河南省信阳市新县2024-2025学年九年级上学期期中质量监测数学试卷

这是一份河南省信阳市新县2024-2025学年九年级上学期期中质量监测数学试卷，共10页。试卷主要包含了如图，将绕点顺时针旋转得到，已知二次函数，《九章算术》中提出了如下问题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、选择题
1．古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ）
A．B．C．D．
3．将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径所在的直线翻折，可以看到折痕两侧的半圆互相重合．由此说明（ ）。
A．圆的直径互相平分
B．垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧
C．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
D．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
4．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在同一条直线上，，则的长为（ ）
A．5B．C．D．
5．已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A．2025B．0C．D．2023
6．已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是（ ）
A．B．C．D．
7．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；坚放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等。问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺。
A．6B．8C．12D．13
8．小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，则杯子的高为（ ）
A．21B．22C．23D．24
9．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线：，则过点和点的直线一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空题
11．方程的解为_______．
12．请填写一个常数，使得关于的方程有两个不相等的实数根。
13．若点与点关于原点对称，则点的坐标为_______．
14．二次函数和一次函数的图像如图所示，则时，的取值范围是_______．
15．如图，，将绕点逆时针旋转角，得到，设与交于点，连接，当为等腰三角形时，_______．
三、解答题
16．（8分）用适当方法解下列方程：
（1）
（2）；
17．（9分）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”。
（1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由；
（2）已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？
18．（9分）如图，圆内接四边形是的直径，交于点，．
（1）求证：点为的中点；
（2）若，求．
19．（9分）已知二次函数．
（1）列表并在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当时，的取值范围；
（3）若将此图象沿轴向左平移3个单位，向下移动2个单位，请写出平移后图象所对应的函数表达式。
20．（9分）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连接．
（1）求证：为等边三角形；
（2）求的周长．
21．（9分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价x元，每星期的利润为y元．
（1）用含x的代数式表示下列各量：
①每件商品的利润为_______元；
②每星期卖出商品的件数为_______件．
（2）如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少？
22．（11分）如图，一小球M（看成一个点）从斜坡OA上的O点处抛出，球的运动路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）小球落点为，求点的坐标；
（3）在斜坡上的B点有一棵树（看成线段且垂直于轴），B点的横坐标为2，树高为5.9，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由．
23．（11分）如图1，在中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．
图1 图2
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_______，位置关系是_______；
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，直接写出面积的最大值。
2024--2025学年度上期期中质量检测试卷
九年级数学参考答案
一、选择题
二、填空题
11、 12、0（答案不唯一，小于1的实数都对） 13、
14、 15、或
三、解答题
16．解：（1）移项，得，
配方，得，，
由此可得，
．
（2）解：，
，
；
17．解：（1）方程是“黄金方程”．理由如下：
，
．
一元二次方程是“黄金方程”（3分）
（2）是关于的“黄金方程”，
其中，
，
即．
原方程可化为．
是此方程的一个根，
即．
解得或．
18．（1）证明：是的直径，，
，即点为的中点；（3分）
（2）解：是的直径，，
，
，
，
，
，
．
19．（1）列表得：
描点，连线，函数图像如下：
（2）解：根据图象，可知当时，y的取值范围为；
（3）解：将变形为，
此图象沿轴向左平移3个单位，向下移动2个单位，
则即．
20．解（1）绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上
，
为等边三角形（3分）
（2）为等边三角形，
为等边三角形。
．
的周长为．
21．解：（1）① ②
（2）
当时，取得最大值6750，此时售价为（元）．
答：当定价为55元/件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元．
22．解：（1）小球到达的最高点的坐标为，
设抛物线的表达式为．
把代入得，
解得。
抛物线的表达式为
（2）解方程，得，
当时，，
．
（3）不能．理由：当时，，
小球M不能飞过这棵树
23．解（1）
（2）等腰直角三角形．理由如下：
由旋转可得．
又．
．
点分别是的中点，
是的中位线．
且同理可证且．
．
，
．
即为等腰直角三角形．
（3）面积的最大值为．0
1
2
3
4
12
6
2
0
0
2
6
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
D
D
A
B
B
A
D
C
0
1
2
3
4
5
0
3
4
3
0