福建省厦门市2024−2025学年高二上学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份福建省厦门市2024−2025学年高二上学期期中考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．圆的圆心坐标是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．设x、，向量，，且，，则（ ）
A．B．C．3D．4
4．如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ）

A．B．
C．D．
5．若圆，圆，则，的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（ ）
A．B．C．2D．
7．当点到直线的距离最大时，直线的一般式方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．，，两两共面，但，，不可能共面
B．若，，则
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．，，不一定能构成空间的一个基底
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．如果且，那么直线不经过第三象限
B．若直线：与：平行，则与的距离为
C．圆C：关于直线对称的圆方程为
D．点为圆上任意一点，则的最大值为
11．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ）

A．在中点时，平面平面
B．异面直线所成角的余弦值为
C．在同一个球面上
D．，则点轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图，在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，则 .
13．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ．
14．若直线l：与曲线C：只有一个公共点，则实数m的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知三角形的顶点坐标为，，.
(1)求过点C且与边平行的直线；
(2)求边上的高所在的直线方程.
16．如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点
(1)证明：平面;
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值
17．已知椭圆C：（）的中心为原点O，左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.
(1)若，，求椭圆的标准方程；
(2)若，求椭圆的离心率.
18．如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D.
(1)求证：平面BDE；
(2)若点F为棱的中点，求点F到平面BDE的距离；
(3)若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
19．已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．
(1)求圆的方程；
(2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值．
参考答案
1．【答案】D
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标.
【详解】圆，即，
所以圆心为.
故选：D
2．【答案】B
【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
即，所以.
故选：B.
3．【答案】B
【详解】向量，，，且，，
则，，解得，于是，
所以.
故选：B
4．【答案】A
【详解】，，，
则．
故选：A．
5．【答案】B
【解析】先得圆的方程的标准形式，得到圆心和半径，得到两圆的位置关系即可得公切线的条数.
【详解】依题意，圆，圆心为，半径为3；
圆，圆心为，半径为6；
因为，故圆，相交，有2条公切线，
故选：B.
6．【答案】A
【分析】
由椭圆的定义可得,再结合余弦定理可得，然后由向量数量积定义得解.
【详解】由椭圆的定义可得,
在 中，由余弦定理，
又 ,可得：
，即,
即，即，
则，
故选：A.
7．【答案】A
【详解】可化为，
令，解得，即直线过定点，
则当时，点到直线的距离最大，
即有，解得，
此时直线为，
化简得.
故选：A.
8．【答案】C
【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，然后得到四边形面积为，利用切线长公式可知，当最短时，四边形面积最小，求解即可得到答案.
【详解】

将化为标准方程为：，
所以圆的圆心为，半径为2，
由题意，四边形面积为，
又因为，
所以当最短时，四边形面积最小，此时.
故选：C
9．【答案】AC
【详解】A选项，由基底的定义可知，，，不能共面，，，两两共面，A正确；
B选项，，，但，不一定垂直，B错误；
C选项，由基底的概念可知，对空间任一向量，总存在有序实数组，
使，C正确；
D选项，设，故，无解，
故，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底，D错误.
故选：AC
10．【答案】ABC
【详解】对于A，由且，得直线的斜率，纵截距，
该直线不过第三象限，A正确；
对于B，直线：，当时，，它们的距离为，B正确；
对于C，令圆：的圆心关于直线的对称点为，
则，解得，
所求圆的方程为，C正确；
对于D，圆的圆心，半径，令原点为，
则，当且仅当三点共线时取等号，D错误.
故选：ABC
11．【答案】ACD
【分析】根据正方体图象特征证明面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据异面直线所成的角判断B错误；根据五点共圆得到C；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D.
【详解】对于选项A：取的中点，连接，

在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，
易知，因为，所以平面，在平面内，
所以，平面，平面，，
所以平面，平面，所以，
连接，是正方形，，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，，
所以平面，因为平面，所以，
综上，平面，平面，又，
所以平面，平面，故平面平面，故A正确；
对于选项B：取的中点，连接，则，
所以是异面直线所成的角，
又，则，故B错误；
对于选项C：记正方体的中心为点，则，
所以在以为球心，以为半径的球面上，故C正确；
对于选项D：因为，且为的中点，
所以，故，
所以点轨迹是过点与平行的线段，且，
所以，故D正确；
故选ACD.
12．【答案】
【详解】,
所以,
所以.
故答案为：
13．【答案】
【分析】通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可.
【详解】如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG.
由题可知，，，
设，则
在中，有
即，解得
故车辆通过隧道的限制高度是.
故答案为：
14．【答案】
【详解】由曲线，整理可得，
则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图：

由图可得直线与圆相切，则，解得，
由图可得直线的方程为；
由图可得直线过，可得方程；
由图可得直线过，可得方程.
由图可得.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，则直线AB的斜率，
可设与直线AB平行的直线斜率为，由该平行线过，
则方程为，整理可得.
（2）由（1）可得与直线AB垂直的直线斜率为，
边AB上的高所在的直线斜率为，且过，
所以直线方程为，整理可得.
16．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）分别为的中点，
为正方形，
,平面平面，
平面.
（2）由题知平面
建立如图所示的空间直角坐标系，
，则，
，，，
设平面的一个法向量为n=x,y,z
则，令则，
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，则，
由，则，可得，
解得，所以方程为.
（2）由，则，
所以直线AB的斜率，直线的斜率，
由，则，即，由，则，
由，则，解得.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【详解】（1）连接，由为等边三角形，为中点，得，
由平面平面，平面平面，平面，
得平面，而平面，则，
由四边形为菱形，得，又分别为中点，则，
于是，且，平面，
所以平面.
（2）由在平面内的射影为线段的中点，得平面，
由平面，平面，得，，
由四边形为菱形，得为正三角形，在正中，，
则以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则
，
得，
设平面的法向量为，则，令，得，
所以点到平面的距离为.
（3）由（2）知，，，
由点F为线段上的动点，令，
则， 平面的法向量，
设平面的法向量n=a,b,c，则，令，得，
设锐二面角的大小为，则，
令，则，，
由，得，则，
所以锐二面角的余弦值的取值范围为.
19．【答案】(1)或
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）解：设圆心为，设圆的半径为，
圆心到轴的距离为，且圆轴弦长为，则，①
且有②，
联立①②可得或，
所以，圆的方程为或.
（2）解：因为半径小于，则圆的方程为，
由圆的几何性质得即，所以，
设Mx,y，则，
所以，即的轨迹方程是.
（3）解：设直线与直线交于点，由、可知直线的斜率是，

因为直线的斜率为，则，则，，
所以，，因此，，
又E到的距离，，
所以，，故恒为定值.