福建省泉州市永春县侨中联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份福建省泉州市永春县侨中联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共30页。

A．0B．1C．2D．3
2．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）已知线段m、n、p、q的长度满足等式mn＝pq，将它改写成比例式的形式，错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上，连接AD，BC交于点E，则S△ABE：S△DCE＝（ ）
A．1：3B．1：9C．3：1D．9：1
5．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A．x2+4x﹣3＝0B．x2﹣4x﹣1＝0C．x2+4x﹣5＝0D．x2﹣4x﹣2＝0
7．（4分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（ ）
A．18.63（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝18.63
C．18.63（1﹣x）2＝23D．23（1﹣2x）＝18.63
8．（4分）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明和小丽B．小丽和小红
C．小红和小亮D．小丽和小亮
9．（4分）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+2024的值为（ ）
A．2002B．2003C．2004D．2005
10．（4分）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（ ）
A．15cmB．14.4cmC．13.5cmD．9cm
二.填空题（每题4分，共2A分）
11．（4分）已知四条线段6，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为 ．
12．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
13．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．
14．（4分）根据物理学规律，如果把一物体从地面以9.8m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为9.8x﹣4.9x2．根据上述规律，物体经过 秒落回到地面．
15．（4分）如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则AB长为 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为 ．
三.解答题（共86分）
17．（8分）计算：÷﹣×+．
18．（8分）如图，已知线段AB与CD交于点O，OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，求证：△AOC∽△DOB．
19．（8分）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．
解：2x2﹣3x﹣5＝0．
，第一步
，第二步
，第三步
x﹣，第四步
x﹣，或x﹣，第五步
x1＝，x2＝﹣1．第六步
任务一：
①小颖解方程的方法是 ；
A．直接开平方法
B．因式分解法
C．配方法
D．公式法
②解方程过程中第二步变形的依据是 ；
任务二：请你用“公式法“解该方程．
20．（8分）已知，．
（1）求ab及a2+b2的值；
（2）求不超过a5的最大整数．
21．（8分）如图，已知△ABC，点D在BC延长线上，且CD＝BC．
（1）求作▱ACDE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若F是DE的中点，连接BF交AC于点M，连接CE交BF于点N，求的值．
22．（10分）某汽车租赁公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出，当租金每提高10元，租出去的汽车就减少2辆．
（1）若租金提高了40元，租出去的汽车有 辆，日收益为 元；
（2）公司希望日收益达到10160元，你认为能否实现？若能，求出此时的租金；若不能，请说明理由．
23．（10分）已知关于x的方程：x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，其中n为整数．
（1）求证：此方程不可能有两个相等的实数根．
（2）若方程的两个根均为整数，求n的值．
24．（12分）综合与实践：
（1）活动一（阅读经典）
如图1，等腰△ABC，顶角∠BAC＝36°，BD平分∠ABC．求证：△ABD和△BCD都为等腰三角形．这个例题大家都熟悉．这个△ABC是个特殊等腰三角形，平分线把图中等腰△ABC分成三个等腰三角形，底边与腰的比值等于黄金分割值，我们把这种三角形称为黄金三角形．以下是求等腰△ABC的底边与腰的比值过程：
由△ABC、△ABD和△BCD都为等腰三角形可得AB＝AC，AD＝BD＝BC，
设CD＝x，AD＝BD＝BC＝y，
因为底角∠ACB＝∠BCD，则∠BAC＝∠CBD．
所以△BDC∽△ABC，所以，得．
整理，得到，解得＝ ．
所以等腰△ABC的底边与腰的比值等于 （保留三位小数）．
活动小结：通过辅助线（分割线），可以求得一些不是特殊图形（包含三角形、角等常见图形）的一些线段的比值．
（2）活动二（实践研究）：
如图2，等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC．求边BC与边AB的比值．
解：过点B作BH⊥AC于点H，截取DH＝CH，过D作DE⊥AB于点E．
（以上是小龙同学解此题所作的辅助线，请您帮助小龙完成剩下的解答过程．）
（3）活动三（问题解决）
在活动二（实践研究）原有条件不变情况下，老题新增以下条件，并提出问题，请解答问题：如图3，延长BA到点D，使得AD＝AB，连接CD，求的值．
25．（14分）如图1，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝1，点E在AB上．
（1）当AE＝AD，∠DCE＝2∠BCE，求证：∠DCE＝45°．
（2）如图2，延长CD及BA相交于点F，延长CE及DA相交于点G，△AED的周长为2．
①求AF•AG的值．
②连接FG，FG⊥CF，取FG的中点M，连接CM，作FN⊥CM，连接NG，求NG与NC的数量关系．
2024-2025学年福建省泉州市永春县侨中联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）下列四个数，二次根式中x不可取的数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣1≥0，
解得：x≥1，
∵0＜1＜2＜3，
∴x不可取的数为0，故A正确．
故选：A．
2．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同类二次根式的定义进行解题即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式；
B、与不是同类二次根式；
C、与不是同类二次根式；
D、＝2，与是同类二次根式；
故选：D．
3．（4分）已知线段m、n、p、q的长度满足等式mn＝pq，将它改写成比例式的形式，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母pn得mn＝pq，与原式相等，正确，不符合题意；
B、两边同时乘以最简公分母mq得mn＝pq，与原式相等，正确，不符合题意；
C、两边同时乘以最简公分母qm得pq＝mn，与原式相等，正确，不符合题意；
D、两边同时乘以最简公分母qn得mq＝pn，与原式不相等，错误，符合题意；
故选：D．
4．（4分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上，连接AD，BC交于点E，则S△ABE：S△DCE＝（ ）
A．1：3B．1：9C．3：1D．9：1
【答案】D
【分析】判定△ABE∽△DCE，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△DCE，
∴S△ABE：S△DCE＝AB2：CD2，
∵AB＝6，CD＝2，
∴S△ABE：S△DCE＝9：1．
故选：D．
5．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△DBE∽△ABC，可判断A不符合题意；由∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△FGC∽△ABC，可判断B不符合题意；由＝＝，∠A＝∠A，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACH∽△ABC，可判断C不符合题意；由△IBJ与△ABC的对应边不成比例，可知△IBJ与△ABC不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图1，∵∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC，
故A不符合题意；
如图2，∵∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C，
∴△FGC∽△ABC，
故B不符合题意；
如图3，∵AB＝8，AC＝6，AH＝4.5，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ACH∽△ABC，
故C不符合题意；
如图4，△IBJ与△ABC的对应边不成比例，
∴△IBJ与△ABC不相似，
故D符合题意，
故选：D．
6．（4分）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A．x2+4x﹣3＝0B．x2﹣4x﹣1＝0C．x2+4x﹣5＝0D．x2﹣4x﹣2＝0
【答案】D
【分析】根据公式法解答，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为，
∴二次项系数为1，一次项系数为﹣4，常数项为﹣2，
∴这个方程为x2﹣4x﹣2＝0．
故选：D．
7．（4分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（ ）
A．18.63（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝18.63
C．18.63（1﹣x）2＝23D．23（1﹣2x）＝18.63
【答案】B
【分析】首先根据2月份售价为23万元，月平均降价率是x可得出3月份的售价为23（1﹣x）万元，4月份的售价为23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2万元，据此根据4月份售价为18.63万元可列出方程，进而可得出答案．
【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63．
故选：B．
8．（4分）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明和小丽B．小丽和小红
C．小红和小亮D．小丽和小亮
【答案】B
【分析】根据二次根式的运算法则，对每步算式进行计算即可．
【解答】解：因为＝，
所以小明没有出现错误．
因为＝＝，
所以小丽出现错误．
因为，
所以小红出现错误．
因为＝，
所以小亮没有出现错误．
故选：B．
9．（4分）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+2024的值为（ ）
A．2002B．2003C．2004D．2005
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系和m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，通过变形可以求得m3﹣4n2+2024的值．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，
∴m3＝m•m2＝m（3﹣m）＝3m﹣m2＝3m﹣（3﹣m）＝4m﹣3，
∴m3﹣4n2+2024
＝4m﹣3﹣4（3﹣n）+2024
＝4m﹣3﹣12+4n+2024
＝4（m+n）+2009
＝﹣4+2009
＝2005．
故选：D．
10．（4分）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（ ）
A．15cmB．14.4cmC．13.5cmD．9cm
【答案】C
【分析】先证△CAE∽△COF得出，再证△OAB∽△OCD，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出CD的长．
【解答】解：由题意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∴AE＝OB＝6cm，
∵AE∥OF，
∴△CAE∽△COF，
∴，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∴，
∴CD＝13.5cm，
故选：C．
二.填空题（每题4分，共2A分）
11．（4分）已知四条线段6，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为 7 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【解答】解：∵四条线段6，3，a+1，4是成比例线段，
∴6：3＝（a+1）：4，
即3（a+1）＝4×6，
解得a＝7．
故答案为：7．
12．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，即1﹣4c＝0，即可解得答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即1﹣4c＝0，
解得c＝；
故答案为：．
13．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 b ．
【答案】b．
【分析】根据数轴判断a与a+b和0的关系，再根据二次根式的性质化简即可得到答案；
【解答】解：由数轴可得，a＜0＜b，|a|＞|b|
∴a+b＜0，
∴，
故答案为：b．
14．（4分）根据物理学规律，如果把一物体从地面以9.8m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为9.8x﹣4.9x2．根据上述规律，物体经过 2 秒落回到地面．
【答案】2．
【分析】根据“物体落回到地面”可得9.8x﹣4.9x2＝0，解此方程即可．
【解答】解：由题意可得：9.8x﹣4.9x2＝0，
解得：x1＝0（舍去），x2＝2，
∴物体经过2秒落回到地面．
故答案为：2．
15．（4分）如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则AB长为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案．
【解答】解：如图：设AB＝b，
图1中的正方形面积为4，
∴正方形边长为2，
直角三角形①中的长直角边为2，
∴b（2+b）＝4，
解得：h＝﹣1（负值已舍去），
∴AB＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为 ．
【答案】．
【分析】由相似三角形的性质得出CD＝AC2，进而求出CD＝（9﹣BC2）＝3﹣BC2，设BC＝x，则BC+CD＝﹣+，由二次函数的性质可得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△CAD，
∴＝，
∵AB＝3，
∴＝，
∴CD＝AC2，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2＝AB2﹣BC2＝9﹣BC2，
∴CD＝（9﹣BC2）＝3﹣BC2，
设BC＝x，
∴BC+CD＝x+3﹣x2
＝﹣+
∴x＝时，BC+CD的最大值为．
故答案为：．
三.解答题（共86分）
17．（8分）计算：÷﹣×+．
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算乘法和除法，再合并即可得．
【解答】解：原式＝﹣+2
＝4+
18．（8分）如图，已知线段AB与CD交于点O，OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，求证：△AOC∽△DOB．
【答案】证明过程见解析．
【分析】由已知条件证得，由相似三角形的判定可得出结论．
【解答】证明：∵OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，
∴，，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△DOB．
19．（8分）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．
解：2x2﹣3x﹣5＝0．
，第一步
，第二步
，第三步
x﹣，第四步
x﹣，或x﹣，第五步
x1＝，x2＝﹣1．第六步
任务一：
①小颖解方程的方法是 C ；
A．直接开平方法
B．因式分解法
C．配方法
D．公式法
②解方程过程中第二步变形的依据是 等式的基本性质1 ；
任务二：请你用“公式法“解该方程．
【答案】任务一：①C；②等式基本性质一；
任务二：见解答．
【分析】任务一：根据解答过程和等式的基本性质求解即可；
任务二：根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．
【解答】解：任务一：①由题意知，小颖解方程的方法是配方法，
故选：C；
②解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质1，
故答案为：等式的基本性质1；
任务二：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝49＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝﹣1．
20．（8分）已知，．
（1）求ab及a2+b2的值；
（2）求不超过a5的最大整数．
【答案】（1）ab＝1，a2+b2＝3；（2）11．
【分析】（1）先求出ab和a+b的值，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入计算即可；
（2）先求出a2，a4，再计算a8＝（a4）2，最后a10＝a8•a2，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵a＝，b＝，
∴ab＝＝＝﹣1，
a+b＝＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣1）＝3；
（2）∵a2＝（）2＝，
∴a4＝（）2＝，
∴a5＝＝
∵≈2.236，
∴a5＞＞11，＜12．
因此，不超过a10的最大整数为11．
21．（8分）如图，已知△ABC，点D在BC延长线上，且CD＝BC．
（1）求作▱ACDE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若F是DE的中点，连接BF交AC于点M，连接CE交BF于点N，求的值．
【答案】（1）见解析过程；
（2）．
【分析】（1）以点C为圆心，AB为半径画弧，以点D为圆心，AC为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，则四边形ACDE为平行四边形；
（2）通过证明△BCM∽△BDF，可得DF＝2CM，通过证明△CMN∽△EFN，可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC∥DE，
∴△BCM∽△BDF，
∴，
∵CD＝BC，
∴BD＝2BC，
∴DF＝2CM，
∵点F是DE的中点，
∴EF＝DF＝2CM，
∵AC∥DE，
∴△CMN∽△EFN，
∴＝＝．
22．（10分）某汽车租赁公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出，当租金每提高10元，租出去的汽车就减少2辆．
（1）若租金提高了40元，租出去的汽车有 42 辆，日收益为 10080 元；
（2）公司希望日收益达到10160元，你认为能否实现？若能，求出此时的租金；若不能，请说明理由．
【答案】（1）42；10080；
（2）日收益不能达到10160元．见解答．
【分析】（1）租金提高40元，则每日可租出（50﹣）辆，根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数解答；
（2）根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＜0，即可得出该一元二次方程无解，进而可得出日收益不能达到10160元．
【解答】解：（1）根据题意知，每日可租出：50﹣＝42（辆），
日收益为：240×42＝10080（元）．
故答案为：42；10080；
（2）假设能实现，租金提高x元，
依题意，得：（200+x）（50﹣）＝10160，
整理，得：x2﹣50x+800＝0，
∵Δ＝（﹣50）2﹣4×1×800＜0，
∴该一元二次方程无解，
∴日收益不能达到10160元．
23．（10分）已知关于x的方程：x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，其中n为整数．
（1）求证：此方程不可能有两个相等的实数根．
（2）若方程的两个根均为整数，求n的值．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）10或﹣18或0或﹣8．
【分析】（1）先求出该方程根据的判别式为16（n+4）2﹣232，再根据n为整数得16（n+4）2﹣232≠0，由此可得出答案；
（2）将该方程配方得（x﹣3）2﹣（2n+8）2＝﹣55，进而得（2n+x+5）（2n﹣x+11）＝55，然后根据x，n均为整数，55＝1×55＝（﹣1）×（﹣55）＝5×11＝（﹣5）×（﹣11），将该方程转化为关于n，x的方程中，然后解方程组求出n的值就可．
【解答】证明：（1）对于方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，
根的判别式为：（﹣6）2﹣4×（﹣4n2﹣32n）
＝16n2+128n+36
＝16（n+4）2﹣232，
∵n为整数，
∵16（n+4）2是一个整数的平方，232不是完全平方数，
∴当n为整数时，16（n+4）2﹣232≠0，
∴此方程不可能有两个相等的实数根．
（2）x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，
配方得：x2﹣6x+9﹣（4n2+32n+64）+55＝0，
∴（x﹣3）2﹣（2n+8）2＝﹣55，
∴（2n+8+x﹣3）（2n+8﹣x+3）＝55，
即（2n+x+5）（2n﹣x+11）＝55，
∵x，n均为整数，55＝1×55＝（﹣1）×（﹣55）＝5×11＝（﹣5）×（﹣11），
∴或或或或或或或，
由或，解得：n＝10；
由或，解得：n＝﹣18；
由或，解得：n＝0；
由或，解得：n＝﹣8，
当n＝10时，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0为：x2﹣6x﹣720＝0，
解得：x1＝30，x2＝﹣24，符合题意；
当n＝﹣18时，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0为：x2﹣6x﹣720＝0，
解得：x1＝30，x2＝﹣24，符合题意；
当n＝0时，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0为：x2﹣6x＝0，
解得：x1＝0，x2＝6，符合题意；
当n＝﹣8时，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0为：x2﹣6x＝0，
解得：x1＝0，x2＝6，符合题意，
综上所述：当方程的两个根均为整数，n的值为10或﹣18或0或﹣8．
24．（12分）综合与实践：
（1）活动一（阅读经典）
如图1，等腰△ABC，顶角∠BAC＝36°，BD平分∠ABC．求证：△ABD和△BCD都为等腰三角形．这个例题大家都熟悉．这个△ABC是个特殊等腰三角形，平分线把图中等腰△ABC分成三个等腰三角形，底边与腰的比值等于黄金分割值，我们把这种三角形称为黄金三角形．以下是求等腰△ABC的底边与腰的比值过程：
由△ABC、△ABD和△BCD都为等腰三角形可得AB＝AC，AD＝BD＝BC，
设CD＝x，AD＝BD＝BC＝y，
因为底角∠ACB＝∠BCD，则∠BAC＝∠CBD．
所以△BDC∽△ABC，所以，得．
整理，得到，解得＝ ．
所以等腰△ABC的底边与腰的比值等于 0.618 （保留三位小数）．
活动小结：通过辅助线（分割线），可以求得一些不是特殊图形（包含三角形、角等常见图形）的一些线段的比值．
（2）活动二（实践研究）：
如图2，等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC．求边BC与边AB的比值．
解：过点B作BH⊥AC于点H，截取DH＝CH，过D作DE⊥AB于点E．
（以上是小龙同学解此题所作的辅助线，请您帮助小龙完成剩下的解答过程．）
（3）活动三（问题解决）
在活动二（实践研究）原有条件不变情况下，老题新增以下条件，并提出问题，请解答问题：如图3，延长BA到点D，使得AD＝AB，连接CD，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）2﹣．
【分析】（1）解一元二次方程求得结果；
（2）过点B作BH⊥AC于点H，截取DH＝CH，过D作DE⊥AB于点E，∠B＝∠ABC＝＝75°，进而求得∠ABD＝∠EDB＝45°，从而得出BC＝DB＝，设DE＝BE＝a，可表示出BD＝，AE＝，AB＝BE+AE＝（，进而得出结果；
（3）作∠CBH＝60°，BH交CD于H，可得出∠ACD＝∠D＝15°，进而得出∠D＝∠DBH，从而DH＝BH，设CB＝k，则DH＝BH＝2BC＝2k，CH＝BC＝，从而CD＝DH+CH＝（2+，进而得出结果．
【解答】解：（1）由得，
＝，
∵，
∴≈，
故答案为：；
（2）如图1，
过点B作BH⊥AC于点H，截取DH＝CH，过D作DE⊥AB于点E，
∴BD＝BC，∠BED＝90°，
∴∠C＝∠BDC，
∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠B＝∠ABC＝＝75°，
∴∠BDC＝75°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝75°﹣30°＝45°，
∴∠BED＝90°﹣∠ABD＝45°，
∴BC＝DB＝，
设DE＝BE＝a，
∴BD＝，AE＝，
∴AB＝BE+AE＝（，
∴；
（3）如图2，
作∠CBH＝60°，BH交CD于H，
∵AB＝AC，AD＝AB，
∴AD＝AC，
∴∠D＝∠ACD，
∵∠D+∠ACD＝∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝∠D＝15°，
由（2）知，∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝90°，
∴∠CHB＝90°﹣∠CBH＝30°，
∴∠DBH＝∠CHB﹣∠D＝15°，
∴∠D＝∠DBH，
∴DH＝BH，
设CB＝k，则DH＝BH＝2BC＝2k，CH＝BC＝，
∴CD＝DH+CH＝（2+，
∴．
25．（14分）如图1，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝1，点E在AB上．
（1）当AE＝AD，∠DCE＝2∠BCE，求证：∠DCE＝45°．
（2）如图2，延长CD及BA相交于点F，延长CE及DA相交于点G，△AED的周长为2．
①求AF•AG的值．
②连接FG，FG⊥CF，取FG的中点M，连接CM，作FN⊥CM，连接NG，求NG与NC的数量关系．
【答案】（1）证明见解答；
（2）①AF•AG＝2；
②NC＝NG，理由见解答．
【分析】（1）如图1，连接AC交DE于P，先根据题意可知：△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝∠BAC＝45°，再由等腰三角形的三线合一的性质，线段垂直平分线的性质即可解答；
（2）①如图2，过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于H，延长AB至O，使OB＝DH，连接CO，AC，证明四边形HABC是正方形，则CH＝CB＝AH＝1，∠ACB＝45°，再证明△CHD≌△CBO（SAS），根据△AED的周长为2，得DH+EB＝DE，最后证明△DCE≌△OCE（SSS）和△CAF∽△GAC，即可解答；
②如图3，过点G作GQ⊥CM，交CM的延长线于Q，证明△CBF≌△FAG（AAS），得AF＝BC＝1，由勾股定理计算CF的长，可得FM＝CM＝，由三角形的面积计算FN＝1，证明△FMN≌△GMQ（AAS），则GM＝MN＝，QG＝FN＝1，从而可以解答．
【解答】（1）证明：如图1，连接AC交DE于P，
∵∠B＝90°，AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣45°＝45°＝∠CAB，
∵AD＝AE，
∴DP＝EP，AC⊥DE，
∴AC是DE的垂直平分线，
∴CD＝CE，
∴∠DCE＝2∠DCP，
∵∠DCE＝2∠BCE，
∴∠DCP＝∠BCE，
∴∠DCE＝∠DCP+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝45°；
（2）解：①如图2，过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于H，延长AB至O，使OB＝DH，连接CO，AC，
∴∠H＝∠HAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形HABC是矩形，
∵AB＝BC＝1，
∴矩形HABC是正方形，
∴CH＝CB＝AH＝1，∠ACB＝45°，
∵∠H＝∠CBO＝90°，
∴△CHD≌△CBO（SAS），
∴∠DCH＝∠BCO，CD＝CO，
∴∠DCO＝∠HCB＝90°，
∵△AED的周长为2，
∴AD+DE+AE＝2，
∵AH+AB＝2，
∴DH+EB＝DE，
∴OB+BE＝DE＝OE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△OCE（SSS），
∴∠DCE＝∠ECO＝×90°＝45°，
∵∠ACB＝∠DCE＝45°，
∴∠ACE+∠BCE＝∠ACE+∠ACF，
∴∠BCE＝∠ACF，
∵GH∥BC，
∴∠G＝∠BCE，
∴∠G＝∠ACF，
∵∠CAF＝90°+45°＝135°＝∠CAG，
∴△CAF∽△GAC，
∴＝，
∴AF•AG＝AC2＝12+12＝2；
②NC＝NG，理由如下：
如图3，过点G作GQ⊥CM，交CM的延长线于Q，
由①知：∠FCG＝45°，
∵CF⊥FG，
∴∠CFG＝90°，
∴△CFG是等腰直角三角形，∠BFC+∠BFG＝90°，
∴CF＝FG，
∵∠B＝∠FAG＝90°，
∴∠BFC+∠BCF＝90°，
∴∠BCF＝∠AFG，
∴△CBF≌△FAG（AAS），
∴AF＝BC＝1，
∴BF＝1+1＝2，
由勾股定理得：CF＝FG＝＝，
∵M是CF的中点，
∴FM＝CM＝，
∴CM＝＝＝，
∵S△CFM＝•FM•CF＝•CM•FN，
∴××＝××FN，
∴FN＝1，
∴CN＝＝＝2，
∴MN＝﹣2＝，
∵FN⊥CQ，GQ⊥CQ，
∴∠Q＝∠FNM＝90°，
∵FM＝MG，∠FMN＝∠QMG，
∴△FMN≌△GMQ（AAS），
∴GM＝MN＝，QG＝FN＝1，
由勾股定理得：NG＝＝，
∵NC＝2，
∴NC＝NG。