广东省茂名市化州市2024−2025学年高二上学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份广东省茂名市化州市2024−2025学年高二上学期期中考试 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
4．圆的圆心到直线的距离是（ ）
A．B．C．1D．
5．在空间四边形中，、分别是、的中点，则等于（ ）

A．B．C．D．
6．已知为锐角，，角的终边上有一点，则（ ）
A．B．
C．D．
7．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
8．已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（ ）
A．B．0C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为不是互斥事件的是（ ）
A．至多有1个白球；都是红球B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰好有1个白球；都是红球D．至多有1个白球；全是白球
10．已知直线的方程，则（ ）
A．恒过定点
B．存在实数使直线在坐标轴上截距互为相反数
C．直线的斜率一定存在
D．点到直线的距离最大值为
11．如图，已知在长方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，则下列命题正确的是（ ）

A．当点在棱上的移动时，恒有
B．在棱上总存在点，使得平面
C．四棱锥的体积为定值
D．四边形的周长的最小值是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，且，则 .
13．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为 .
14．设动点在棱长为的正方体的对角线上，且异于点，记当为锐角时，的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在△OAB中，O是坐标原点，，．
(1)求AB边上的高所在直线的方程；
(2)求△OAB的外接圆方程
16．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)设的中点为，若，且，求的面积．
17．如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的余弦值.
18．航天员安全返回，中国航天再创辉煌1去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好．这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功．某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数；
(2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
(3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
19．已知函数与函数，函数的定义域为.
(1)求的定义域和值域；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围；
(3)已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心.
参考答案
1．【答案】D
【详解】试题分析：由已知，所以
考点：集合的运算
2．【答案】C
【详解】,
,
故选: C.
3．【答案】C
【详解】由题意知，，
所以，
又，所以.
故选：C.
4．【答案】D
【分析】
根据已知条件把圆的一般方程转化为标准方程，从而可得到圆心坐标，再代入点到直线的距离公式即可.
【详解】
由题意可得：圆的一般方程为，
转化为标准方程：，
即圆的圆心坐标为，
因为直线方程为，
所以圆心到直线的距离为
故选：D
5．【答案】C
【详解】由题意易知是的中位线，即，
所以.
故选：C
6．【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用三角函数的定义可求得的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.
【详解】因为为锐角，，则，所以，，
由三角函数的定义可得，因此，.
故选：A.
7．【答案】C
【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值.
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点，
有，
故,当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为
故选:
8．【答案】C
【详解】因为是定义在上的偶函数，，
可得，即，
所以函数是以4为周期的周期函数，
可得，
又因为当时，，
可得，所以.
故选：C.
9．【答案】AB
【详解】解：对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，
“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件．故A正确；
对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，
所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件．故B正确；
对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，
所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件．故C错误；
对于D：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“全是白球”包含都是白球，
所以“至多有1个白球”与“全是白球”是互斥事件．故D错误．
故选：AB．
10．【答案】ABD
【详解】A.联立，得，所以点满足方程，即直线恒过定点，故A正确；
B.当时，，，当时，，，
当，得，故B正确；
C.直线的方程，当，时，直线的斜率不存在，故C错误；
D.点到直线距离的最大值为点与定点之间的距离，即，故D正确.
故选：ABD
11．【答案】ACD
【详解】对于A，当点为棱上的移动时，平面，
由于平面，故，故A正确；
对于B，当点在时，平面，故B错误；
对于C，在长方体中，平面平面,
平面平面,平面平面,
故，同理，则四边形为平行四边形；

故，
由于，故，
故，故C正确；
对于D，如图，将长方体展开，使四个侧面在同一个平面内，

连接（左侧）交于F点，由于,
则F为的中点，同理E为的中点，
则四边形的周长的最小值是,则D正确，
故选：ACD.
12．【答案】/
【详解】因为，，
所以，
又，
所以，即.
故答案为：.
13．【答案】/0.3
【详解】直线为：，显然时，两条直线平行，
所以这两条直线间的距离为.
故答案为：
14．【答案】
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，

则
，
由可得，
，
，
由图可知，不共线，
所以当为锐角时，
即，
解得或，又，
所以.
所以的取值范围是.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵直线AB的斜率，
∴AB边上的高所在直线的斜率，
又AB边上的高所在直线过原点O，
∴AB边上的高所在直线的方程为．
（2）设的外接圆的方程为（），
则，解得，
∴的外接圆方程为．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，
由正弦定理得，
即，
在中，因为，，
，
，．
（2）由（1）知，
在中，由余弦定理得，
所以①，
在中，由余弦定理得②，
由①②两式消去，得，
所以，
又，解得，．
所以的面积.
17．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：连接.
因为是边长为2的正方形，所以，
因为，所以，，所以，则.
因为，所以.
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，故，，.
设平面的法向量为，
则，令，则.
设平面的法向量为，
则，令，则.
，
记二面角的平面角为，由图可知为钝角，则.
18．【答案】(1)4
(2)平均数为，中位数为
(3)
【详解】（1）因为抽取的200名学生中, 不高于50分的人数为（人），
50分到60分的人数为（人），
所以从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人的成绩，不高于50分的人数为（人）.
（2）由，解得，
平均数，
因为成绩不高于70分的频率为，
成绩不高于80分的频率为，
所以中位数位于内，则中位数为.
（3）三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率为，
.
19．【答案】(1)定义域为，值域为
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可得．
由，得，故．
又，且，
的值域为；
（2），即，则．
存在，使得成立，．
而，
当，即时，取得最小值，
故；
（3）设的对称中心为，
则函数是奇函数，即是奇函数，
则恒成立，
恒成立，
所以恒成立，
所以，
因为上式对任意实数恒成立，
所以，得，
所以函数图象的对称中心为．