四川省成都市邛崃市第二片区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份四川省成都市邛崃市第二片区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为
A. 零上B. 零下C. 零上D. 零下
2.如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.八年级班与班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，班成绩的方差为，班成绩的方差为15，由此可知( )
A. 班比班的成绩稳定B. 班比班的成绩稳定
C. 两个班的成绩一样稳定D. 无法确定哪班的成绩更稳定
5.已知，则的值是( )
A. B. C. 1D.
6.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.《九章算术》是我国古代数学的重要著作，“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何.”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？丈尺，尺、寸、丈不是法定计量单位若设高是x尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.如图，，，，，在边AB上取点P，使得与相似，则这样的P点共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.因式分解： .
10.方程的根为______.
11.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则实数k的值是______.
12.在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是______.
13.两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm，光屏在距小孔30cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm，则光屏上火焰所成像的高度为______
14.若是关于x的一元二次方程的解，则的值是______.
15.如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为______结果保留根号
16.如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点若，，则矩形的对角线AC的长为______.
17.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，垂足为E，，，则AB的值为______.
18.如图，在中，，，D和M分别是BC、AC边上的动点，则的最小值是______.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查每位同学只选最关注的一个，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
这次调查的学生共有多少名？
请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、
四、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题12分
计算：；
解不等式组
21.本小题8分
若关于x的方程有两个不相等的实数根.
求k的取值范围；
设方程的两根分别是、，且满足，求k的值.
22.本小题10分
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，
画出将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的；
画出将绕原点O顺时针方向旋转得到；
在x轴上存在一点P，满足点P到与点距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
23.本小题10分
如图，在中，，，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接
若与相似，求t的值；
连接AN，CM，若，求t的值．
24.本小题8分
某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克元.
若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；
现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
25.本小题10分
如图1，直线：与坐标轴分别交于点A，B，与直线：交于点
求的面积；
如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线AO方向做匀速滑动，分别交直线，及x轴于点M，N和设运动时间为，连接
①当时，求t的值；
②试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.
26.本小题12分
已知线段BD是正方形ABCD的一条对角线，点E在射线BD上运动，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转，得到线段CF，连接
如图1，若点E在线段BD上，请直接写出线段BE与线段DF的数量关系与位置关系；
【模型应用】
如图2，若点E在线段BD的延长线上运动，请写出线段CD，DE，DF之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
如图3，已知线段BD是矩形ABCD的一条对角线，，，点E在射线BD上运动，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转，得到CM，在CM上截取线段，连接EF，若，直接写出线段EF的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，由此直接得出结论即可．
【解答】
解：若气温为零上记作，则表示气温为零下
故选：
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了简单几何体的三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】
解：从正面看，易得上面一层最右边有1个正方形，下面一层有3个正方形，
故A、B、D错误，C正确.
故选
3.【答案】A
【解析】解：A：，正确；
B：因为，x与不是同类项，不能合并，所以B选项错误；
C：，所以C选项错误；
D：，所以D选项错误；
故：选A
合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及其指数都不变，而的错误之处是把合并同类项与同底数幂的乘法混为一谈了
本题容易出错的选项是B选项，有些学生把合并同类项与同底数幂的乘法运算混为一谈，需要注意．
4.【答案】B
【解析】解：班成绩的方差为，班成绩的方差为15，
班成绩的方差班成绩的方差，
班比班的成绩稳定．
故选：
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5.【答案】D
【解析】解：令，
得：、、，
故选：
令，得到：、、，然后代入即可求解．
本题考查了比例的性质，解题的关键是用一个字母表示出a、b、c，然后求值．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
根据判别式的意义得到，然后解一元一次不等式即可．
【解答】
解：根据题意得，
解得
故选：
7.【答案】C
【解析】解：高是x尺，则宽为尺，根据勾股定理，得
，
故选：
高是x尺，则宽为尺，根据矩形门的高、宽、对角线构成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程．
本题考查勾股定理，正确理解题意，找到各个量的关系列出方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
设，则有，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．
【解答】
解：设，则有，
由，
当，∽时，即，
解得：或，
当，∽时，即，
解得：，
综上，这样的点P共有3个，
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
【解答】
解：
故答案为：
10.【答案】，
【解析】解：，
，
，
，或，
，，
故答案为：，
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法．
11.【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
解方程得
故答案为：
已知是关于x的一元二次方程的一个根，把代入方程，即可得到一个关于k的方程，解方程即可求出k值．
本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
12.【答案】6
【解析】解：装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，
该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：
故答案为：
直接利用摸到黄色乒乓球的概率为，利用总数乘以概率即可得出该盒子中装有黄色乒乓球的个数．
此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键．
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度测量距离；借助标杆或直尺测量物体的高度．如图，，，，通过证明∽得到，然后利用比例性质求CD即可．
【解答】
解：如图，，，，
，
∽，
，即，
，
即光屏上火焰所成像的高度为
故答案为
14.【答案】2025
【解析】解：将代入原方程得：，
，
故答案为：
将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：点C是靠近点B的黄金分割点，，
，
点D是靠近点A的黄金分割点，，
，
，
支撑点C，D之间的距离为，
故答案为：
根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：连接AE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
，
在中，，
在中，
故答案为
连接AE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线
17.【答案】
【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：
根据矩形的对角线相等且平分，以及到线段两端点的距离相等的点在线段的中垂线上，得到为等边三角形，利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．解答本题的关键是首先推导出为等边三角形．
18.【答案】
【解析】解：如图作点A关于BC的对称点E，连接BE、AE交BC于点O，
作垂足为M，EM交BC于D，此时最小垂线段最短
，，
，，
，，
∽，
，
，
，
最小值为，
故答案为
如图作点A关于BC的对称点E，连接BE、AE交BC于点O，作垂足为M，EM交BC于D，此时最小，由∽，得即可解决问题．
本题考查轴对称-最短问题、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称，垂线段最短找到点D、M的位置，属于中考常考题型．
19.【答案】解：名，
答：这次调查的学生共有280名；
名，名，
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：，，
答：“进取”所对应的圆心角是；
由中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：
用树状图为：
共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，
恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是
【解析】根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；
求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；
列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，以及条形统计图，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：
；
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为：
【解析】根据实数的运算法则计算即可求解；
先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题考查了实数的运算，求不等式组的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】解：关于x的方程有两个不相等的实数根，
，
即，
解得：；
设方程的两根分别是、，
，，
又，
，即，
，
，
解得：，符合题意．
【解析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围即可；
根据根与系数的关系得出方程解答即可．
本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系，关键是一元二次方程根与系数关系的应用．
22.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
如图，点P即为所求，P点的坐标，

【解析】【分析】
本题考查作图-平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可；
作点关于x轴的对应点，连接交x轴于点P，点P即为所求．
【解答】
解：
见答案；
作关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点P，
点，
，
设，
，解得：，
，
令，则，解得，
点
故答案为：点
23.【答案】解：，，，
，
由题意得，，
当∽时，，即，
解得：；
当∽时，，即，
解得：，
综上所述，与相似时，t的值为或；
如图，过点M作于点D，
，
，
∽，
，
，，，，
，，
，
，，
，，
，
，
∽，
，即，
解得：
【解析】根据勾股定理求出AB，分∽、∽两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
过点M作于点D，分别证明∽，∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
24.【答案】解：设这个降价率为x，
依题意，得：，
解得：，舍去
答：这个降价率为
设每千克应涨价y元，则每天可售出千克，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，
要使顾客得到实惠，
答：每千克应涨价5元．
【解析】设这个降价率为x，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
设每千克应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润=每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】解：对于直线：，
当时，，即，，
当时，，
解得，即，，
联立，
解得，即，
则的面积为；
①由题意可知，，
，
，即，
，
，
，
解得或；
②，，
，
如图，要使以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形，则有三种情况：、和，
当时，则，
解得，
当时，则，
解得或此时点Q与点O重合，舍去，
当时，则，
解得，
综上，存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形，此时t的值为2或4或
【解析】先根据一次函数的解析式分别求出，，，再利用三角形的面积公式求解即可得；
①先求出，，，从而可得，再根据建立方程，解方程即可得；
②先求出，再分三种情况：、和，分别建立方程，解方程即可得．
本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的应用、菱形的判定、一元二次方程的应用、两点之间的距离公式等知识，较难的是题②，正确分三种情况讨论是解答本题的关键．
26.【答案】解：，；
四边形ABCD是正方形，
，，，
，
将线段CE绕点C顺时针旋转，得到线段CF，
，，，
，
≌，
，，
则，即；
；
理由：四边形ABCD是正方形，
，，
由旋转得，，，
，
即，
≌，
，
在中，，
，
；
过点C作于点H，
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
，
若点E在线段BD上，
，
，
，
将CE绕点C顺时针旋转，得到CM，
，，
，
，
若点E在BD的延长线上时，
同理，，
，
同理，，
综上，线段EF的长为或
【解析】利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论；
利用全等的性质得到，利用勾股定理求得，代入转化即可；
利用旋转的性质得到是直角三角形，再根据转化为求CE的长，通过作垂线构造，利用勾股定理求解即可．
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和直角三角形．A
B
C
D
E
A
B
C
D
E