
∴薄膜所在的直线应向右平移0.1米．
∴新的直线解析式为：y＝﹣（x﹣0.1）+8.3＝﹣x+8.4．
当y＝0时，x＝8.4．
答：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为8.4米．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：直线与x轴（y轴）的夹角为45°，直线解析式的比例系数的绝对值等于1；二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减．
22．【分析】（1）①利用正方形的性质和全等三角形的判定定理解答即可；
②利用全等三角形的性质和三角形的内角和定理得到BG⊥DF，再利用垂直平分线的性质得到BD＝BF，∠F＝∠BDF，再利用正方形的性质和三角形的内角和定理解答即可；
（2）过点G作GH∥BC，交DC于点H，利用三角形的中位线定理得到GH＝CF，DH＝HC＝CD＝1；设GH＝x，则CE＝CF＝2x，再利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当∠H＝90°时，设CE＝CF＝m，则BF＝BC+CF＝m+4，BE＝＝，利用相似三角形的判定与性质解答即可；当∠EFH＝90°时，过点H作HM⊥BC，交BC的延长线于点M，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得CM＝BM﹣BC＝，再利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°．
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
②解：连接BD，如图，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF，
∵∠CBE+∠CEB＝90°，∠CEB＝∠GED，
∴∠CDF+∠GED＝90°．
∴∠DGE＝90°，
∴BG⊥DF．
∵G是DF中点，
∴BG为DF的垂直平分线，
∴BD＝BF，
∴∠F＝∠BDF．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC＝45°，
∴∠F＝∠BDF＝＝67.5°．
故答案为：67.5；
（2）过点G作GH∥BC，交DC于点H，如图，
∵GH∥BC，G为DF的中点，
∴GH为△DCF的中位线，
∴GH＝CF，DH＝HC＝CD＝1．
设GH＝x，则CE＝CF＝2x，
∴HE＝1﹣2x．
∵GH∥BC，
∴△GHE∽△BCE，
∴，
∴，
∴x＝﹣1±（负数不合题意，舍去），
∴x＝﹣1．
∴CE＝2x＝﹣2+2．
（3）CE的长为或或2．理由：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴CE＜BC，∠BEC＞∠CBE．
∴∠BEC＞45°，
∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°，
∴∠FEH＝180°﹣∠FEC﹣∠BEC＜90°．
①当∠H＝90°时，如图，
设CE＝CF＝m，则BF＝BC+CF＝m+4，BE＝＝．
∵BE＝5EH，
∴BH＝BE＝．
∵∠BCE＝∠H＝90°，∠EBC＝∠FBH，
∴△BEC∽△BFH，
∴，
∴，
解得：m＝2或．
∴CE＝2或．
②当∠EFH＝90°时，过点H作HM⊥BC，交BC的延长线于点M，如图，
∵DC⊥BC，HM⊥BC，
∴EC∥HM，
∴△BCE∽△BMH，
∴，
∵BE＝5EH，
∴，
∴BM＝，HM＝EC，
∴CM＝BM﹣BC＝．
∵CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°，
∴∠HEM＝180°﹣∠EFH﹣∠CFE＝45°，
∴FM＝HM＝EC，
∴CM＝CF+FM＝CE+CE＝CE＝，
∴CE＝．
综上，CE的长为或或2．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．每天在校体育锻炼时间x（min）
频数（人）
百分比
60≤x＜70
14
14%
70≤x＜80
40
m
80≤x＜90
35
35%
x≥90
n
11%